1. 引言和结果
本文使用值分布的标准记号(见[1] [2] )，对于亚纯函数，用分别表示亚纯函数的级，零点收敛指数和极点收敛指数，并引入以下定义：
定义1：(见[2] )亚纯函数的超级定义为。
定义2：(见[3] )亚纯函数的二级零点收敛指数定义为，二级不同零点收敛指数定义为。
陈宗煊和杨重骏在文献[4] 中证明了：
定理A：设是整函数，满足。
则微分方程
(1.1)
每一个不恒为零的解满足。
定理B：设满足定理A的假设，是整函数，且。则微分方程
(1.2)
所有解满足，至多有一个例外解。
廖莉和陈宗煊在文献[5] 中证明了：
定理C：设是亚纯函数，满足存在某个是超越的，并满足和。
而对于其它满足
如果(1.2)中的亚纯解极点重数一致有界，那么至少有一个亚纯解满足
本文将定理A，B中方程的系数推广到了亚纯系数，将定理C的条件减弱，得到如下定理
定理1：假设是亚纯函数，，满足。若是(1.1)的任一亚纯解，且极点阶数有界，则。
定理2：假设满足定理1的假设，是亚纯函数，且。若是(1.2)的任一亚纯解，且极点阶数有界，则，至多除去一个例外解。
定理3：假设，是亚纯函数，存在某个满足及
如果(1.2)中的亚纯解极点重数一致有界，那么至少有一个亚纯解满足。
2. 引理
引理1：(见[6] )假设是超越亚纯函数，。设表示一个整数对的有限集合，满足。假定是任给常数，那么存在子集具有有穷对数测度，对满足的所有和，有
引理2：(见[6] )假设是一个无穷级整函数，超级。为的中心指标，则有
引理3：设为无穷级亚纯函数，其中和为整函数，且，
,若是线测度和对数测度均有穷的集合，则存在一列，且，当满足且时，有
证明：由归纳法，有
(2.1)
其中是常数，。因此
(2.2)
由Wiman-Valiron定理(见[7] -[9] )，存在一个对数测度有穷的集合，当z满足及时，
(2.3)
将(2.3)代入(2.2)有
(2.4)
由引理1，对任给的，存在一个对数测度有穷的集合，当满足时，有
(2.5)
由和(2.5)得
(2.6)
由引理2可知，存在一序列，满足。令的对数测
度为，取，有
. (2.7)
又
(2.8)
由(2.7)知，当充分大时，有
. (2.9)
由(2.7)，(2.8)知
. (2.10)
由(2.6)，(2.9)有
. (2.11)
结合(2.4)，(2.10)，(2.11)知本定理得证。
引理4：(见[10] )假设为亚纯函数，，那么对任意给定的，存在一个线测度和对数测度都为有穷的集合，当，时
.
引理5：(见[11] )假设微分方程
被个线性无关的亚纯解所满足，那么是亚纯函数，且对于有
3. 定理1的证明
把(1.1)改写成
(3.1)
由(3.1)和对数导数引理可知，从而有，结合(3.1)可得
(3.2)
可能除去一个线测度有穷的集合，使得。
由于，即，则对任意，存在，对任意的有
(3.3)
由(3.2)，(3.3)得
(3.4)
由(3.4)及知
(3.5)
另一方面，由于，由引理4知，对任意，存在一个对数测度为有穷的集合，当时，有
(3.6)
设为的阶极点，但不是的极点，在(1.1)中仅有一项即有最高阶极点，其阶数为，显然矛盾，所以的极点仅发生在的极点处，由于的极点阶数是有限的，所以
由Hadamard定理，可表示为
其中为整函数，是极点构成的典型乘积(或多项式)，且满足
由引理3知，存在一列，且，当满足时，有
(3.7)
当时，把(3.6)，(3.7)代入(1.1)有
即
. (3.8)
由引理3，(3.8)及的任意性知
. (3.9)
由(3.5)和(3.9)知。
4. 定理2的证明
假设是方程(1.2)的任意两个解，且极点阶数均有界，下面证至少存在一个不妨设为，有。
由微分方程的基本定理知是方程(1.2)对应的齐次方程(1.1)的解，由定理1知
则至少存在一个，不妨设为，满足
(4.1)
另一方面，由于。则由引理4知，对任意，存在一个对数测度为有穷的集合，当时，有
(4.2)
(4.3)
由(4.1)知，假设为的阶极点，但不是的极点，则在(1.2)中仅有一项
即有最高阶极点，其阶数为，显然是矛盾的。所以的极点仅发生在的极点处，由于的极点阶数是有限的，所以。Hadamard定理，可表示为
(4.4)
. (4.5)
由(4.4)知，当充分大时，对上述的，有
(4.6)
由(4.2)，(4.6)知，当，且充分大时，有
(4.7)
由于(1.2)可改写成
(4.8)
当时，把(4.3)，(4.5)，(4.7)代入(4.8)有
(4.9)
由(4.9)及引理3有
(4.10)
由的任意性及(4.1)，(4.10)有
(4.11)
把方程(1.2)改写成
(4.12)
若是的大于阶零点，则是的阶零点，从而有
(4.13)
由对数导数引理和(4.12)，最多除去一个线测度有限的集合，当时，有
(4.14)
由(4.13)，(4.14)
(4.15)
由于。则存在，当充分大时，有
(4.16)
又，则对任给的有，从而有
(4.17)
因为当充分大时
(4.18)
从而由(4.15)~(4.18) ，当时，有
(4.19)
由(4.19)得
(4.20)
由(4.11)，(4.20)知本定理得证。
5. 定理3的证明
运用与定理2相同的证明可得到
(5.1)
其中为有穷测度集。
由于即，则对任意，当充分大时，有
(5.2)
由(5.2)知
(5.3)
我们断言存在一个线测度为无穷的集合，使得
(5.4)
事实上由(5.3)知存在一系列，有
令。显然(5.4)在上成立，且的线测度。
取任意实数使得，则由(5.4)知，当时，有
(5.5)
又，当充分大时，有
(5.6)
从而由(5.5)知
(5.7)
由(5.1)~(5.2)，(5.5)~(5.7)知, 当，且充分大时，有
(5.8)
现在分两种情况讨论：
情况1：假设满足条件：除去一个线测度有穷的集合外有
(5.9)
由知是超越的，则由(5.9)可知是无穷极亚纯函数，从而存在一系列
满足。令，则存在点，使得
从而有
(5.10)
由(5.8)~(5.9)知，当，且充分大时，有
(5.11)
又当充分大时，有
(5.12)
由(5.11)~(5.12)，当，时，有
(5.13)
由(5.4)，(5.9)，(5.13)有
(5.14)
运用与定理2相同的证明方法可得结合(5.14)有
情况2：假设是的解，且不满足情况1的条件，即存在线测度为无穷的集合，当时，有
(5.15)
其中为常数。
假设为方程(1.2)所对应的齐次方程(1.1)的基础解，由引理4，有
即对上述的，有
(5.16)
令则及的线测度，知至少存在一个集合，不妨设为，满足的线测度，且当时，有
(5.17)
因此当时，由(5.15)，(5.17)有
其中是(1.2)的解.
由上式知
(5.18)
(5.19)
(5.20)
所以由(5.8)，(5.19)，(5.20)知
(5.21)
由(5.4)，(5.18)，(5.21)得
(5.22)
运用类似于情况1的证明知。所以
致 谢
感谢陈宗煊教授的指导，他严谨细致，一丝不苟，在我论文写作过程中指点了我的思路和给了我启迪，同时感谢我的同门们对我的帮助和指导，正由于他们的帮助和提供资料我的论文才能写得如此的顺利，最后感谢审稿人对我文章提出的宝贵意见。
参考文献