贴敷压电纤维复合材料固支梁的振动特性分析

Analysis of the Vibration Characteristics of Macro Fiber Composite Materials with Fixed Beam Structures

摘要: 压电纤维复合材料(Macro Fiber Composite, MFC)由NASA兰利研究中心开发，具有尺寸紧凑、柔性良好和优异的压电性能，因而在传感、驱动、能量采集及微机电系统等领域得到广泛关注。作为常用的振动控制作动器，MFC的引入会显著改变结构的动力学特性，因此研究贴敷MFC后梁结构的振动行为十分必要。当前关于MFC-固支梁体系中几何尺寸与贴敷区参数对振动特性影响的研究仍较有限。文章基于哈密顿原理建立了贴敷MFC的固支梁动力学模型，并采用伽辽金法离散得到系统的固有特性。随后探讨了MFC的尺寸、铺设位置等因素对梁结构固有频率的影响规律，并通过仿真和实验验证了模型的准确性。

Abstract: Macro Fiber Composite (MFC), developed by NASA’s Langley Research Center, is a piezoelectric material characterized by its small size, flexibility, and strong electromechanical performance. These features enable its extensive use in sensing, actuation, energy harvesting, and MEMS applications. When employed as an actuator in vibration control, MFC can significantly modify the dynamic behavior of the host structure, making it essential to understand the vibration characteristics of beams with bonded MFC layers. However, studies focusing on how the geometric and placement parameters of MFC influence the natural frequencies of MFC-clamped beam systems remain limited. In this work, the governing equations of a clamped beam with surface-bonded MFC are formulated using Hamilton’s principle and discretized with the Galerkin method to obtain the system’s natural characteristics. The effects of MFC dimensions and bonding location on the vibration response are systematically analyzed, and numerical simulations together with experiments are conducted to validate the proposed theoretical model.

1. 引言

压电纤维复合材料(Macro Fiber Composite, MFC)由NASA Langley研究中心提出[1]，其通过将矩形压电陶瓷纤维嵌入聚合物基体，使材料既保持了较高的压电常数，又具有优异的柔性与可贴敷性[2]-[4]。与传统脆性压电陶瓷相比，MFC在弯曲结构上的适应性更强，兼具高可靠性与高机电耦合性，因而在智能结构领域受到广泛关注[5]-[7]。目前，MFC在能源采集、传感监测以及结构主动控制等方面，已展现出显著应用潜力[8]-[11]。

围绕MFC的力学性能与结构耦合特性，大量研究聚焦于其驱动能力、有限元建模精度及智能结构中的响应行为。已有学者基于机电阻抗方法开展结构损伤监测实验[9] [12]，也有研究者利用MFC实现悬臂梁、轨道及薄板结构的能量采集与振动调控[10]-[14]。在主动振动控制方面，MFC已成功应用于旋转叶片形面控制[13]、机翼变形控制[7]、复合材料层合板主动振动抑制[15]以及柔性反射器形状保持等场景[16]，均取得良好的实验效果。

与此同时，随着建模精度的提高，研究者提出了多类考虑纤维铺设角度、几何非线性及热机耦合的高精度MFC有限元模型[17]-[20]，其中包括典型的Reissner-Mindlin理论框架、非线性层合模型以及基于叉指电极的压电耦合单元模型[21] [22]。这些模型显著提升了MFC作动行为预测的准确性，为结构优化与振动控制提供了可靠手段。

然而，相较于上述对作动性能与控制算法的研究，有关MFC贴敷后对梁结构固有振动特性的影响机制，尤其是固支梁结构，相关文献仍较为有限。MFC贴敷会引入附加质量、附加刚度以及电致应变产生的等效弯矩，使梁的固有频率、振型分布和局部动力响应产生变化[23]-[25]。现有研究虽然对悬臂梁、薄板结构的固有频率变化进行了探讨[14] [25]，但对固支梁结构中MFC尺寸参数(相对长度比、相对宽度比、厚度)与贴敷位置的耦合影响规律尚缺乏系统化理论描述。

固支条件下梁的弯曲约束更强，模态密集且对局部刚度变化更敏感，因此MFC引入的非均匀刚度与分布式弯矩会对结构一阶与高阶频率产生更复杂的影响。为了准确预测这种频率变化趋势，有必要建立能够同时描述压电耦合效应、结构几何参数及贴敷区域布局的动力学模型。

基于上述需求，本文利用哈密顿原理推导了MFC-固支梁的耦合动力学方程，并通过伽辽金法获得离散化的近似求解形式。在此基础上系统讨论了MFC的相对尺寸参数及贴敷位置对结构一阶固有频率的影响规律，并结合有限元仿真与实验结果对理论模型进行了验证。研究成果不仅揭示了MFC对固支梁振动特性调控的本质机制，也为智能梁结构的设计与优化提供理论参考。

2. 模型描述与动力学方程建立

压电材料的本构方程为

$\epsilon =S^{E_{ef}}\sigma +d{E}_{ef}\text{, }D=d^{\text{T}}\sigma +{\xi }^{\sigma }{E}_{ef}$ (1)

式中$\epsilon$ 、$\sigma$ 、D、E_ef为应变、应力、电位移和电场向量，$S^{E_{ef}}$ 和${\xi }^{\sigma }$ 分别为常电场下的柔度系数矩阵和常应力下的介电系数矩阵，d为应变压电系数矩阵。

本文以Smart Material公司生产的纤维方向与长度方向一致的MFC作为研究对象，该产品分为P1型(d33模式)和P2型(d31模式)两种，通常约定3方向为MFC极化方向，2方向为MFC平面的横向。其中，由于P1型MFC额定的工作电压范围为−500~1500 V，相较于P2型MFC易产生较大变形，常作为作动器使用，因此后续推导以P1型为对象。

本文将MFC-固支梁考虑为一维问题，仅对MFC-固支梁3方向进行讨论，将式(1)化简为一维形式

${\epsilon }_3=s_{33}{\sigma }_3+d_{33}{E}_{ef3},D_3=d_{33}{\sigma }_3+{\xi }_{33}{E}_{ef3}$ (2)

式中d₃₃是应变压电系数分量，E_ef3是电场强度分量。ε₃、σ₃是应变及应力分量式中s₃₃为常电场下的柔度系数$s_{33}^{E_{ef}}$ 的简写，ξ₃₃为常应力下介电系数${\xi }_{33}^{\sigma }$ 的简写。

对式(2)进行移项，改写成自变量为σ₃、D₃的方程

${\epsilon }_3=s_{33}^D{\sigma }_3+g_{33}{D}_3,E_{ef3}=-g_{33}{\sigma }_3+{\beta }_{33}{D}_3$ (3)

式中g₃₃为压电电压常数，β₃₃为常应力下的介电隔离率系数，$s_{33}^D$ 为常电场下的柔度系数。

$g_{33}=d_{33}/{\xi }_{33},{\beta }_{33}=1/{\xi }_{33},s_{33}^D=s_{33}-d_{33}{g}_{33}$ (4)

将式(3)进行移项，改写为自变量为ε₃、D₃的方程

${\sigma }_3=c_{33}^D{\epsilon }_3-h_{33}{D}_3,E_{ef3}=-h_{33}{\epsilon }_3+{\beta }_{33}^{\epsilon }{D}_3$ (5)

式中$c_{33}^D$ 为常电位移下的刚度系数，h₃₃为压电刚度系数，β^ε为常应变下的介电隔离率系数。

$c_{33}^D=1/s_{33}^D,h_{33}=g_{33}/s_{33}^D,{\beta }_{33}^{\epsilon }=g_{33}{h}_{33}+{\beta }_{33}$ (6)

Figure 1. MFC-beam structure schematic diagram

图1. MFC-梁结构示意图

MFC-固支梁结构示意图见图1，梁的长度记为L，MFC边界的坐标记为l₁和l₂ (0 < l₁ < l₂ < L, l₂ − l₁ = a, L = A)，横向位移记为$w\left(z,t\right)$ ，假定在MFC作用下固支梁发生纯弯曲，忽略轴向拉伸量，且不会导致中性层改变($h\ll H$ )，则结构应变ε₃可以表示为

${\epsilon }_3=-x{w^{″}}_z\left(z,t\right)$ (7)

结构的总动能T包括梁的动能和压电片的动能，表示为

$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^L{\rho }_{bE}BH{\left(\dot{w}\left(z,t\right)\right)}^{\text{2}}\text{d}z}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{l_1}^{l_2}\rho bh{\left(\dot{w}\left(z,t\right)\right)}^2\text{d}z}\\ =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^L\left(\left(H\left(z-l_1\right)-H\left(z-l_2\right)\right)\rho hb{\left(\dot{w}\left(z,t\right)\right)}^2+{\rho }_{be}HB\right)\text{d}z}\end{array}$(8)

式中H(z)为单位阶梯函数。为便于后续推导，做出以下简化

$\begin{array}{l}G\left(z\right)=H\left(z-l_1\right)-H\left(z-l_2\right)\\ \rho \left(z\right)={\rho }_{be}HB+\rho hbG\left(z\right)\end{array}$ (9)

变分形式的压电材料的势能δU_p在一维形式下为

$\delta U_p={\displaystyle {\int }_V\left({\sigma }_3\delta {\epsilon }_3+E_{ef3}\delta D_3\right)\text{d}V}$ (10)

将式(5)代入式(10)得压电片势能的展开式

$\begin{array}{c}\text{δ}{U}_p={\displaystyle {\int }_V\left(\left(c_{33}^D{\epsilon }_3-h_{33}{D}_3\right)\delta {\epsilon }_3+\left(-h_{33}{\epsilon }_3+{\beta }_{33}^{\epsilon }{D}_3\right)\text{δ}{D}_3\right)\text{d}V}\\ =b{\displaystyle \underset{l_1}{\overset{l_2}{\int }}{\displaystyle \underset{\frac{H}{2}}{\overset{\frac{H}{2}+h}{\int }}\left(\left(c_{33}^D{\epsilon }_3-h_{33}{D}_3\right)\delta {\epsilon }_3+\left(-h_{33}{\epsilon }_3-{\beta }_{33}^{\epsilon }{D}_3\right)\delta D_3\right)\text{d}x\text{d}z}}\end{array}$ (11)

梁的势能δU_be等于

$\text{δ}{U}_{be}={\displaystyle {\int }_V{\sigma }_{be3}\text{δ}{\epsilon }_3\text{d}V}=B{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\displaystyle \underset{-\frac{H}{2}}{\overset{\frac{H}{2}}{\int }}\left(c_{33}{\epsilon }_3\text{δ}{\epsilon }_3\right)\text{d}x\text{d}z}}$ (12)

结构总势能δU与压电片势能δU_p和梁势能δU_be的关系为

$\text{δ}U=\text{δ}{U}_p+\text{δ}{U}_{be}$ (13)

压电材料作为作动器对结构的做功δW为

$\begin{array}{c}\text{δ}W={\displaystyle {\int }_{l_1}^{l_2}{U}_{ef}\left(z,t\right)\text{δ}Q\text{d}z}\\ ={\displaystyle {\int }_{l_1}^{l_2}{E}_{ef}\left(z,t\right)\left({\displaystyle {\int }_S\text{δ}D\left(z,t\right)n\text{d}A}\right)\text{d}z}\end{array}$ (14)

根据哈密顿原理，按不同变分原理可整理得到MFC-梁结构在域内的运动微分方程

$\rho \left(z\right)\ddot{w}\left(z,t\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\left(d\left(z\right)w_z^{\text{}\prime \text{}\prime }\left(z,t\right)\right)=\frac{b{h}_{33}}{2{\beta }_{33}^{\epsilon }}\left(Hh+h^2\right)E_{ef3}{}_z^{\text{}\text{}\prime \text{}\prime }\left(z,t\right)$(15)

上式中d(z)为

$d\left(z\right)=c\left(z\right)-G\left(z\right)\frac{{\left(b{h}_{33}\left(Hh+h^2\right)\right)}^2}{4b{\beta }_{33}^{\epsilon }h}$ (16)

运动微分方程的半解析解：

使用伽辽金法将结构的位移场$w\left(z,t\right)$ 进行离散

$w\left(z,t\right)={\displaystyle \sum _i^N{\varphi }_i\left(z\right)q_i\left(t\right)}$ (17)

式中${\varphi }_i\left(z\right)$ 为试探函数，$q_i\left(t\right)$ 为广义坐标，固支梁的试探函数为

${\varphi }_i\left(z\right)={\left(\frac{z}{a}\right)}^{i+1}{\left(\frac{z}{a}-1\right)}^2$ (18)

电场$E_{ef3}\left(z,t\right)$ 在压电片贴附区域是均匀的，大小与对应时刻的电压相关，关系式为

$E_{ef3}\left(z,t\right)=G\left(z\right)E_{ef3}\left(t\right)$ (19)

将${\varphi }_i\left(z\right)$ 与离散后的式(15)叠加并在域内进行积分，整理成以下形式

$M\ddot{q}+Kq=E_{ef3}P$ (20)

式中M、K、P分别为质量阵、刚度阵和载荷向量，各项元素的表达式为

$M_{ij}={\displaystyle {\int }_0^L{c}_{33}BH{\varphi }_i{\varphi }_j\left(z\right)\text{d}z}+{\displaystyle {\int }_{l_1}^{l_2}{C}_{33}^{D}bh{\varphi }_i{\varphi }_j\left(z\right)\text{d}z}$ (21)

$K_{ij}=K_{ij}^1+K_{ij}^2+K_{ij}^3+K_{ij}^4$ (22)

$P_i={\displaystyle {\int }_0^L\frac{b{h}_1}{{\beta }_1}{G}^{\text{}\prime \text{}\prime }(z){\varphi }_i\left(z\right)}={\frac{b{h}_{33}}{2{\beta }_{33}^{\epsilon }}\left(Hh+h^2\right){\varphi }_i{}^{\text{}\prime }\left(z\right)|}_{l_1}^{l_2}$ (23)

其中

$K_{ij}^1={\displaystyle {\int }_0^L\frac{c_{33}^{\text{}\prime }B{H}^3}{12}{\varphi }_i^{\left(4\right)}\left(z\right){\varphi }_j\left(z\right)\text{d}z}$ (24)

$K_{ij}^2={\displaystyle {\int }_{l_1}^{l_2}{K}_p{\varphi }_i^{\left(4\right)}\left(z\right){\varphi }_j\left(z\right)\text{d}z}$ (25)

$K_{ij}^3=2{\displaystyle {\int }_0^L{K}_p}\frac{\text{d}G\left(z\right)}{\text{d}z}\cdot {\varphi }_i^{\left(3\right)}\left(z\right){\varphi }_j\left(z\right)\text{d}z$ (26)

$K_{ij}^4={\displaystyle {\int }_0^L{K}_p{G}^{\text{}\prime \text{}\prime }\left(z\right)\cdot {{\varphi }^{″}}_i\left(z\right){\varphi }_j\left(z\right)\text{d}z}$ (27)

$K_p=c_{33}^{D}b\left(\frac{1}{4}{H}^{2}h+\frac{1}{2}H{h}^2+\frac{h^3}{3}\right)-\frac{h_{33}^{2}bh{\left(H+h\right)}^2}{4{\beta }_{33}^{\epsilon }}$ (28)

使用分部积分对上式进行降阶并整合至式(22)得

$K_{ij}={\displaystyle {\int }_0^L\frac{B{c}_b^D{H}^3}{12}{{\varphi }^{″}}_i\left(z\right){{\varphi }^{″}}_j\left(z\right)\text{d}z}+K_p{\displaystyle {\int }_{l_1}^{l_2}{{\varphi }^{″}}_i\left(z\right){{\varphi }^{″}}_j\left(z\right)\text{d}z}$ (29)

观察质量阵M、刚度阵K可以发现，粘贴压电片后，结构对应位置产生了相应的附加质量和附加刚度，若去掉该附加质量和附加刚度，方程退化成典型固支梁的运动方程，求解方程的特征值和特征向量可以得到结构各阶的固有频率及振型。

3. 验证与分析

为验证推导的运动微分方程有效性，采用力锤法开展模态测试，通过调整夹具相对位置，测定不同长度MFC-固支梁的固有频率。实验装置如图2(a)所示：激光位移传感器由电源A供电，其采集的梁测点位移数据通过采集卡A传输至上位机；同时上位机输出的电压信号经采集卡B传送至电压放大器，最终加载到MFC上。

经实验测得的物理参数如下：铝梁的密度ρ_be2 = 2684.1 kg/m³、弹性模量E_be2 = 68.5 GPa、泊松比ν_be2 = 0.3，梁的宽度B为20 mm、高度H为2 mm；MFC的长度a为85 mm、宽度b为14 mm、高度h为0.3 mm。参考文献[22]设定MFC材料参数后，构建MFC-固支梁结构的高精度有限元模型，开展压电模态仿真分析，模型细节如图2(b)所示。为实现解析解、有限元仿真与实验结果的相互验证，将MFC中心与梁中心对齐固定，选取340 mm、360 mm、380 mm三种不同梁长工况开展对比分析，定义解析解与有限元仿真结果的偏差为e_FEM，与实验数据的偏差为e_EXP，具体结果如表1所示。结果显示，三者的验证误差均控制在5%以内，一致性良好，表明所推导的理论解具有较高可靠性。

Figure 2. MFC-solid beam structure experimental setup

图2. MFC-固支梁结构实验装置

Table 1. Comparison of first-order natural frequency results of MFC-fixed beam structures with different beam lengths L

表1. 不同梁长L的MFC-固支梁结构的一阶固有频率结果对比

Length/mm	Theoretical Result/Hz	FEM/Hz	eFEM	Experiment/Hz	eEXP
340	83.38	83.00	−0.46%	80.95	−2.91%
360	74.46	73.85	−0.82%	71.56	−3.89%
380	66.89	66.39	−0.75%	64.19	−4.36%

通过在Matlab中编程，选取十阶试探函数，代入与仿真和实验相同的参数，计算了MFC-固支梁结构和典型固支梁一系列长度算例的解析解，频率的单位为Hz。

Figure 3. Schematic diagram of MFC-fixed support beam structure

图3. MFC-固支梁结构示意图

为探究MFC (压电纤维复合材料)对固支梁结构固有频率的影响规律，本文选取梁长400 mm的工况作为研究对象，MFC-固支梁的结构示意图如图3所示。定义相对长度比R_a = A/a (其中A为固支梁长度)，通过调整MFC的自身长度可改变该相对长度比；以z表示MFC的中心点坐标，通过调整z值能够改变MFC在固支梁表面的贴敷位置。基于上述参数设置，绘制不同MFC贴敷位置下，结构一阶固有频率与1/R_a的变化关系曲线，结果如图4所示。

分析图4可知，当1/R_a值趋近于0时，结构的一阶固有频率逐渐逼近未粘贴MFC的纯固支梁固有频率；随着1/R_a的持续增大，结构一阶固有频率呈现出先降低后升高的变化特征。此外，MFC贴敷位置越接近固支梁的中点，1/R_a对结构固有频率的影响程度越显著。

Figure 4. The relationship between the first-order natural frequencies of the MFC’s relative width ratio R_a when the MFC is located in different positions

图4. MFC位于不同位置时结构的一阶固有频率随相对宽度比R_a的变化关系

结构的频率最终趋于未粘贴MFC片的固支梁频率，并且受MFC贴敷位置影响不明显，随着MFC的截面宽度的增大，结构的频率开始下降，在MFC尺寸和结构尺寸相当时达到最小值，贴敷位置越接近中心位置，达到最小频率越小。

Figure 5. Relationship between first-order natural frequencies and MFC’s relative width ratio R_b when the MFC at different positions

图5. MFC位于不同位置时结构的一阶固有频率随相对宽度比R_b的变化关系

根据图4、图5可以看出，MFC贴敷位置的变化对结构的频率影响存在一定关系。以400 mm梁为例，图6绘制了不同厚度的MFC贴敷位置变化时一阶固有频率变化，从图中可知结构的一阶固有频率的变化率会随着MFC位置向中间移动逐渐变小，MFC的厚度越大，贴敷越贴近边缘时结构的一阶固有频率越大，同时越接近中心时，MFC厚度越大，一阶固有频率越小。

Figure 6. The relationship between the first natural frequency of MFC structures with different thicknesses and the variation of the bonding position

图6. 不同厚度MFC结构的一阶固有频率随贴敷位置的变化关系

为进一步验证贴敷位置对一阶固有频率的影响，以340 mm的梁长为例，分别通过实验测出其固有频率，与理论的对比如表2所示，可以观察到实验结果与理论结果吻合较好，且可以看出随着贴敷位置的改变，一阶固有频率的变化率发生了变化。

Table 2. Comparison of the first natural frequency results of MFC-supported beam structures with different MFC bonding positions

表2. 不同MFC贴敷位置的MFC-固支梁结构的一阶固有频率结果对比

zp	Theoretical Result/Hz	Experiment/Hz	Error
0.3	83.39	82.86	−0.64%
0.4	82.82	80.02	−3.50%
0.5	82.68	78.74	−5.00%

图7展示了MFC粘贴在不同位置时梁结构的一阶振型。由图像可得，MFC的贴敷位置对固支梁的振型影响较小，仅引起振型峰值略微偏移。当MFC从梁中部移动时，振型的峰值会朝与MFC移动方向相反的方向偏移。

Figure 7. The first mode shape variation of the structure when MFC is located at different positions

图7. MFC位于不同位置时结构的一阶振型变化

4. 结论

本研究围绕贴敷压电纤维复合材料(MFC)的固支梁振动特性展开系统探究，通过哈密顿原理构建耦合动力学模型，结合伽辽金法获得近似解析解，并经有限元仿真与实验验证形成完整的“建模–求解–验证”体系，不仅填补了固支梁结构中MFC尺寸与贴敷参数耦合影响规律的研究空白，更为智能结构的动力学设计提供了理论支撑与量化依据，并得出以下结论：

1) 结构一阶固有频率随相对宽度比R_b增大趋近于纯固支梁频率，随1/R_a (相对长度比倒数)增大呈“先降后升”特征，且MFC贴敷位置越靠近梁中点，两参数的影响越显著。

2) MFC贴敷位置向梁中点靠近时，结构一阶固有频率逐渐降低，且降低速率减缓，同时振型峰值向MFC移动的反方向轻微偏移。

3) MFC厚度与贴敷位置存在交互影响：贴敷于梁边缘时，MFC厚度越大，一阶固有频率越高；贴敷于梁中心附近时，MFC厚度越大，一阶固有频率越低。