加权Dirichlet空间上加权复合算子的有界性与紧性

Boundedness and Compactness of Weighted Composition Operators on Weighted Dirichlet Spaces

摘要: 本文研究了由双倍权(doubling weight)诱导的加权Dirichlet空间$D_{\omega }^2$ 上加权复合算子$W_{\phi ,\psi }$ 的有界性与紧性。我们首先回顾Liu和Lou (2013)在幂权Dirichlet空间$D_{\alpha }^2$ 上的经典结果，其利用Nevanlinna计数函数与Carleson测度给出了算子有界与紧的完整刻画。在此基础上，借助Chen (2023)关于双倍权Bergman空间上加权复合算子差分的Carleson测度理论，我们将Liu和Lou的结果推广到更一般的双倍权Dirichlet空间$D_{\omega }^2$ 中。我们建立了$W_{\phi ,\psi }$ 在$D_{\omega }^2$ 上有界(紧)的充分必要条件，这些条件分别用相关的拉回测度是(消失的) s-Carleson测度，以及Nevanlinna计数函数的加权积分增长行为来表述。本文的结果不仅扩展了经典幂权情形的理论，而且为研究双倍权Dirichlet空间上算子性质提供了新的工具。

Abstract: This paper investigates the boundedness and compactness of weighted composition operators $W_{\phi ,\psi }$ on weighted Dirichlet spaces $D_{\omega }^2$ induced by doubling weights. We first review the classical results of Liu and Lou (2013) on power-weighted Dirichlet spaces $D_{\alpha }^2$ , where they provided a complete characterization of operator boundedness and compactness using Nevanlinna counting functions and Carleson measures. Building on this foundation, we extend Liu and Lou’s results to the more general setting of doubling-weighted Dirichlet spaces $D_{\omega }^2$ by leveraging Chen’s (2023) theory of Carleson measures for differences of weighted composition operators on doubling-weighted Bergman spaces. We establish necessary and sufficient conditions for the boundedness (compactness) of $W_{\phi ,\psi }$ on $D_{\omega }^2$ , which are formulated in terms of the pullback measures being (vanishing) s-Carleson measures and the weighted integral growth behavior of Nevanlinna counting functions. The results of this paper not only extend the classical theory for power-weighted cases but also provide new tools for studying operator properties on doubling-weighted Dirichlet spaces.

1. 引言

设$\mathbb{D}$ 表示复平面上的单位开圆盘，$H\left(\mathbb{D}\right)$ 为$\mathbb{D}$ 上全体解析函数构成的线性空间。给定$\phi ,\psi \in H\left(\mathbb{D}\right)$ 满足$\phi \left(\mathbb{D}\right)\subseteq \mathbb{D}$ ，加权复合算子$W_{\phi ,\psi }$ 定义为

$\left(W_{\phi ,\psi }f\right)\left(z\right)=\psi \left(z\right)f\left(\phi \left(z\right)\right),f\in H\left(\mathbb{D}\right).$

当$\psi \equiv 1$ 时，$W_{\phi ,\psi }$ 即为通常的复合算子$C_{\phi }$ 。加权复合算子作为复合算子与乘法算子的乘积，在函数空间算子理论中扮演着重要角色，其有界性、紧性、谱性质等已被广泛研究(参见[1] [2])。

本文关注的函数空间是加权Dirichlet空间。对给定的权函数$\omega$ ，定义

$D_{\omega }^2=\left\{f\in H\left(\mathbb{D}\right):{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}^2={\left|f\left(0\right)\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}<\infty \right\},$

其中$\text{d}A$ 是$\mathbb{D}$ 上的规范面积测度。当$\omega \left(z\right)={\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }\left(\alpha >-1\right)$ 时，即为经典的加权Dirichlet空间$D_{\alpha }^2$ 。Liu和Lou [3]在$D_{\alpha }^2$ 上建立了$W_{\phi ,\psi }$ 有界与紧的充要条件，其表述涉及Nevanlinna计数函数与s-Carleson测度。

另一方面，近年来由双倍权(doubling weight)诱导的Bergman空间$A_{\omega }^p$ 上的算子理论得到迅速发展。所谓双向双倍权$\omega$ ，是指满足双向双倍条件$\omega \in D=\widehat{D}\cap Dˇ$ 的径向权(定义见第2节)。这类权包含了幂权、指数权等广泛类别，其对应的函数空间具有丰富的结构与良好的实变性质(参见[4] [5])。Chen [6]最近研究了双倍权Bergman空间上加权复合算子差分的有关问题，其核心工具是联合Carleson测度(joint Carleson measure)及其在双倍权下的刻画。

本文的目标是将Liu和Lou在幂权Dirichlet空间上的结果，推广到双倍权诱导的加权Dirichlet空间$D_{\omega }^2$ 。我们利用Chen文中关于双倍权下Carleson测度的刻画理论，重新表述Nevanlinna计数函数与Carleson条件，并建立$W_{\phi ,\psi }$ 在$D_{\omega }^2$ 上有界性与紧性的等价条件。这一推广不仅扩大了原结果的适用范围，而且为进一步研究双倍权Dirichlet空间上算子的差分、分量连通性等问题提供了理论基础。

本文结构如下：第2节介绍双倍权、加权Dirichlet空间及相关Carleson测度的预备知识；第3节陈述主要结果，即有界性(定理3.1)与紧性(定理3.2)的等价刻画；第4节给出主要定理的详细证明。

2. 预备知识

2.1. 双倍权与加权函数空间

设$\omega :\mathbb{D}\to \left[0,\infty \right)$ 是径向权，即$\omega \left(z\right)=\omega \left(\left|z\right|\right)$ 。定义

$\widehat{\omega }\left(r\right)={\displaystyle {\int }_r^1\omega \left(s\right)\text{d}s},0\le r<1.$

若存在常数$C=C\left(\omega \right)>1$ 使得

$\widehat{\omega }\left(r\right)\le C\widehat{\omega }\left(\frac{1+r}{2}\right),0\le r<1,$

则称$\omega$ 属于双倍权，记作$\widehat{\mathcal{D}}$ ；若存在常数$K>0$ 与$C>0$ 使得

$\widehat{\omega }\left(r\right)\ge C\widehat{\omega }\left(1-\frac{1-r}{K}\right),0\le r<1,$

则称$\omega$ 属于反向双倍权，记作$\mathcal{D}ˇ$ 。若$\omega \in \mathcal{D}�=\widehat{\mathcal{D}}\cap \mathcal{D}ˇ$ ，则称$\omega$ 为双向双倍权。

对双倍权$\omega$ ，存在常数$0<\alpha \left(\omega \right)\le \beta \left(\omega \right)<\infty$ 与$C\ge 1$ 使得

$\frac{1}{C}{\left(\frac{1-r}{1-t}\right)}^{\alpha }\le \frac{\widehat{\omega }\left(r\right)}{\widehat{\omega }\left(t\right)}\le C{\left(\frac{1-r}{1-t}\right)}^{\beta },0\le r\le t<1.$ (2.1)

定义扭曲权(twisted weight) $\tilde{\omega }\left(z\right)=\frac{\tilde{\omega }\left(z\right)}{1-\left|z\right|}$ 。由([7] Proposition 5)知，若$\omega \in \mathcal{D}$ ，则

${\Vert f\Vert }_{A_{\omega }^2}\asymp {\Vert f\Vert }_{A_{\tilde{\omega }}^2},f\in H\left(\mathbb{D}\right).$ (2.2)

2.2. Carleson测度

设$\omega \in \mathcal{D}$ ，$\mu$ 为$\mathcal{D}$ 上的正Borel测度。若存在常数$C>0$ 使得

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(z\right)\right|}^2\text{d}\mu \left(z\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{A_{\omega }^2}^2,\forall f\in A_{\omega }^2,$

则称$\mu$ 是$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。若对任意满足$�f_n{�}_{A_{\omega }^2}\le 1$ 且在$\mathbb{D}$ 的紧子集上一致收敛于0的序列$\left\{f_n\right\}\subset A_{\omega }^2$ ，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f_n\left(z\right)\right|}^2\text{d}\mu \left(z\right)}=0,$

则称$\mu$ 是消失的$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。

对$r\in \left(0,1\right)$ ，定义加权均值函数

${\widehat{\mu }}_{\omega ,r}\left(z\right)=\frac{\mu \left(\Delta \left(z,r\right)\right)}{\omega \left(\Delta \left(z,r\right)\right)},z\in \mathbb{D},$

其中$\Delta \left(z,r\right)$ 表示以$z$ 为中心、$r$ 为拟双曲半径的拟双曲圆盘。由([6] Theorem 3.1) (取$p=q=2$ )知：$\mu$ 是$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度当且仅当${\widehat{\mu }}_{\omega ,r}\in L^{\infty }\left(\mathbb{D}\right)$ ；$\mu$ 是消失的Carleson测度当且仅当${\lim }_{\left|z\right|\to 1}{\widehat{\mu }}_{\omega ,r}\left(z\right)=0$ 。这里$r$ 可取某个(任意)属于$\left(r_0\left(\omega \right),1\right)$ 的值，其中$r_0\left(\omega \right)$ 由(2.3)给出。

2.3. 加权复合算子与相关测度

设$\phi ,\psi \in D_{\omega }^2$ 满足$\phi \left(\mathbb{D}\right)\subseteq \mathbb{D}$ 。定义两个拉回测度：

${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(E\right)={\displaystyle {\int }_{{\phi }^{-1}\left(E\right)}{\left|\psi \left(z\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A}\left(z\right),$ (2.3)

${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}\left(E\right)={\displaystyle {\int }_{{\phi }^{-1}\left(E\right)}{\left|{\psi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A}\left(z\right),$ (2.4)

其中$E\subset \mathbb{D}$ 为Borel集。

3. 主要结果

以下两个定理给出了加权复合算子$W_{\phi ,\psi }$ 在$D_{\omega }^2$ 上有界性与紧性的完整刻画。

3.1. 有界性刻画

定理3.1 (有界性等价条件)。设$\omega \in \mathcal{D}$ ，$\phi ,\psi \in D_{\omega }^2$ 满足$\phi \left(\mathbb{D}\right)\subseteq \mathbb{D}$ ，且${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}$ 是$\left(D_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。则下列条件等价：

(i) $W_{\phi ,\psi }:D_{\omega }^2\to D_{\omega }^2$ 有界；

(ii) $\underset{\zeta \in \partial \mathbb{D},r\in \left(0,1\right)}{\sup }\frac{1}{\omega \left(S\left(\zeta ,r\right)\right)}{\displaystyle {\int }_{S\left(\zeta ,r\right)}{N}_{\phi ,\psi }\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}<\infty$ ，其中$N_{\phi ,\psi }\left(w\right)={\displaystyle {\sum }_{\phi \left(z\right)=\omega }{\left|\psi \left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)}$ 为加权 Nevanlinna计数函数；

(iii) ${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。

3.2. 紧性刻画

定理3.2 (紧性等价条件)。在定理3.1的相同假设下，下列条件等价：

(i) $W_{\phi ,\psi }:D_{\omega }^2\to D_{\omega }^2$ 紧；

(ii) $\underset{r\to 0}{\lim }\underset{\zeta \in \partial \mathbb{D}}{\sup }\frac{1}{\omega \left(S\left(\zeta ,r\right)\right)}{\displaystyle {\int }_{S\left(\zeta ,r\right)}{N}_{\phi ,\psi }\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}=0$ ；

(iii) ${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是消失的$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。

注3.3. 当$\omega \left(z\right)={\left(\log \frac{1}{\left|z\right|}\right)}^{\alpha }\left(\alpha >-1\right)$ 时，定理3.1与定理3.2即退化为Liu和Lou [3]的原有结果。本文的推广将权函数的范围从幂权扩大到了全体双倍权，并利用双倍权下的Carleson测度理论给出了统一表述。

4. 定理证明

4.1. 几个引理

首先，我们给出一个关键引理，它将$D_{\omega }^2$ 上加权复合算子的有界性(紧性)转化为$A_{\omega }^2$ 上另一算子的有界性(紧性)。

引理4.1设$\omega \in \mathcal{D}$ ，$\phi ,\psi \in D_{\omega }^2$ 满足$\phi \left(\mathbb{D}\right)\subseteq \mathbb{D}$ 。若${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}={\displaystyle {\int }_{{\phi }^{-1}\left(E\right)}{\left|{\psi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}$ 是$\left(D_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度，则

(i) $W_{\phi ,\psi }:D_{\omega }^2\to D_{\omega }^2$ 有界当且仅当$W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}:A_{\omega }^2\to A_{\omega }^2$ 有界；

(ii) $W_{\phi ,\psi }:D_{\omega }^2\to D_{\omega }^2$ 紧当且仅当$W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}:A_{\omega }^2\to A_{\omega }^2$ 紧。

证明. 我们仅证明有界性的等价性，紧性的证明类似。

必要性：假设$W_{\phi ,\psi }$ 有界。对任意$g\in A_{\omega }^2$ ，令

$f\left(z\right)={\displaystyle {\int }_0^{z}g\left(\zeta \right)\text{d}\zeta },$

则存在$f\in D_{\omega }^2$ ，使得$f^{\prime }=g$ ，$f\left(0\right)=0$ ，则${\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}={\Vert g\Vert }_{A_{\omega }^2}$ 。

因为${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}$ 是$\left(D_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\phi ,{\psi }^{\prime }}g\Vert }_{A_{\omega }^2}^2={\Vert {\psi }^{\prime }g\left(\phi \left(z\right)\right)\Vert }_{A_{\omega }^2}^2={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\psi }^{\prime }\left(z\right)g\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\psi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2{\left|g\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|g\left(z\right)\right|}^2\text{d}{\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}\left(z\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}\end{array}$

因为$W_{\phi ,\psi }$ 有界，故${\Vert W_{\phi ,\psi }f\Vert }_{D_{\omega }^2}\le C{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}=C{\Vert g\Vert }_{A_{\omega }^2}$ 。由定义知

$\left(W_{\phi ,\psi }f\right)\left(z\right)=\psi \left(z\right)f\left(\phi \left(z\right)\right),$

$\left(W_{\phi ,{\psi }^{\prime }}f\right)\left(z\right)={\psi }^{\prime }\left(z\right)f\left(\phi \left(z\right)\right),$

$\left(W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}f\right)\left(z\right)=\psi {\phi }^{\prime }\left(z\right)f\left(\phi \left(z\right)\right),f\in H\left(\mathbb{D}\right).$

计算

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}g\Vert }_{A_{\omega }^2}^2={\Vert \psi {\phi }^{\prime }\left(g\circ \phi \right)+{\psi }^{\prime }\left(f\circ \phi \right)-{\psi }^{\prime }\left(f\circ \phi \right)\Vert }_{A_{\omega }^2}^2={\Vert {\left(\psi \left(f\circ \phi \right)\right)}^{\prime }-{\psi }^{\prime }\left(f\circ \phi \right)\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\\ \le 2\left({\Vert {\left(\psi \left(f\circ \phi \right)\right)}^{\prime }\Vert }_{A_{\omega }^2}^2+{\Vert {\phi }^{\prime }\left(f\circ \phi \right)\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\right)=2\left({\Vert {\left(W_{\phi ,\psi }f\right)}^{\prime }\Vert }_{A_{\omega }^2}^2+{\Vert W_{\phi ,{\psi }^{\prime }}f\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\right)\\ =2\left({\Vert W_{\phi ,\psi }f\Vert }_{D_{\omega }^2}^2+{\Vert W_{\phi ,{\psi }^{\prime }}f\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\right)\le C{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}^2=C{\Vert g\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\end{array}$

结合以上估计得${\Vert W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}g\Vert }_{A_{\omega }^2}\le C{\Vert g\Vert }_{A_{\omega }^2}$ ，即$W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 有界。

充分性：假设$W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 有界，且${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}$ 是$\left(D_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。对任意$f\in D_{\omega }^2$ ，计算

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\phi ,\psi }f\Vert }_{D_{\omega }^2}^2={\left|\psi \left(0\right)f\left(\phi \left(0\right)\right)\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\left(W_{\phi ,\psi }f\right)}^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ \le 2{\left|\psi \left(0\right)\right|}^2{\left|f\left(\phi \left(0\right)\right)\right|}^2+2{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\psi }^{\prime }\left(z\right)f\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ +2{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|\psi \left(z\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)f^{\prime }\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A}\left(z\right).\end{array}$

第一项由点赋值有界性控制：存在$C>0$ 使得${\left|\psi \left(0\right)\right|}^2{\left|f\left(\phi \left(0\right)\right)\right|}^2\le C{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}^2$ 。第二项等于${\Vert W_{\phi ,{\psi }^{\prime }}f\Vert }_{A_{\omega }^2}^2$ ，因${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}$ 是Carleson测度而被控制。第三项等于$2{\Vert W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}{f}^{\prime }\Vert }_{A_{\omega }^2}^2$ ，由假设有界，故

$2{\Vert W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}{f}^{\prime }\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\le C{\Vert f^{\prime }\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\le C{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}^2.$

综上得${\Vert W_{\phi ,\psi }f\Vert }_{D_{\omega }^2}\le C{\Vert f\Vert }_{D_{\omega }^2}$ ，即$W_{\phi ,\psi }$ 有界。

下一个引理给出了$A_{\omega }^2$ 上加权复合算子有界(紧)的Carleson测度刻画，它是[6]中相关结果的直接推论。

引理4.2 ($A_{\omega }^2$ 上的加权复合算子)。设$\omega \in \mathcal{D}$ ，$\phi \in D_{\omega }^2$ 满足$\phi \left(\mathbb{D}\right)\subseteq \mathbb{D}$ ，$\psi \in A_{\omega }^2$ 。则$W_{\phi ,\psi }:A_{\omega }^2\to A_{\omega }^2$ 有界(紧)当且仅当测度

${\mu }_{\phi ,\psi }\left(E\right)={\displaystyle {\int }_{{\phi }^{-1}\left(E\right)}{\left|\psi \left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}$

是(消失的) $\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。

证明. 这是([6] Theorem 1.1)在$p=q=2$ 且仅考虑单个算子(非差分)时的特例。

4.2. 定理3.1的证明

我们证明(i) ⇔(iii) ⇔ (ii)。

(i) ⇔ (iii)：由引理4.1，$W_{\phi ,\psi }$ 在$D_{\omega }^2$ 上有界当且仅当$W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 在$A_{\omega }^2$ 上有界。再由引4.2，后者有界当且仅当${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。故(i) ⇔ (iii)。

(iii) ⇒ (ii)：假设${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。固定$\zeta \in \partial \mathbb{D}$ 与$r\in \left(0,1\right)$ ，令$a=\left(1-r\right)\zeta$ 。考虑测试函数

${\kappa }_a\left(z\right)=\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{\frac{t}{2}}}{{\left(1-\overline{a}z\right)}^t},z\in \mathbb{D},$

其中$t>\frac{ \gamma \left(\omega \right)+1}{2}$ ，$\gamma \left(\omega \right)$ 为[6]中定义的常数。由([6] (2.5))知

${\Vert {\kappa }_a\Vert }_{A_{\omega }^2}\asymp 1.$ (4.1)

因为${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是Carleson测度，故

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\kappa }_a\left(w\right)\right|}^2\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)}\le C{\Vert {\kappa }_a\Vert }_{A_{\omega }^2}^2\le C.$ (4.2)

另一方面，由引理4.1的测度变换公式，

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\kappa }_a\left(w\right)\right|}^2\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)}={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|\psi \left(z\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2{\left|{\kappa }_a\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A}\left(z\right).$ (4.3)

考虑函数$W_{\phi ,\psi }{\kappa }_a$ 的Dirichlet范数：

${\Vert W_{\phi ,\psi }{\kappa }_a\Vert }_{D_{\omega }^2}^2={\left|\psi \left(0\right){\kappa }_a\left(\phi \left(0\right)\right)\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\left(\psi \left(z\right){\kappa }_a\left(\phi \left(z\right)\right)\right)}^{\prime }\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A}\left(z\right).$

展开导数项并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\left(\psi \left(z\right){\kappa }_a\left(\phi \left(z\right)\right)\right)}^{\prime }\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|\psi \left(z\right){{\kappa }^{\prime }}_a\left(\phi \left(z\right)\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)+{\psi }^{\prime }\left(z\right){\kappa }_a\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ \ge \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|\psi \left(z\right){{\kappa }^{\prime }}_a\left(\phi \left(z\right)\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}-{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\psi }^{\prime }\left(z\right){\kappa }_a\left(\phi \left(z\right)\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A}\left(z\right).\end{array}$

由于${\nu }_{\phi ,{\psi }^{\prime }}$ 是Carleson测度，且${\Vert {\kappa }_a\Vert }_{A_{\omega }^2}\asymp 1$ ，第二项有界。结合(4.2)与(4.3)，并注意到当$\left|\omega \right|\to 1$ 时${\kappa }_a\to 0$ 在紧子集上一致，可推得

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|\psi \left(z\right){{\kappa }^{\prime }}_a\left(\phi \left(z\right)\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\le C.$ (4.4)

现在计算${{\kappa }^{\prime }}_a:{{\kappa }^{\prime }}_a\left(w\right)=-t\overline{a}{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{t/2}{\left(1-\overline{a}w\right)}^{-t-1}$ 。

对$w\in S\left(\zeta ,r\right)$ ，由扇形区域定义

$S\left(\zeta ,r\right)=\left\{w\in \mathbb{D}:\left|w-\zeta \right|<r\right\}$ .

点$a=\left(1-r\right)\zeta$ 位于从原点指向$\zeta$ 的半径上，距离边界恰好为$r$ 。对于任意$w\in S\left(\zeta ,r\right)$ ，点$w$ 在边界点$\zeta$ 附近。由于$a=\left(1-r\right)\zeta$ ，有$\overline{a}=\left(1-r\right)\overline{\zeta }$ ，故

$1-\overline{a}w=1-\left(1-r\right)\overline{\zeta }w$ .

下界估计：

利用三角不等式：

$\left|1-\overline{a}w\right|\ge \left|1-\overline{\zeta }w\right|-\left|\overline{\zeta }w-\overline{a}w\right|$ .

第一项：$\left|1-\overline{\zeta }w\right|=\left|\zeta -w\right|<r$ 。

第二项：$\left|\overline{\zeta }w-\overline{a}w\right|=\left|\overline{\zeta }-\overline{a}\right|\cdot \left|w\right|=r\left|w\right|\le r$ 。

因此$\left|1-\overline{a}w\right|\ge \left|1-\overline{\zeta }w\right|-r$ 。当$w$ 沿径向靠近$\zeta$ 时，即$w=\left(1-p\right)\zeta$ ，其中$0\le p<r$ ，则

$\left|1-\overline{a}w\right|=\left|1-\left(1-r\right)\left(1-p\right)\right|=\left|r+p-rp\right|$ .

由于$p<r$ ，有$r+p-rp\ge r$ ，故$\left|1-\overline{a}w\right|\ge r$ 。

上界估计：

$\left|1-\overline{a}w\right|\le \left|1-\overline{\zeta }w\right|+\left|\overline{\zeta }w-\overline{a}w\right|<r+r=2r$ .

因此$\left|1-\overline{a}w\right|\approx r$ 。

$\left|{\kappa }_a\left(w\right)\right|=\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{\frac{t}{2}}}{{\left(1-\overline{a}w\right)}^t}\asymp \frac{{\left[\left(1-\left|a\right|\right)+\left(1+\left|a\right|\right)\right]}^{\frac{t}{2}}}{r^t}\asymp \frac{{\left(r\cdot 2\right)}^{\frac{t}{2}}}{r^t}=2^{t/2}{r}^{-t/2}.$

所以$\left|{\kappa }_a\left(w\right)\right|\asymp r^{-t/2}$ ，$w\in S\left(\zeta ,r\right)$ 。

计算导数：

${{\kappa }^{\prime }}_a\left(w\right)=-t\overline{a}\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{t/2}}{{\left(1-\overline{a}w\right)}^{t+1}}$

故$\left|{{\kappa }^{\prime }}_a\left(w\right)\right|\approx r^{-t-1}{\left(1-\left|a\right|\right)}^{t/2}\approx r^{-1}$ 。代入(4.4)得

${\displaystyle {\int }_{{\phi }^{-1}\left(S\left(\zeta ,r\right)\right)}{\left|\psi \left(z\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\omega \left(z\right)\text{d}A\left(z\right)}\le C{r}^2.$ (4.5)

另一方面，由Cauchy估计，

${\left|\psi \left(z\right)\right|}^2\le \frac{C}{{\left(1-\left|z\right|\right)}^2}{\displaystyle {\int }_{\Delta \left(z,r_0\right)}{\left|\psi \left(\xi \right)\right|}^2\omega \left(\xi \right)\text{d}A\left(\xi \right)}\cdot \frac{1}{\omega \left(\Delta \left(z,r_0\right)\right)}.$

结合双倍权的性质(2.1)~(2.3)，可进一步推出

${\displaystyle {\int }_{S\left(\zeta ,r\right)}{N}_{\phi ,\psi }\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}\le C\omega \left(S\left(\zeta ,r\right)\right).$

此即条件(ii)。

(ii) ⇒ (iii)：假设(ii)成立。要证${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度，只需验证

$\underset{a\in \mathbb{D}}{\sup }{\left(\frac{1-{\left|a\right|}^2}{{\left|1-\overline{a}w\right|}^2}\right)}^t\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)<\infty$ (4.6)

对某个$t>1$ 成立(参见([6] Theorem 3.1))。

固定$a\in \mathbb{D}$ ，令${\zeta }_a=a/\left|a\right|$ (若$a=0$ 则取${\zeta }_a=1$ )，$r_a=1-\left|a\right|$ 。将积分区域按与${\zeta }_a$ 的距离分解：对$n\ge 1$ ，定义

${\Delta }_n\left(a\right)=\left\{w\in \mathbb{D}:2^{n-1}{r}_a\le \left|{\zeta }_a-w\right|<2^n{r}_a\right\}.$

则

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left(\frac{1-{\left|a\right|}^2}{{\left|1-\overline{a}w\right|}^2}\right)}^t\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{\Delta }_n\left(a\right)}{\left(\frac{1-{\left|a\right|}^2}{{\left|1-\overline{a}w\right|}^2}\right)}^t\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)}}\\ \lesssim {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(2^n{r}_a\right)}^{2t}}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}}\left({\Delta }_n\left(a\right)\right).\end{array}$

由条件(ii)及双倍权的性质(2.1)，

${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left({\Delta }_n\left(a\right)\right)\le {\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(S\left({\zeta }_a,2^n{r}_a\right)\right)\le C\omega \left(S\left({\zeta }_a,2^n{r}_a\right)\right)\le C\widehat{\omega }\left(1-2^n{r}_a\right)\cdot 2^n{r}_a.$

又由(2.1)知$\widehat{\omega }\left(1-2^n{r}_a\right)\le C{2}^{n\beta }\widehat{\omega }\left(1-r_a\right)$ ，故

${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left({\Delta }_n\left(a\right)\right)\le C{2}^{n\left(\beta +1\right)}\widehat{\omega }\left(1-r_a\right)r_a.$

代入级数得

${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(2^n{r}_a\right)}^{2t}}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left({\Delta }_n\left(a\right)\right)\le C\widehat{\omega }\left(1-r_a\right)r_a{}^{1-2t}{\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{2}^{n\left(\beta +1-2t\right)}.$

取$t>\frac{\beta +1}{2}$ ，则级数收敛，且由$\widehat{\omega }\left(1-r_a\right)\asymp \omega \left(\Delta \left(a,r_0\right)\right)$ 知上界与$a$ 无关。故(4.6) 成立，从而(iii) 得证。

综上，定理3.1得证。

4.3. 定理3.2的证明

紧性刻画的证明思路与有界性类似，主要区别在于将“一致有界”条件替换为“趋于零”条件。

(i) ⇔ (iii)：由引理4.1的紧性版本，$W_{\phi ,\psi }$ 紧当且仅当$W_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 紧；再由引理4.2，后者紧当且仅当${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是消失的$\left(A_{\omega }^2,2\right)$ -Carleson测度。

(iii) ⇒ (ii)：若${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是消失的Carleson测度，则对测试函数${\kappa }_a\left(a=\left(1-r\right)\zeta \right)$ ，有

$\underset{\left|a\right|\to 1}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|{\kappa }_a\left(w\right)\right|}^2\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)}=0.$

仿照定理3.1 的证明，可推出

$\underset{r\to 1}{\lim }\underset{\zeta \in \partial \mathbb{D}}{\sup }\frac{1}{\omega \left(S\left(\zeta ,r\right)\right)}{\displaystyle {\int }_{S\left(\zeta ,r\right)}{N}_{\phi ,\psi }\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}=0.$

(ii) ⇒ (iii)：利用条件(ii)和双倍权的性质，类似定理3.1的级数估计可证得${\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}$ 是消失的Carleson测度。具体地，对任意序列$a_n\to \partial \mathbb{D}$ ，有

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left(\frac{1-{\left|a\right|}^2}{{\left|1-{\overline{a}}_{n}w\right|}^2}\right)}^t\text{d}{\mu }_{\phi ,\psi {\phi }^{\prime }}\left(w\right)}\to 0,$

这正是消失性刻画(参见([6] Theorem 3.1))。

证毕。