含区间数据的垂直线性互补问题解的存在性

Existence of the Solution of Vertical Linear Complementarity Problem with Interval Data

摘要: 本文主要研究具有区间数据的垂直线性互补问题。讨论了具有区间数据的垂直线性互补问题解的存在性，得到了一些有用的结果。最后给出了一个数值算例来验证我们的理论结果。

Abstract: In this paper, we focus on studying the vertical linear complementarity problem with interval data. The existence of solution of vertical linear complementarity problem with interval data is discussed, and some useful results are derived. A numerical example is given to show our theoretical results.

1. 引言

给定$M_{\text{l}}\in R^{n\times n}$ 和$q_{\text{l}}\in R^n$ ，$\ell =1,\cdots ,k$ ，垂直线性互补问题表示为$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ ，其中$M=\left(M_1,\cdots ,M_k\right)$ 且$q=\left(q_1,\cdots ,q_k\right)$ ，其是指找到一个向量$x$ 使得

$\min \left\{x,M_{1}x+q_1,\cdots ,M_{k}x+q_k\right\}=0,$ (1)

其中$x\in R^n$ 是未知向量，$\min \left(\cdot ,\cdot \right)$ 表示分量意义下的最小值算子，见[1] [2]。

当$k=1$ ，$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 退化为线性互补问题，记为$\text{LCP}\left(M_1,q_1\right)$ ，即：

$\min \left\{x,M_{1}x+q_1\right\}=0,$ (2)

其中$M_{\text{l}}\in R^{n\times n}$ ，$q_{\text{l}}\in R^n$ ，见[3]-[8]。

目前，许多研究者从理论和算法方面对$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 进行了研究。理论上，Sznajder和Gowda [2]利用行$\mathcal{W}$ -性质给出了$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 唯一解的几个充要条件。同样，在行$\mathcal{W}$ -性质下，Wu等人在[9] [10]中讨论了其扰动误差界和全局误差界。为了有效地求解$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ ，Mezzadri在[11]中引入了$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 的基于模的公式。Sun在[12]中研究了Mangasarian的迭代算法。Mezzadri和Galligani在[13]提出了投影Jacobi和投影Gauss-Seidel方法。Li和Wu [14]给出了投影型方法的一些较弱收敛条件。值得注意的是，上述结果是在矩阵$M$ 和向量$q$ 的固定元素的基础上进行研究的，而在实际应用中，由于测量不准确、对数据认识不足、不确定性等原因，大多数数据都不是不动点，而是区间的变化。基于这一考虑，我们考虑了区间数据的垂直线性互补问题，即相关联的$M$ 和$q$ 的元素用闭区间表示。具体地说，对于$\left[M_{\ell }\right]\in I{R}^{n\times n}$ ，$\left[q_{\ell }\right]\in I{R}^n$ ，$\ell =1,2,\cdots ,k$ ，我们考虑$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 族：

$\min \left\{x,\overline{M_1}x+\overline{q_1},\cdots ,\overline{M_k}x+\overline{q_k}\right\}=0,$ (3)

其中$\overline{M_{\ell }}\in \left[M_{\ell }\right],\overline{q_{\ell }}\in \left[q_{\ell }\right]$ ，称该问题为含有区间数据的垂直区间线性互补问题，记为$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ ，其中$\left[M\right]=\left(\left[M_1\right],\cdots ,\left[M_k\right]\right),\left[q\right]=\left(\left[q_1\right],\cdots ,\left[q_k\right]\right)$ 。

经典区间分析理论为处理含不确定性的线性系统提供了系统工具。特别地，Oettli-Prager定理[15]刻画了区间线性方程组解集的完整特征，成为区间线性系统理论的基础之一。本文研究的VILCP在形式上可视为一类具有互补结构的特殊区间系统，其解集结构比一般区间线性方程组更为复杂——不仅受区间算术约束，还受分量极小值算子的制约。因此，经典的Oettli-Prager型结论不能直接应用，需要结合互补问题的特有结构进行分析。到目前为止，$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的情况还没有被讨论，这是我们的主要动机。为了填补这一研究空白，本文重点研究$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解存在的条件。推导出了$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解存在的充分条件。最后给出了一个数值算例来验证我们的理论结果。论文的其余部分组成如下：第2节给出了一些符号和结果；第3节讨论$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的存在性；此外，第4节提供了一个数值示例；最后，在第5节中，我们得出了一些结论来结束本文。

2. 预备知识

为方便后续讨论$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的存在性，本节给出了一些符号和基本定义，可在[1] [2] [15]-[17]中找到。

在本文中，$I$ 表示单位矩阵，$R,R^n$ 和$R^{n\times n}$ 依次表示实数集合，$n$ 维实向量集合，$n\times n$ 维实矩阵集合，$IR,I{R}^n$ 和$I{R}^{n\times n}$ 依次表示区间集合，$n$ 维区间向量集合和$n\times n$ 维区间矩阵。简言之，$\left[m\right]\in IR$ 表示为

$\left[m\right]=\left[m^L,m^U\right]=\left\{m\in R:m^L\le m\le m^U\right\},$

区间矩阵$\left[M\right]\in IR{}^{n\times n}$ 表示为

$\left[M\right]=\left[M^L,M^U\right]=\left\{M\in R^{n\times n}:M^L\le M\le M^U\right\},$

其中不等号表示分量对应下的不等关系。

通过引入参数$t$ ，区间、区间向量和区间矩阵的参数形式可依次表示为：

$\left[a\right]=\left\{a\left(t\right)\in R:a\left(t\right)=t{a}^U+\left(1-t\right)a^L,a^L\in R,a^U\in R,t\in \left[0,1\right]\right\},$

设$N=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，$n$ 为正整数且$\circ$ 表示Hadamard积。则对于$i,j\in N$ ，有：

$\begin{array}{l}\left[x\right]=\{x\left(t\right)\in R^n:x\left(t\right)=t\circ x^U+\left(j-t\right)\circ x^L,x^L,x^U\in R^n,\\ t=\left(t_i\right)\in R^n,t_i\in \left[0,1\right],j=\left(j_i\right)\in R^n且j_i=1\},\end{array}$

$\begin{array}{l}\left[M\right]=\{M\left(T\right)\in R^{n\times n}:M\left(T\right)=T\circ M^U+\left(J-T\right)\circ M^L,x^L,x^U\in R^{n\times n},\\ T=\left(T_{ij}\right)\in R^{n\times n},T_{ij}\in \left[0,1\right],J=\left(J_{ij}\right)\in R^{n\times n}且J_{ij}=1\}.\end{array}$

定义2.1 [5]设$M=\left(M_0,M_1,\cdots ,M_k\right)$ 是$R^n$ 中的$k+1$ 个矩阵集合，其中$k\ge 1$ ，若满足以下条件之一，则称$M$ 有行$\mathcal{W}$ -性质：

a) 对于任意非对角矩阵$X_0,X_1,\cdots ,X_k\in R^{n\times n}$ ，其中

$\text{diag}\left(X_0+X_1+\cdots +X_k\right)>0,\det \left(X_0{M}_0+X_1{M}_1+\cdots +X_k{M}_k\right)\ne 0$ .

b) 若$\min \left(M_{1}x,M_{2}x,\cdots ,M_{k}x\right)\le 0\le \max \left(M_{1}x,M_{2}x,\cdots ,M_{k}x\right)$ ，则$x=0$ .

定理2.1 [1]对于任意$q$ ，$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 有唯一解的充分必要条件是$\left(I,M\right)$ 具有行$\mathcal{W}$ -性质。

3. 区间垂直线性互补问题的解存在性

在这一节中，我们考虑了垂直区间线性互补问题解的存在性。为此，用${\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 表示 $\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 的解集，其定义为：

${\displaystyle \sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)=\left\{x\in R^n:\min \left\{x,\overline{M_1}x+\overline{q_1},\cdots ,\overline{M_k}x+\overline{q_k}\right\}=0,\overline{M_{\ell }}\in \left[M_{\ell }\right],\overline{q_{\ell }}\in \left[q_{\ell }\right],\ell =1,2,\cdots ,k\right\}.$

我们分两种情况进行讨论：$k=2$ 和$k$ 为任意正整数。

情况1：$k=2$

此时，$\left[M\right]=\left(\left[M_1\right],\left[M_2\right]\right),\left[q\right]=\left(\left[q_1\right],\left[q_2\right]\right)$ ，我们考虑如下问题：

$\min \left\{x,\overline{M_1}x+\overline{q_1},\overline{M_2}x+\overline{q_2}\right\}=0,\overline{M_1}\in \left[M_1\right],\overline{M_2}\in \left[M_2\right],\overline{q_1}\in \left[q_1\right],\overline{q_2}\in \left[q_2\right],$ (4)

其解集为：

${\displaystyle \sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)=\left\{x\in R^n:\min \left\{x,\overline{M_1}x+\overline{q_1},\overline{M_2}x+\overline{q_2}\right\}=0,\overline{M_{\ell }}\in \left[M_{\ell }\right],\overline{q_{\ell }}\in \left[q_{\ell }\right],\ell =1,2\right\}.$ (5)

令$u=\overline{M_1}x+\overline{q_1},v=\overline{M_2}x+\overline{q_2}$ ，则(5)等价于：

${\displaystyle \sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)=\left\{\left(x,u,v\right)\in R^n\times R^n\times R^n:\min \left\{x,u,v\right\}=0,u=\left[M_1\right]x+\left[q_1\right],v=\left[M_2\right]x+\left[q_2\right]\right\}$ (6)

显然，对于任意$\left(x,u,v\right)\in {\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ ，有

$u-\left[M_1\right]x=\left[q_1\right],v-\left[M_2\right]x=\left[q_2\right],\min \left\{x,u,v\right\}=0$

$\iff u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}\right)x_j={\left[q_1\right]}_i,v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}\right)x_j={\left[q_2\right]}_i,\min {\left\{x,u,v\right\}}_i=0,i,j=1,2,\cdots ,n$

$\iff \left[u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_j,u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_j\right]=\left[{\left[q_1\right]}_i^L,{\left[q_1\right]}_i^U\right],$

$\left[v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^U\right)x_j,v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^L\right)x_j\right]=\left[{\left[q_2\right]}_i^L,{\left[q_2\right]}_i^U\right],\text{min}{\left\{x,u,v\right\}}_i=0,i,j=1,2,\cdots ,n$

由于$\left[a\right]=\left[b\right]$ ，当且仅当$a^L\le b^U,a^U\ge b^L$ ，因此有，

$\begin{array}{l}{u}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_1\right)}_i^U,\\ u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_1\right)}_i^L,\\ v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_2\right)}_i^U,\\ v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_2\right)}_i^L,\\ \min {\left\{x,u,v\right\}}_i=0,i,j=1,2,\cdots ,n.\end{array}$ (7)

也就是说，由于变量的互补性，需要考虑$4n$ 种情况。用${{\displaystyle \cup }}_{4n}$ 表示这$4n$ 个集合的并集。由(7)易得${\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 等价于

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)={{\displaystyle \cup }}_{4n}\{\left(x,u,v\right)\in R^n\times R^n\times R^n:u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_1\right)}_i^U,u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_1\right)}_i^L,\\ v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_2\right)}_i^U,v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_2\right)}_i^L,\min {\left\{x,u,v\right\}}_i=0,i,j=1,2,\cdots ,n\}\end{array}$ (8)

此外，$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 的参数形式可表示为：

$\min \left\{x,M_1\left(T_1\right)x+q_1\left(t_1\right),M_2\left(T_2\right)x+q_2\left(t_2\right)\right\}=0,$ (9)

其解集定义如下：

${\displaystyle \sum }_x\left(M_1\left(T_1\right),M_2\left(T_2\right),q_1\left(t_1\right),q_2\left(t_2\right)\right)=\left\{x\in R^n:\min \left\{x,M_1\left(T_1\right)x+q_1\left(t_1\right),M_2\left(T_2\right)x+q_2\left(t_2\right)\right\}=0\right\},$ (10)

其中，

$\begin{array}{l}{M}_1\left(T_1\right)=T_1\circ {\left[M_1\right]}^U+\left(J-T_1\right)\circ {\left[M_1\right]}^L,M_2\left(T_2\right)=T_2\circ {\left[M_2\right]}^U+\left(J-T_2\right)\circ {\left[M_2\right]}^L,\\ q_1\left(t_1\right)=t_1\circ {\left[q_1\right]}^U+\left(j-t_1\right)\circ {\left[q_1\right]}^L,q_2\left(t_2\right)=t_2\circ {\left[q_2\right]}^U+\left(j-t_2\right)\circ {\left[q_2\right]}^L\end{array}$ (11)

引理3.1设$\left[M\right]\in I{R}^{n\times n}$ ，$\left[q\right]\in I{R}^n$ 。则$x\in {\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 的充分必要条件是存在$u,v\in R^n$ ，使得$\left(x,u,v\right)\in {\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 。

证明：显然。 □

引理3.2对于任意$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ ，${\displaystyle {\sum }_x\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)}$ 和${\displaystyle {\sum }_x\left({\left[M\right]}^U,{\left[q\right]}^U\right)}$ 都是${\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 的子集。

证明：设$\left(x,u,v\right)\in {\displaystyle {\sum }_x\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)}$ ，则

$u-{\left[M_1\right]}^{L}x={\left[q_1\right]}^L,v-{\left[M_2\right]}^{L}x={\left[q_2\right]}^L,\min \left\{x,u,v\right\}=0.$ (12)

因此，

$\begin{array}{l}{u}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_1\right)}_i^L,\\ v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_2\right)}_i^L,\\ \min \left\{x,u,v\right\}i=0,i,j=1,2,\cdots ,n.\end{array}$ (13)

由于

${\left[M_1\right]}_{ij}^L\le {\left[M_1\right]}_{ij}^U,{\left[M_2\right]}_{ij}^L\le {\left[M_2\right]}_{ij}^U,$

${\left[q_1\right]}_{ij}^L\le {\left[q_1\right]}_{ij}^U,{\left[q_2\right]}_{ij}^L\le {\left[q_2\right]}_{ij}^U,$

因此，

$\begin{array}{l}{u}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_1\right)}_i^U,u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_j={\left(q_1\right)}_i^L,\\ v_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_2\right)}_i^U,u_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^L\right)x_j={\left(q_2\right)}_i^L,\end{array}$ (14)

由(7)可知，$\left(x,u,v\right)\in {\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 。因此，${\displaystyle {\sum }_x\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)}\in {\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 。

同理可证${\displaystyle {\sum }_x\left({\left[M\right]}^U,{\left[q\right]}^U\right)}\in {\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 。

定理3.1集合${\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 不是凸集。

证明：设$\left(x^1,u^1,v^1\right),\left(x^2,u^2,v^2\right)\in {\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 。

对于$0\le \lambda \le 1$ ，考虑其凸组合：$\lambda \left(x^1,u^1,v^1\right)+\left(1-\lambda \right)\left(x^2,u^2,v^2\right)$ ，结合(7)可得：

$\lambda {\left(u^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(u^2\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)\left(\lambda {\left(x^1\right)}_j+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_j\right)\le {\left(q_1\right)}_i^U,$ (15)

$\lambda {\left(u^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(u^2\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)\left(\lambda {\left(x^1\right)}_j+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_j\right)\ge {\left(q_1\right)}_i^L,$ (16)

$\lambda {\left(v^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(v^2\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^U\right)\left(\lambda {\left(x^1\right)}_j+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_j\right)\le {\left(q_2\right)}_i^U,$ (17)

$\lambda {\left(v^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(v^2\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_2\right]}_{ij}^L\right)\left(\lambda {\left(x^1\right)}_j+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_j\right)\ge {\left(q_2\right)}_i^L,$ (18)

且

$\begin{array}{l}\left(\lambda {\left(u^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(u^2\right)}_i\right)\ge 0,\\ \left(\lambda {\left(v^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(v^2\right)}_i\right)\ge 0,\\ \left(\lambda {\left(x^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_i\right)\ge 0,\end{array}$ (19)

注意到

$\left(\left(\lambda {\left(u^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(u^2\right)}_i\right)\right)\left(\left(\lambda {\left(v^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(v^2\right)}_i\right)\right)\left(\left(\lambda {\left(x^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_i\right)\right)=0$

仅在$\lambda =0$ 和$\lambda =1$ 时成立，并非对所有$0\le \lambda \le 1$ 都成立。因为互补变量的凸组合不保持互补性，所以，

$\left(\lambda {\left(u^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(u^2\right)}_i,\lambda {\left(v^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(v^2\right)}_i,\lambda {\left(x^1\right)}_i+\left(1-\lambda \right){\left(x^2\right)}_i\right)\notin {\displaystyle \sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right).$

因此，集合${\displaystyle {\sum }_{\left(x,u,v\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 不是凸集。

定理3.2若$\left(I,\left[M\right]\right),\left[M\right]=\left(\left[M_1\right],\left[M_2\right]\right)$ 有行$\mathcal{W}$ -性质，则任意$\left[q\right]\in I{R}^n$ ，$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 都有解。即${\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 是非空集。

证明：设$\left(I,\left[M\right]\right)$ 有行$\mathcal{W}$ -性质，则对于任意$\overline{M_1}\in \left[M_1\right],\overline{M_2}\in \left[M_2\right],\overline{M}=\left(\overline{M_1},\overline{M_2}\right)\in \left[M\right]$ 都具有行$\mathcal{W}$ -性质，因此

$\text{min}\left\{x,\overline{M_1}x+\overline{q_1},\overline{M_2}x+\overline{q_2}\right\}=0$

有唯一解。又因为

${\displaystyle \sum \left(\overline{M_1},\overline{M_2},\overline{q_1},\overline{q_2}\right)}\subseteq {\displaystyle \sum \left(\left[M\right],\left[q\right]\right)},$

故${\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 是非空集。

接下来，我们讨论一般情况。

情况2：$k$ 为任意正整数，即$\text{VILCP}\left(3\right)$ 本身。

按照情况1的思路，可推广讨论情况2。

将上述讨论中的$\left[M\right]=\left(\left[M_1\right],\left[M_2\right]\right),\left[q\right]=\left(\left[q_1\right],\left[q_2\right]\right)$ 替换为$\left[M\right]=\left(\left[M_1\right],\left[M_2\right],\cdots ,\left[M_k\right]\right)$ 和 $\left[q\right]=\left(\left[q_1\right],\left[q_2\right],\cdots ,\left[q_k\right]\right)$ ，令$u_1=\overline{M_1}x+\overline{q_1},\cdots ,u_k=\overline{M_k}x+\overline{q_k}$ ，其中，$\overline{M_{\ell }}\in \left[M_{\ell }\right],\overline{q_{\ell }}\in \left[q_{\ell }\right],\ell =1,2,\cdots ,k$ .

对于$\left(x,u_1,u_2,\cdots ,u_k\right)\in {\displaystyle {\sum }_{\left(x,u_1,u_2,\cdots ,u_k\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ ，有

$\left[{\left(u_1\right)}_i-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_j},{\left(u_1\right)}_i-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_j}\right]=\left[{\left[q_1\right]}_i^L,{\left[q_1\right]}_i^U\right],$

$\left[{\left(u_k\right)}_i-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left({\left[M_k\right]}_{ij}^U\right)x_j},{\left(u_k\right)}_i-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left({\left[M_k\right]}_{ij}^L\right)x_j}\right]=\left[{\left[q_k\right]}_i^L,{\left[q_k\right]}_i^U\right],$

$\min {\left\{x,u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}}_i=0,i,j=1,2,\cdots ,n.$

即，

$\begin{array}{l}{\left(u_1\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^U\right)x_i\le {\left(q_1\right)}_i^U,\\ {\left(u_1\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_1\right]}_{ij}^L\right)x_i\ge {\left(q_1\right)}_i^L,\\ ⋮\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(u_k\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_k\right]}_{ij}^U\right)x_j\le {\left(q_1\right)}_i^U\\ {\left(u_k\right)}_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^n\left({\left[M_k\right]}_{ij}^L\right)x_j\ge {\left(q_k\right)}_i^L,\\ \min {\left\{x,u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}}_i=0,i,j=1,2,\cdots ,n.\end{array}$ (20)

与情况1类似，我们可以依次得到以下结果。证明过程完全相似，此处省略。

定理3.3集合${\displaystyle {\sum }_{\left(x,u_1,u_2,\cdots ,u_k\right)}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 不是凸集。

定理3.4若$\left(I,\left[M\right]\right),\left[M\right]=\left(\left[M^1\right],\left[M^2\right],\cdots ,\left[M^k\right]\right)$ 具有行$\mathcal{W}$ -性质，则对于任意$\left[q\right]\in I{R}^n$ ， $\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 都有解，即${\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 是非空集。

注：由定理2.1可知，在满足行$\mathcal{W}$ -性质的条件下，$\text{VLCP}\left(M,q\right)$ 有唯一解。然而，本文并未研究$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的唯一性，因为$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)$ 和$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^U,{\left[q\right]}^U\right)$ 解的唯一性并不能保证$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的唯一性。下面，通过例子来说明这一点。

例3.1设

$\left[M_1\right]=\left(\begin{array}{cc}\left[1,2\right]& \left[0,0\right]\\ \left[0,0\right]& \left[1,2\right]\end{array}\right),\left[M_2\right]=\left(\begin{array}{cc}\left[0,0\right]& \left[1,2\right]\\ \left[1,2\right]& \left[0,0\right]\end{array}\right),\left[q_1\right]=\left[q_2\right]=\left(\begin{array}{c}\left[0,0\right]\\ \left[0,0\right]\end{array}\right),$

则

${\left[M_1\right]}^L=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\left[M_1\right]}^U=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right),{\left[M_2\right]}^L=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\left[M_2\right]}^U=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right).$

设非负对角矩阵

$X_0=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right),X_1=\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{cc}e& 0\\ 0& f\end{array}\right),$

其中$a,b,c,d,e,f\ge 0$ ，且$\text{diag}\left(X_0+X_1+X_2\right)=\left(a+c+e,b+d+f\right)>0$ 。

则，

$X_{0}I+X_1{\left[M_1\right]}^L+X_2{\left[M_2\right]}^L=\left(\begin{array}{cc}a+c& e\\ f& b+d\end{array}\right),$

$\det \left(\begin{array}{cc}a+c& e\\ f& b+d\end{array}\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)-ef,$

由$a,b,c,d,e,f\ge 0$ ，且$a+c+e>0$ ，$b+d+f>0$ ，可得$\left(a+c\right)\left(b+d\right)-ef>0$ ，即， $\det \left(X_{0}I+X_1{\left[M_1\right]}^L+X_2{\left[M_2\right]}^L\right)>0$ 。

由定义2.1可知，$\left(I,{\left[M_1\right]}^L,{\left[M_2\right]}^L\right)$ 具有行$\mathcal{W}$ -性质。同理，$\left(I,{\left[M_1\right]}^U,{\left[M_2\right]}^U\right)$ 也具有行$\mathcal{W}$ -性质。

接下来，取

$\overline{M_1}=\left(\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\in \left[M_1\right],\overline{M_2}=\left(\begin{array}{cc}0& 1.5\\ 1& 0\end{array}\right)\in \left[M_2\right],$

令$x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ ，有

$\min \left\{x,\overline{M_1}x,\overline{M_2}x\right\}\le 0\le \max \left\{x,\overline{M_1}x,\overline{M_2}x\right\}$

但$x=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\ne 0$ ，这不满足行$\mathcal{W}$ -性质。

这表明，$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)$ 和$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^U,{\left[q\right]}^U\right)$ 解的唯一性不能保证$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的唯一性。

4. 数值例子

本节将通过一个数值例子来验证我们的理论结果。为方便起见，考虑$k=2$ 的情况，即$\text{VILCP}\left(4\right)$ 。具体见例4.1。

例4.1考虑$\text{VILCP}\left(4\right)$ ，其中$\left[M\right]=\left(\left[M_1\right],\left[M_2\right]\right)$ 且$\left[q\right]=\left(\left[q_1],[q_2\right]\right)$ 分别为

$\left[M_1\right]=\left(\begin{array}{cc}\left[2,3\right]& \left[-2,-1\right]\\ \left[-2,-1\right]& \left[3,5\right]\end{array}\right),\left[M_2\right]=\left(\begin{array}{cc}\left[2,4\right]& \left[-3,-2\right]\\ \left[-1,-1/2\right]& \left[2,3\right]\end{array}\right),$

$\left[q_1\right]=\left(\begin{array}{c}\left[0,1\right]\\ \left[1,2\right]\end{array}\right),\left[q_2\right]=\left(\begin{array}{c}\left[-1,1\right]\\ \left[-1,1\right]\end{array}\right).$

容易验证$\left(I,\left[M\right]\right)$ 具有行$\mathcal{W}$ -性质，相应的$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 满足定理3.2。$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 的解集可通过以下不等式组求解得到：

$\{\begin{array}{l}{u}_1-3x_1+x_2\le 1,\\ u_1-2x_1+2x_2\ge 0,\\ u_2+x_1-5x_2\le 2,\\ u_2+2x_1-3x_2\ge 1,\\ v_1-4x_1-2x_2\le 1,\\ v_1-2x_1+3x_2\ge -1,\\ v_2+1/2x_1-3x_2\le 1,\\ v_2+x_1-2x_2\ge -1,\end{array}$

其中$x_i,u_i,v_i\ge 0,i=1,2$ 。

接下来，考虑以下九种情况：

1) $u_1=0,u_2=0$ ；2) $u_1=0,v_2=0$ ；3) $u_1=0,x_1=0$ ；

4) $v_1=0,u_2=0$ ；5) $v_1=0,v_2=0$ ；6) $v_1=0,x_2=0$ ；

7) $x_1=0,u_2=0$ ；8) $x_1=0,v_2=0$ ；9) $x_1=0,x_2=0$ 。

$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 的解集为上述各种情况解集的并集：

${\displaystyle \sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)=\left\{x\in R^n:x_1\in \left[0,\frac{1}{2}\right],x_2=0\right\}.$

此外，容易验证${\left[M\right]}^L$ 是$P$ -矩阵(其所有主子式都大于0)，$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)$ 有唯一解。其中，

${\left[M_1\right]}^L=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 3\end{array}\right),{\left[M_2\right]}^L=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right),{\left[q_1\right]}^L=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),{\left[q_2\right]}^L=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right),$

$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^L,{\left[q\right]}^L\right)$ 的解为

${\displaystyle \sum }_x^L\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$

同理，

${\left[M_1\right]}^U=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 5\end{array}\right),{\left[M_2\right]}^U=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1/2& 3\end{array}\right),{\left[q_1\right]}^U=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),{\left[q_2\right]}^U=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$

$\text{VLCP}\left({\left[M\right]}^U,{\left[q\right]}^U\right)$ 的解为${\displaystyle {\sum }_x^U\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ 。

容易看出${\displaystyle {\sum }_x^L\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}\subseteq {\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 且${\displaystyle {\sum }_x^U\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}\subseteq {\displaystyle {\sum }_x\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)}$ 。

5. 结论与展望

本文研究了$\text{VILCP}\left(\left[M\right],\left[q\right]\right)$ 解的存在性，得到了一些关于该问题解集的有用结果，并通过数值例子验证了结论。本文的理论结果也为进一步研究解集的数值估计提供了基础：基于本文给出的解集刻画，可发展基于区间松弛与投影思想的估计算法，并在矩阵满足行$\mathcal{W}$ -性质等条件下分析其收敛性。未来工作将围绕高效算法的设计与应用展开。

基金项目

云南省教育厅科学研究基金(No. 2025Y0322)。

NOTES

^*第一作者。