障碍带条件下p-Laplacian方程两点边值问题的可解性

Solvability of Two-Point Problems for p-Laplacian Equation under Barrier Strips Conditions

摘要: 本文运用Leray-Schauder原理研究障碍带条件下p-Laplacian方程两点边值问题$\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=A,u^{\prime }\left(1\right)=B,\hfill \end{array}$ 解的存在性，其中${\phi }_p\left(s\right)={\left|s\right|}^{p-2}s$ ，$s\in ℝ$ ，$p>1$ ，非线性项$f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^2\to ℝ$ 连续。

Abstract: In this paper, by using Leray-Schauder theory, the existence of solutions to the following p-Laplacian equation two-point problem under the barrier strips conditions$\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=A,u^{\prime }\left(1\right)=B,\hfill \end{array}$ is considered, where ${\phi }_p\left(s\right)={\left|s\right|}^{p-2}s$ , $s\in ℝ$ , $p>1$ , $f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^2\to ℝ$ is continuous.

1. 引言

微分方程边值问题已广泛应用于流体力学、工程控制、生物种群动力学等领域，其中带p-Laplacian算子的微分方程边值问题长期以来吸引着众多学者的关注，近年来取得了一系列研究成果，参见文[2] [4]-[6] [8] [9]。但是，在障碍带条件p-Laplacian方程的两点边值问题较少被研究。

在文[1]中，Kelevedjiev运用Leray-Schauder原理在障碍带条件下讨论了非线性微分方程两点边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{″}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=A,u^{\prime }\left(1\right)=B,\hfill \end{array}$

解的存在性。

文[3]运用Leray-Schauder原理和上下解方法研究了如下p-Laplacian算子的两点边值问题

$\{\begin{array}{l}{\left(\phi \left(u\text{'}\right)\right)}^{\prime }+f\left(t,u\left(t\right)\right)=0,t\in \left(0,1\right),\hfill \\ u\left(0\right)=u\left(1\right)=0,\hfill \end{array}$

正解存在的充要条件。

文[6]运用Leray-Schauder原理的推论研究非线性常微分方程四阶三点边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right),u^{″}\left(t\right),u^{‴}\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,\hfill \\ u^{″}\left(\xi \right)=u^{‴}\left(1\right)=0,\xi \in \left[0,1\right],\hfill \end{array}$

的解的存在性。

文[10]运用Leray-Schauder原理讨论了如下非线性差分方程的边值问题

$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{2}u\left(k\right)=f\left(k,u\left(k\right),\Delta u\left(k\right)\right),k\in \left[0,T\right],\hfill \\ u\left(0\right)=A,\Delta u\left(T+1\right)=B,\hfill \end{array}$

的可解性。

受以上文献的启发，本文主要运用Leray-Schauder原理在障碍带条件下讨论p-Laplacian方程

${\left(\phi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=f\left(t,u,u^{\prime }\right),t\in \left[0,1\right],$ (1)

其中非线性项$f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^2\to ℝ$ 连续，$u\left(t\right)$ 满足以下任意一种边值条件：

$u\left(0\right)=A,u^{\prime }\left(1\right)=B,$ (2)

$u^{\prime }\left(0\right)=A,u\left(1\right)=B,$ (3)

$u\left(0\right)=A,u\left(1\right)=B$ (4)

本文将经典的障碍带方法应用于p-Laplacian方程，其证明技巧的改进在于巧妙运用p-Laplacian算子${\phi }_p$ 的严格单调性和障碍带内非线性项的符号确定$u$ 的单调性。

本文总假定

(H1) 函数$f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^2\to ℝ$ 连续。

本文的主要结果如下：

定理1 假定(H1)成立。若存在常数$L_i,i=1,2,3,4$ ，使得$L_2>L_1\ge B$ ，$0<L_3<L_4\le B$ ，且$f$ 满足

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_1,L_2\right],$ (5)

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_3,L_4\right],$ (6)

则问题(1)~(2)在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

定理2 假定(H1)成立。若存在常数$L_i,i=1,2,\cdots ,8$ ，使得$L_2>L_1\ge C$ ，$L_3>L_4\ge C$ ，$0<L_5<L_6\le C$ ，$0<L_7<L_8\le C$ ，其中$C=B-A$ ，且$f$ 满足

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left(\left[L_1,L_2\right]\cup \left[L_5,L_6\right]\right),$ (7)

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left(\left[L_3,L_4\right]\cup \left[L_7,L_8\right]\right),$ (8)

则问题(1)和(4)在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

2. 预备知识

本文所用的Banach空间是$C\left[0,1\right]$ ，其上范数是${\left|x\right|}_0=\text{max}\left\{\left|x\right|:0\le t\le 1\right\}$ 。$C^1\left[0,1\right]$ 在范数${\left|x\right|}_1=\text{max}\left\{{\left|x\right|}_0,{\left|x^{\prime }\right|}_0\right\}$ 下构成Banach空间，对$\forall x\in C^2\left[0,1\right]$ ，定义范数${\left|x\right|}_2=\text{max}\left\{{\left|x\right|}_0,{\left|x^{\prime }\right|}_0,{\left|x^{″}\right|}_0\right\}$ 。

设$ℬ$ 是满足边值条件(2)、(3)或(4)的函数构成的集合，记$C_{ℬ}^2\left[0,1\right]=C^2\left[0,1\right]\cap ℬ$ ，定义非线性算子$L:C_{ℬ}^2\left[0,1\right]\to C\left[0,1\right]$ ，$Lu={\left[{\phi }_p\left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }$ 。

定义算子$T:C^1\left[0,1\right]\to C_{ℬ}^2\left[0,1\right]$ ，

$Tu\left(t\right)=A+{\displaystyle {\int }_0^t{\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-{\displaystyle {\int }_s^{1}f\left(\tau ,u,u^{\prime }\right)d\tau }\right)\text{d}s},$

则算子$T$ 为全连续算子。

证明 首先证明$T$ 是连续的。设$u_n,u\in C^1\left[0,1\right]$ ，$u_n\to u\left(n\to \infty \right)$ ，由函数$f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^2\to ℝ$ 连续，得$f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\rightrightarrows f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上一致收敛，

进而

${\displaystyle {\int }_{\tau }^{1}f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}\to {\displaystyle {\int }_{\tau }^{1}f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s},$

又因为${\phi }_p^{-1}$ 连续，故

${\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-{\displaystyle {\int }_{\tau }^{1}f\left(s,u_n\left(s\right),{u^{\prime }}_n\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\rightrightarrows {\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-{\displaystyle {\int }_{\tau }^{1}f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right).$

最后由积分的一致收敛性可得到$T{u}_n\rightrightarrows Tu$ ，${\left(T{u}_n\right)}^{\prime }\rightrightarrows {\left(Tu\right)}^{\prime }$ ，${\left(T{u}_n\right)}^{\prime \text{}\prime }\rightrightarrows {\left(Tu\right)}^{\prime \text{}\prime }$ ，即$T{u}_n\to Tu$ 在$C^2\left[0,1\right]$ 中，故$T$ 是连续的。

再证明$T\left(S\right)$ 在$C_{ℬ}^2\left[0,1\right]$ 中是相对紧的。

设$S\subset C^1\left[0,1\right]$ 是有界集，即$\exists M>0$ ，$\forall u\in S$ ，${\left|u\right|}_1\le M$ 。

对于$\left|Tu\left(t\right)\right|$ ，$\left|Tu\left(t\right)\right|\le \left|A\right|+\left|{\displaystyle {\int }_0^t{\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-{\displaystyle {\int }_s^{1}f\left(\tau ,u,u^{\prime }\right)\text{d}\tau }\right)\text{d}s}\right|$ ，因为$u\in S$ ，$f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)$ 。

在紧集$\left[0,1\right]\times \left[-M,M\right]\times \left[-M,M\right]$ 上连续，故$\left|f\right|\le C_1$ ，由于${\phi }_p^{-1}$ 在紧集上有界，则$\left|Tu\left(t\right)\right|\le C_2$ 。

对于$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\right|$ ，$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\right|=\left|{\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-{\displaystyle {\int }_{\tau }^{1}f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right|\le C_3$ ，

对于$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(t\right)\right|$ ，$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime \text{}\prime }\left(t\right)\right|=\left|{\left({\phi }_p^{-1}\right)}^{\prime }(\cdot )\cdot \left(-f\left(t,u,u^{\prime }\right)\right)\right|\le C_4$ ，

因此，${\left|Tu\right|}_2\le \max \left\{C_2,C_3,C_4\right\}$ ，$T\left(S\right)$ 一致有界。

对于任意$t_1,t_2\ge 0$ ，不妨设$t_1\le t_2$ ，存在一个$C_3>0$ ，使得$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\right|\le C_3$ 。借助Lagrange中值定理，可得

$\left|\left(Tu\right)\left(t_1\right)-\left(Tu\right)\left(t_2\right)\right|\le C_3\left|t_1-t_2\right|,t_1,t_2\in \left[0,1\right],$

取$\delta =\frac{\epsilon }{C_3}$ ，则当$\left|t_1-t_2\right|<\delta$ 时$\left|\left(Tu\right)\left(t_1\right)-\left(Tu\right)\left(t_2\right)\right|<\epsilon$ ，故$\left(Tu\right)\left(t\right)$ 等度连续。

存在一个$C_4>0$ ，使得$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\right|\le C_4$ 。则同样使用Lagrange中值定理，有

$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_2\right)\right|\le C_4\left|t_1-t_2\right|,t_1,t_2\in \left[0,1\right],$

取$\delta =\frac{\epsilon }{C_4}$ ，则当$\left|t_1-t_2\right|<\delta$ 时$\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_2\right)\right|<\epsilon$ ，故${\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)$ 等度连续。

综上，由Arzela-Ascoli定理可知，$T\left(S\right)$ 在$C_{ℬ}^2\left[0,1\right]$ 中是相对紧的，$T$ 将$C^1\left[0,1\right]$ 中的有界子集映为$C_{ℬ}^2\left[0,1\right]$ 中的相对紧集。因此$T$ 是一个全连续算子。

本文的主要工具是

引理1 ([7] Leray-Schauder原理)设$f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^2\to ℝ$ 连续，$L:C_{ℬ}^2\left[0,1\right]\to C\left[0,1\right]$ 是一一映射。若存在常数$0<M<\infty$ ，使得同伦族问题

$Lu=\lambda f\left(t,u,u^{\prime }\right),t\in \left[0,1\right],\lambda \in \left[0,1\right],u\left(t\right)\in ℬ$

的任意一个解$u$ 有${\left|u\right|}_2<M$ 。则问题

$Lu=f\left(t,u,u^{\prime }\right),t\in \left[0,1\right],u\left(t\right)\in ℬ$

在$C_{ℬ}^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

3. 主要结果的证明

定理1的证明 考虑同伦族问题

${\left[{\phi }_p\left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }=\lambda f\left(t,u,u^{\prime }\right),t\in \left[0,1\right],\lambda \in \left[0,1\right],$ (9)

$u\left(0\right)=A,u^{\prime }\left(1\right)=B,$ (10)

显然$L:C_{ℬ}^2\left[0,1\right]\to C\left[0,1\right]$ 是一一映射。若问题(9)~(10)的所有解在$C^2\left[0,1\right]$ 中有一个不依赖于$\lambda \in \left[0,1\right]$ 的先验界，则问题(1)~(2)在$C^2\left[0,1\right]$ 中有解。

首先估计$u^{\prime }$ 的界，对方程(9)两边从$t$ 到1积分，结合边界条件(10)，有

$u^{\prime }\left(t\right)={\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-\lambda {\displaystyle {\int }_t^{1}f\left(s,u,u^{\prime }\right)\text{d}s}\right).$ (11)

对(11)从0到$t$ 积分，进而可以得到

$u\left(t\right)=A+{\displaystyle {\int }_0^t{\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(B\right)-\lambda {\displaystyle {\int }_s^{1}f\left(\tau ,u,u^{\prime }\right)\text{d}\tau }\right)\text{d}s}.$

我们宣称

$S_0=\left\{t\in \left[0,1\right]:L_1<u^{\prime }\left(t\right)\le L_2\right\},S_1=\left\{t\in \left[0,1\right]:L_3\le u^{\prime }\left(t\right)<L_4\right\}$

均为空集。反设$S_0$ 与$S_1$ 非空，不妨设$t_0\in S_0$ ，$t_1\in S_1$ 。若存在${\overline{t}}_0\in \left(t_0,1\right]$ 和${\overline{t}}_1\in \left(t_1,1\right]$ ，使得$u^{\prime }\left({\overline{t}}_0\right)<u^{\prime }\left(t_0\right)$ ，$u^{\prime }\left({\overline{t}}_1\right)>u^{\prime }\left(t_1\right)$ 。

由$u^{\prime }\left(t\right)$ 的连续性，我们可以取到${\overline{t}}_0\in \left(t_0,1\right]\cap S_0$ 和${\overline{t}}_1\in \left(t_1,1\right]\cap S_1$ 。当$t\in S_0$ 时，结合(5)，${\left[{\phi }_p\left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }=\lambda f\left(t,u,u^{\prime }\right)\ge 0$ ，可得${\phi }_p\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)$ 单调递增，由于${\phi }_p$ 是严格单调增的奇算子，其逆算子${\phi }_p^{-1}$ 也严格递增，故$u^{\prime }\left(t\right)={\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right)$ 单调递增，当$t\in S_1$ 时，结合(6)，同理可得到$u^{\prime }\left(t\right)={\phi }_p^{-1}\left({\phi }_p\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right)$ 单调递减。

所以$u^{\prime }\left({\overline{t}}_0\right)\ge u^{\prime }\left(t_0\right),u^{\prime }\left({\overline{t}}_1\right)\le u^{\prime }\left(t_1\right)$，这与$u^{\prime }\left({\overline{t}}_0\right)<u^{\prime }\left(t_0\right),u^{\prime }\left({\overline{t}}_1\right)>u^{\prime }\left(t_1\right)$矛盾。因此，

$u^{\prime }\left(t\right)\ge u^{\prime }\left(t_0\right),t\in \left(t_0,1\right],u^{\prime }\left(t\right)\le u^{\prime }\left(t_1\right),t\in \left(t_1,1\right],$

特别地，

$B=u^{\prime }\left(1\right)>u^{\prime }\left({\overline{t}}_0\right)>u^{\prime }\left(t_0\right)>L_1\ge B,B=u^{\prime }\left(1\right)<u^{\prime }\left({\overline{t}}_1\right)<u^{\prime }\left(t_1\right)<L_4\ge B.$

这与边值条件$u^{\prime }\left(1\right)=B$ 矛盾。所以$S_0$ 和$S_1$ 是空集。

因为$u^{\prime }\in C\left[0,1\right]$ ，所以对$t\in \left[0,1\right]$ ，有$L_4\le u^{\prime }\left(t\right)\le L_1$ 。故

$\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|\le \text{max}\left\{\left|L_1\right|,\left|L_4\right|\right\}:=M,t\in \left[0,1\right].$ (12)

另一方面，

$\left|u\left(t\right)\right|=\left|A+{\displaystyle {\int }_0^t{u}^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}\right|\le \left|A\right|+M=M_1.$ (13)

又因为$0<L_4\le u^{\prime }\left(t\right)\le L_1$ ，故同伦族方程(9)可变为

${\left[{\phi }_p\left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }=\left(p-1\right){\left|u^{\prime }\right|}^{p-2}{u}^{″}=\lambda f\left(t,u,u^{\prime }\right),$

进而$u$ 满足

$u^{″}\left(t\right)=\frac{\lambda f\left(t,u,u^{\prime }\right)}{\left(p-1\right){\left|u^{\prime }\right|}^{p-2}}.$

结合(H1)，$0<L_4\le u^{\prime }\left(t\right)\le L_1$ ，以及(12)~(13)，我们可以推出

$\left|u^{″}\left(t\right)\right|\le M_2,t\in \left[0,1\right],$

其中$0<M_2<\infty$ 是不依赖于$\lambda$ 的常数。因此，同伦族方程(9)~(10)的任意解$u\left(t\right)$ 满足

${\left|u\right|}_2<\text{max}\left\{M,M_1,M_2\right\}+1,t\in \left[0,1\right].$

运用引理1，我们可以得到问题(1)~(2)至少存在一个解。 $\square$

定理2的证明 考虑同伦族问题

${\left[{\phi }_p\left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }=\lambda f\left(t,u,u^{\prime }\right),t\in \left[0,1\right],\lambda \in \left[0,1\right],$ (14)

$u\left(0\right)=A,u\left(1\right)=B,$ (15)

设$u\in C^2\left[0,1\right]$ 是问题(14)~(15)的解，由中值定理得，存在$d\in \left(0,1\right)$ ，使得$u^{\prime }\left(d\right)=B-A$ 。因此，

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,d\right]\times ℝ\times \left[L_1,L_2\right],$

及

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,d\right]\times ℝ\times \left[L_7,L_8\right],$

由定理1的证明可知，

$\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|\le \text{max}\left\{\left|L_1\right|,\left|L_8\right|\right\},t\in \left[0,d\right].$

类似地，由于

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[d,1\right]\times ℝ\times \left[L_3,L_4\right],$

及

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[d,1\right]\times ℝ\times \left[L_5,L_6\right],$

则

$\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|\le \text{max}\left\{\left|L_3|,|L_6\right|\right\},t\in \left[d,1\right].$

因此，对任意$t\in \left[0,1\right]$ ，有$\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|\le M_0$ ，其中$M_0=\text{max}\left\{\left|L_1\right|,\left|L_3\right|,\left|L_6\right|,\left|L_8\right|\right\}$ ，进一步的证明完全类似于定理1。 $\square$

注意到，根据定理1和定理2的证明，类似地，可得到如下定理。

定理3 假定(H1)成立。若存在常数$L_i,i=1,2,3,4$ ，使得$0>L_2>L_1\ge B$ ，$L_3<L_4\le B$ ，且$f$ 满足

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_1,L_2\right],$

及

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_3,L_4\right],$

则问题(1)~(2)在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

定理4 假定(H1)成立。若存在常数$L_i,i=1,2,3,4$ ，使得$L_2>L_1\ge A$ ，$0<L_3<L_4\le B$ ，且$f$ 满足

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_1,L_2\right],$

及

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_3,L_4\right],$

则问题(1)和(3)在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

定理5 假定(H1)成立。若存在常数$L_i,i=1,2,3,4$ ，使得$0>L_2>L_1\ge A$ ，$L_3<L_4\le B$ ，且$f$ 满足

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_1,L_2\right],$

及

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[L_3,L_4\right],$

则问题(1)和(3)在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

定理6 假定(H1)成立。若存在常数$L_i,i=1,2,\cdots ,8$ ，使得$0>L_2>L_1\ge C$ ，$0>L_3>L_4\ge C$ ，$L_5<L_6\le C$ ，$L_7<L_8\le C$ ，其中$C=B-A$ ，且$f$ 满足

$f\left(t,u,v\right)\ge 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left(\left[L_1,L_2\right]\cup \left[L_5,L_6\right]\right),$

及

$f\left(t,u,v\right)\le 0,\left(t,u,v\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left(\left[L_3,L_4\right]\cup \left[L_7,L_8\right]\right),$

则问题(1)和(4)在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解。

例子

${\left[{\phi }_p\left(u^{\prime }\right)\right]}^{\prime }=\left(u^{\prime }-1\right)\left(u^2+2\right),t\in \left[0,1\right],$

$u\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=1,$

其中${\phi }_p\left(s\right)={\left|s\right|}^{p-2}s$ ，$p>1$ ，取常数$L_1=1$ ，$L_2=2$ ，$L_3=\frac{1}{2}$ ，$L_4=1$ ，

$f\left(t,u,u^{\prime }\right)=\left(u^{\prime }-1\right)\left(u^2+2\right)\ge 0,\left(t,u,u^{\prime }\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[1,2\right],$

$f\left(t,u,u^{\prime }\right)=\left(u^{\prime }-1\right)\left(u^2+2\right)\le 0,\left(t,u,u^{\prime }\right)\in \left[0,1\right]\times ℝ\times \left[\frac{1}{2},1\right],$

显然满足定理1的所有条件，在$C^2\left[0,1\right]$ 中至少存在一个解$u\left(t\right)=t$ 。

这个例子中$f$ 关于$u$ 是无界的，经典的存在性定理一般要求$f$ 关于$u$ 满足一定的增长限制，这个定理仅限制了$u^{\prime }$ 的两个区间上的符号，绕开了增长限制，在无界非线性项的处理上有优势。