向量优化问题Benson真有效解最优性的二阶弱次微分刻画

Second-Order Weak Subdifferential Characterization of Optimality for Benson Properly Efficient Solutions in Vector Optimization Problems

摘要: 本文主要讨论向量优化问题Benson真有效解最优性条件。利用向量值映射的二阶弱次微分，在较弱的假设条件下，建立了向量优化问题Benson真有效解最优性必要条件和充分条件。同时，建立了复合优化问题最优解的2个充分条件。所获的主要结果改进并推广了文献中相应的结果。

Abstract: This paper mainly discusses the optimality conditions for Benson properly efficient solutions in vector optimization problems. Using the second-order weak subdifferential of vector-valued mappings, necessary and sufficient conditions for the optimality of Benson properly efficient solutions in vector optimization problems are established under weaker assumptions. Meanwhile, two sufficient conditions for the optimal solution of composite optimization problems are established. The main results obtained improve and generalize the corresponding results in the literature.

1. 引言

次微分作为研究最优化问题的重要工具，得到了国内外学者的广泛关注。Rockafellar [1]首先对于实值函数提出了次微分的概念。Borwein [2]利用锥序替代实数序将经典的次微分概念从实值函数的情形推广到向量值函数的情形，同时也提出了向量值函数的近似次微分，并讨论了向量值函数意义下的次微分与共轭函数之间的联系。1990年，Chen和Craven [3]用代数形式定义了一种向量值函数的弱次微分并利用凸集分离定理讨论了这种弱次微分的存在性。2012年，Mordukhovich和Rockafellar [4]建立了实值函数的二阶次微分链式法则，并讨论了其在约束优化问题的一些应用。2021年，İnceoğlu [5]定义了一种新的二阶弱次微分的概念，证明了该二阶弱次可微函数具有全局最小值的充要条件，并且证明了二阶弱次可微函数是下半连续和下Lipschitz的。2023年，Zhai等人[6]利用标量化函数推广文献[5]中的次微分。2024年，Wang和Zhang [7]通过标量化的方法引入了向量值映射的新的二阶弱次微分，探讨了其一些性质，并且借助该次微分建立了向量优化问题和复合向量优化问题的弱有效解最优性必要条件和充分条件。据我们所知，到目前为止，还没有利用向量值映射的二阶弱次微分[7]讨论向量优化问题Benson真有效解最优性条件。

2. 预备知识

在本文中，设$X$ 是实赋范线性空间，$Y$ 是实拓向量空间。$X^{\ast }$ 和$Y^{\ast }$ 分别为$X$ 和$Y$ 的拓扑对偶空间。$0_X$ 和$0_Y$ 分别为$X$ 和$Y$ 的原点。设$K\subseteq Y$ 为非空闭凸尖锥，$\text{cl }K$ 和$\mathrm{int}K$ 定义为$K$ 的闭包和$K$ 的内部。

$K$ 的对偶锥$K^{+}$ 定义为

$K^{+}=\left\{y^{\ast }\in Y^{\ast }:\langle y^{\ast },y\rangle \ge 0,\forall y\in K\right\}.$

$K$ 的严格对偶锥$K^{+i}$ 定义为

$K^{+i}=\left\{y^{\ast }\in Y^{\ast }:\langle y^{\ast },y\rangle >0,\forall y\in K\backslash \left\{0_Y\right\}\right\}.$

设$A\subseteq Y$ 为非空集合，$\text{cone}\left(A\right)=\left\{\lambda a:a\in A,\lambda \in {ℝ}_{+}\right\}$ 为$A$ 的生成锥。

定义2.1 [7] 设$S\subseteq X$ 为非空集合，$F:S\to Y$ 是一个向量值映射，$\overline{x}\in S$ ，$\left(x^{\ast },\lambda ,c\right)\in X^{*}\times K^{+}\times {ℝ}_{+}$ 。如果

$\langle \lambda ,F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\rangle \ge {\langle x^{\ast },x-\overline{x}\rangle }^2-c{\Vert x-\overline{x}\Vert }^2,\forall x\in S,$

则称向量组$\left(x^{\ast },\lambda ,c\right)$ 为$F$ 在$\overline{x}$ 处的二阶弱次梯度。称集合

$\begin{array}{c}{\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right)=\{\left(x^{*},\lambda ,c\right)\in X^{*}\times K^{+}\times {ℝ}_{+}:\langle \lambda ,F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\rangle \\ \ge {\langle x^{\ast },x-\overline{x}\rangle }^2-c{\Vert x-\overline{x}\Vert }^2,\forall x\in S\}\end{array}$

是$F$ 在$\overline{x}$ 处的二阶弱次微分。如果${\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right)\ne \varnothing$ ，则称$F$ 在$\overline{x}$ 处是二阶弱次可微的。

定义2.2 [8] 设$S\subseteq X$ 为非空集合，$F:S\to Y$ 是一个向量值映射。如果存在$\theta \in \mathrm{int}K$ ，使得对任意的$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，$x,y\in S$ 和$\epsilon >0$ ，存在$z\in S$ 和$\eta >0$ 有

$\epsilon \theta +\alpha F\left(x\right)+\left(1-\alpha \right)F\left(y\right)-\eta F\left(z\right)\in K,$

则称$F$ 在$S$ 上是广义K-次似凸的。

引理2.1 [8] 设$S\subseteq X$ 为非空集合，$F:S\to Y$ 是一个向量值映射。$F$ 在$S$ 上是广义K-次似凸的当且仅当$\text{cone}\left(F\left(S\right)\right)+\mathrm{int}K$ 是凸的。

根据文献[9]中引理2.2和引理2.3，我们可以得到下面的引理2.2。

引理2.2 [9] 设$K\subseteq Y$ 是凸锥且$\mathrm{int}K\ne \varnothing$ 。设$S\subseteq X$ 为非空集合，$F:S\to Y$ 是一个向量值映射，$\overline{x}\in S$ ，则

$\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)-F\left(\overline{x}\right)\right)+\mathrm{int}K\right)=\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right).$

3. 最优性条件

设$S$ 是$X$ 的非空子集，$F:S\to Y$ 是一个向量值映射。本文考虑如下向量优化问题：

$\left(\text{VOP}\right)\{\begin{array}{cc}\min & F\left(x\right),\\ s.t.& x\in S.\end{array}$

定义3.1 [10] 设$\overline{x}\in S$ 。如果

$\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right)\cap \left(-K\right)=\left\{0_Y\right\},$

则称$\overline{x}$ 为问题(VOP)的Benson真有效解。

为了讨论问题(VOP)的Benson真有效解的最优性条件，我们借助于标量化思想，构造如下复合优化问题：

${\left(\text{VOP}\right)}_{\lambda }\{\begin{array}{cc}\text{min}& \langle \lambda ,F\left(x\right)\rangle ,\\ s.t.& x\in S,\end{array}$

其中$\lambda \in Y^{*}\backslash \left\{0_{Y^{*}}\right\}$ 。

定义3.2 设$\overline{x}\in S$ 。如果

$\langle \lambda ,F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\rangle \ge 0,\forall x\in S,$

则称$\overline{x}$ 是复合优化问题${\left(\text{VOP}\right)}_{\lambda }$ 的最优解。

引理3.1 [11] 设$N,K\subseteq Y$ 是闭凸锥且$N\cap K=\left\{0_Y\right\}$ 。若$K$ 是尖的且满足局部紧性，则

$\left(-N^{+}\right)\cap \left(K^{+i}\right)\ne \varnothing .$

根据文献[8]中定理4.1，我们得到如下引理3.2。

引理3.2 [8] 设$\overline{x}\in S$ 。若存在$\lambda \in K^{+i}$ ，使得$\overline{x}$ 是问题${\left(\text{VOP}\right)}_{\lambda }$ 的最优解，则$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解。

首先，我们建立问题(VOP) Benson真有效解的最优性必要条件。

定理3.1 设$\overline{x}\in S$ ，$F-F\left(\overline{x}\right)$ 在$S$ 上是广义K-次似凸的且$K$ 是局部紧的。若$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解，则$F$ 在$\overline{x}$ 处是二阶弱次可微的，存在$\lambda \in K^{+i}$ ，使得

$\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right),\forall c\in {ℝ}_{+}.$

证明：设$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解，则

$\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right)\cap \left(-K\right)=\left\{0_Y\right\}.$ (3.1)

由$F-F\left(\overline{x}\right)$ 在$S$ 上是广义K-次似凸的，可得$\text{cone}\left(F\left(S\right)-F\left(\overline{x}\right)\right)+\mathrm{int}K$是凸的。根据引理2.2可知$\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right)$是闭凸锥。

因为$K$ 是闭凸尖锥且为局部紧集，则根据引理3.1与式(3.1)可知

${\left(\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right)\right)}^{+}\cap K^{+i}\ne \varnothing .$

因此，存在$\lambda \in K^{+i}$ ，使得

$\lambda \in {\left(\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right)\right)}^{+}.$

因为

$\begin{array}{c}F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\subseteq F\left(x\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\\ \subseteq \text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(x\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right),\forall x\in S,\end{array}$

所以

$\langle \lambda ,F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\rangle \ge 0,\forall x\in S.$ (3.2)

设$c\in {ℝ}_{+}$ 。由式(3.2)可得

$\langle \lambda ,F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\rangle \ge {\langle {\text{0}}_{X^{\text{*}}},x-\overline{x}\rangle }^2-c{\Vert x-\overline{x}\Vert }^2\text{,}\forall x\in S.$

故

$\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right),\forall c\in {ℝ}_{+},$

从而，$F$ 在$\overline{x}$ 处是二阶弱次可微的。 (证毕)

注3.1 众所周知，广义K-次似凸性的存在条件比K-次似凸性的存在条件弱。因此定理3.1改进并推广了文献[7]中定理4.3，例3.1说明了这个情况。

例3.1 设$S=\left\{\left(2,0\right),\left(0,2\right)\right\}\subseteq X={ℝ}^2$ ，$Y={ℝ}^2$ ，$K={ℝ}_{+}^2$ 和$F:S\to Y$ 为恒等映射。取$\overline{x}=\left(2,0\right)$ 。则

$\text{cone}\left(F\left(S\right)-F\left(\overline{x}\right)\right)+\mathrm{int}K=\left\{\left(y_1,y_2\right)\in Y:y_2>-y_1\right\}$

和

$\text{cl}\left(\text{cone}\left(F\left(S\right)+K-F\left(\overline{x}\right)\right)\right)\cap \left(-K\right)=\left\{0_Y\right\}.$

因此$F-F\left(\overline{x}\right)$ 在$S$ 上是广义K-次似凸的，并且$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解。

取$\lambda =\left(1,1\right)$ 。则$\lambda \in K^{+i}={ℝ}_{++}^2$ 和

$\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right),\forall c\in {ℝ}_{+}.$

因为$F\left(S\right)+\mathrm{int}K$ 不是凸的，则根据[8]中命题3.2，我们可知$F$ 在$S$ 上不是K-次似凸的。于是，文献[7]中定理4.3在此处不适用。

根据定理3.1的证明可得如下推论。

推论3.1 设$\overline{x}\in S$ ，$F-F\left(\overline{x}\right)$ 在$S$ 上是广义$K-$ 次似凸的且$K$ 是局部紧的。若$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解，则存在$\lambda \in K^{+i}$ ，使得$\overline{x}$ 是复合优化问题${\left(\text{VOP}\right)}_{\lambda }$ 的最优解。

定理3.2 设$\overline{x}\in S$ 。若存在$\lambda \in K^{+i}$ ，使得

$\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right),\forall c\in {ℝ}_{+},$

则$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解。

证明：因为$0\in {ℝ}_{+}$ 和

$\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right),\forall c\in {ℝ}_{+},$

所以，由定义2.1可得

$\langle \lambda ,F\left(x\right)-F\left(\overline{x}\right)\rangle \ge {\langle 0_{X^{*}},x-\overline{x}\rangle }^2-0{\Vert x-\overline{x}\Vert }^2=0,\forall x\in S.$

因此

$\langle \lambda ,F\left(x\right)\rangle \ge \langle \lambda ,F\left(\overline{x}\right)\rangle ,\forall x\in S.$

故$\overline{x}$ 是问题${\left(\text{VOP}\right)}_{\lambda }$ 的最优解。因为$\lambda \in K^{+i}$ ，则根据引理3.2可知，$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解。 (证毕)

注3.2 由于文献[12]中定理3.1是在高阶锥凸的假设条件下得到的，而在定理3.2不涉及高阶锥凸的假设条件，因此定理3.2改进并推广了文献[12]中定理3.1。例3.2说明了这个情况。

例3.2 设$S=X=ℝ$ ，$Y={ℝ}^2$ ，$K={ℝ}_{+}^2$ 和$F:S\to Y$ 定义为$F\left(x\right)=\left(x^2,x^2\right)$ 。取$\overline{x}=0$ 和$\lambda =\left(1,1\right)$ 。则$\lambda \in K^{+i}={ℝ}_{++}^2$ ，

$\begin{array}{c}\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right)\\ =\left\{\left(x^{*},\left(y_1,y_2\right),c\right)\in ℝ\times {ℝ}_{+}^2\times {ℝ}_{+}:y_1+y_2+c\ge {\left(x^{*}\right)}^2\right\},\forall c\in {ℝ}_{+}\end{array}$

和$\overline{x}$ 是向量优化问题$\left(\text{VOP}\right)$ 的Benson真有效解。

取$m=2$ ，$x_1=2$ ，$x_2=1$ 和$\alpha =\frac{1}{2}$ 。则

${\alpha }^{2}F\left(x_1\right)+\left(1-{\alpha }^2\right)F\left(x_2\right)=\left(\frac{7}{4},\frac{7}{4}\right)$

和

$F\left(\alpha x_1+\left(1-\alpha \right)x_2\right)=\left(\frac{9}{4},\frac{9}{4}\right).$

因此

${\alpha }^{2}F\left(x_1\right)+\left(1-{\alpha }^2\right)F\left(x_2\right)\notin F\left(\alpha x_1+\left(1-\alpha \right)x_2\right)+K.$

从而$F$ 在$S$ 上不是二阶K-凸的。于是文献[12]中定理3.1在此处不适用。

推论3.2 设$\overline{x}\in S$ 。若存在$\lambda \in K^{+i}$ ，使得

$\left(0_{X^{*}},\lambda ,c\right)\in {\partial }_w^{2}F\left(\overline{x}\right),\forall c\in {ℝ}_{+},$

则$\overline{x}$ 是复合优化问题${\left(\text{VOP}\right)}_{\lambda }$ 的最优解。

基金项目

本文受重庆市教委科学技术研究计划项目(No.KJZD-K202300708)和重庆市研究生科研创新项目(No.CYS240517)资助。

NOTES

^*通讯作者。