1. 引言
带有阻尼项的Euler-Poisson方程可表示为
(1)
其中函数代表密度，代表速度，代表压力，是位势函数，是已知常数[1] 。方程(1)用来描述三维空间中星际气体的流体运动规律，其中的表示宇宙常数，当时，称宇宙空间为“开放”的；时，称宇宙空间为“平坦的”的；时，称宇宙空间为“封闭”的。本文主要目的是讨论方程(1)的具体解析解，包括爆破解和整体解。在这类问题的研究上，已有文献多数是讨论的情形，如文献[2] -[4] 及其后所列的参考文献。但是，时的情形讨论甚少。在文献[5] 中，Yuen最早讨论了时无阻尼效应情形下(即方程(1)的解析解形式。本文在文献[5] 所做工作的基础上，进一步讨论了含阻尼效应时方程(1)的一类具体解。
为了便于计算，下文取和，这种特殊取法并不影响解的本质特征。本文的主要结果是下面这个定理。
定理1 设，则封闭型Euler-Poisson方程(1)存在形如
(2)
的具体解。上式中的满足如下方程
(3)
另外，(2)中的函数满足Lane-Emden方程
(4)
其中，，是函数的第一个零点。同时，(2)式给出的解有如下性质：
1) 当时，该解一定会在有限时刻爆破(此时解是局部解)；
2) 当时，该解是整体存在的，并且收敛于某个稳态解。
顺便指出，文章开头取的主要原因是为了计算简便。事实上，如果不取该值，而取其它负的常数，那么(3)式中的方程就会变成[5]
可以看到，这时方程左边项的系数就不再是1。于是对于一般的负值，只需对(3)式中的方程作一下修改，定理1的结论仍旧成立，同时，定理1的证明方法是一样的。
定理1给出了带有阻尼项封闭型Euler-Poisson方程的一类具体解，从而进一步完善了封闭型EulerPoisson方程解析解的讨论。仔细分析(2)中给出的函数，可知如果在某个时刻有，则(2)式的解会在时刻爆破。于是，方程(1)的解是否会发生爆破现象的关键就是分析函数是否会出现零点，针对该问题的讨论见本文第二部分。第三部分给出定理1的证明。最后是总结部分。
2. 对所满足的方程进行深入分析
这一部分主要是对方程(3)进行深入分析。考虑到方程(3)的解会随着参数，和的不同而变化。下面就这三类情形进行具体分析。
引理1 若，那么方程(3)的解可表示为
。
证明 当时，(3)式变为
(5)
由齐次线性常微分方程的特征根法[6] ，得对应的特征方程为，相应的特征根为，于是原方程的通解为
再根据和，可得
代入的表达式即可得到所需结果。引理1证毕。
引理2 若，那么方程(3)的解的最大存在区间一定是有限区间，其中，且满足。
证明 采用反证法来证明。假设解的最大存在区间是，那么，都有。根据方程(3)，有
。 (6)
不等式两边同乘以，有，即，这表明函数在上是单调递减的，因此有，即。在上积分得，其中为一正常数(这表明有上界)，利用这个事实，可知
，
对上述不等式积分得
再积分得
即
因为，所以积分。另外，函数为关于的含参变量的抛物曲线，当时，显然有
故在上总会有一时刻，当时，满足
这与原假设产生矛盾，故引理2证毕。
引理3 若，那么方程(3)的解的最大存在区间一定为，且存在一个常数，使得。
证明 对(3)式两边同乘以得
， (7)
对(7)式两边从0到t积分，可得
再利用(3)中的两个初值条件和，化简并移项得
。 (8)
先证明解的存在区间为。
反证法 现不妨假设解的最大存在区间为有限区间，则当时，必有，在(8)式中令，并利用，得和这些事实，易见(8)式的等号左边趋于，而等号右边却恒为常数，出现矛盾，所以解的最大存在区间一定为无穷区间。
接着证明存在一个常数，使得。令，由于，则，且(8)式可化为
(9)
再令，显然由(9)式可得，，故有，所以解在有界。同理可得
所以有，且积分收敛。再利用方程(3)得
根据上述估计可得，于是函数是一致连续的，故积分中的被积函数满足，即。
现假设不收敛，那么必可构造出两个不同的子列，，使得
在(9)式中一方面令并取极限，另一方面令并取极限，通过比较易知，所以必存在常数，使得。于是在(3)式中令，得，即。故引理3证毕。
3. 定理1的证明
首先可以按照文献[5] 的方法证明形如(2)式的解确实满足方程(1)，因验证方法类似，故此处略去具体细节。
然后对参数进行如下分类讨论：
当时，由引理1知有
因此可以看出必存在满足，相应地就有，即形如(2)式的解会在有限时刻爆破。
当时，根据引理2同样可知解会在有限时刻爆破。
当时，由引理3可以发现形如(2)式的解会在阻尼作用下逐渐趋向于某个稳态解，即存在某个仅依赖于的函数满足当时有。
最后，通过MATLAB软件，我们对方程(3)进行了数值验证，发现模拟结果与上面所得理论完全吻合，时的数值图像见图1，时的数值图像见图2。
注：利用MATLAB进行数值验证时，图1选取数据如下：，，，从图形上可以看出，曲线走势与引理2结论吻合且与轴必有交点。若图2选取数据如下：，，，曲线最终趋向于。
Figure 1. Numeric graph for while
图1.在时的数值模拟图
Figure 2. Numeric graph for while
图2.在时的数值模拟图
4. 总结
本文通过探讨宇宙常数为负值时的Euler-Poisson方程，证明了当时，方程(1)都存在形如(2)式的爆破解；当时(2)式的解必整体存且趋向于某个稳态解。文献[5] 对无阻尼效应封闭型Euler-Poisson方程给出了类似的解析解，其中考虑了和以及情形，特别是时文献[5] 中得到的解是关于时间的周期函数。而本文考虑的是带阻尼项封闭型Euler-Poisson的解析解，对没有符号条件限制，更重要的是时解会趋向于某个稳态解，这是加了阻尼效应之后产生的特殊现象，符合现实物理规律。另外，利用MATLAB数学软件，文中对方程(3)的解做了数值验证，数值结果与理论分析完全吻合。因此，本文进一步完善了关于“封闭”宇宙空间中Euler-Poisson方程解析解的相关理论。
致 谢
本文受国家级大学生创新训练计划项目资助，并在张景军和马柏林两位老师的悉心指导下完成本工作，作者在此表示衷心的感谢。
基金项目
国家级大学生创新训练项目201310354015。
参考文献