1. 引言
设是复平面内的一个区域，是上的一族亚纯函数。如果对于族中的任意函数列都存在一个子列在内按球面距离內闭一致收敛于一个亚纯函数或，则称在内正规[1] 。
Bloch曾经给出一个猜想，对于亚纯函数值分布的每个Picard型定理，都存在一个正规准则与之对应。尽管总体来看这个原理并不总成立，但是人们仍可以从Picard型定理出发来考虑相应的正规准则。
1959年，Hayman在[2] 中证明了关于值分布中涉及导数的例外值的一个著名结果。
定理1.1[2] 设是复平面上的一个亚纯函数，是一个正整数，是两个有穷复数，若，则是一个常数。
对应于该值分布理论，Hayman在[3] 中猜想存在相应于定理1.1的正规准则。
Hayman猜想[3] ：设是一个正整数，是两个有穷复数，是复平面中区域上的一族亚纯函数．若对于任意，则在内正规。
李松鹰[4] ，李先进[5] 分别证明了时Hayman猜想是成立的；庞学诚[6] 证明了时猜想成立；1995年，陈怀惠，方明亮[7] 证明了时Hayman猜想也成立，完全解决了Hayman猜想。
定理1.2[7] 设是一个正整数，是两个有穷复数，是复平面中区域上的一族亚纯函数．若对于任意，则在内正规。
陈怀惠，方明亮也在[7] 中给出例子说明了，对于亚纯函数族，当时Hayman猜想不成立。
随后，陈怀惠在[8] 中证明了当是全纯函数族时，对于及把导数替换为阶导数时定理1.2仍成立。
定理1.3[8] 设是一个正整数，，是两个有穷复数，是复平面中区域上的一族全纯函数。若对于任意，则在内正规。
对于亚纯函数族，把Hayman猜想中的导数替换为阶导数时，庞学诚[6] 和W. Schwick[9] 证明了如下结果：
定理1.4 设是正整数，是两个有穷复数，是复平面中区域上的一族亚纯函数。若对于任意，则在内正规。
陈怀惠，顾永兴[10] 对亚纯函数极点的阶数加上适当的限制条件改进了上面的定理。
定理1.5 设，是两个有穷复数，是复平面中区域上的一族亚纯函数，若对于任意极点的阶数至少为，则在内正规。
最近，徐焱[11] 对亚纯函数的极点和零点阶数加上适当限制条件，改进和推广了上述结果，证明了：
定理1.6 设是四个正整数，满足是两个有穷复数，是复平
面中区域上的一族亚纯函数，若对于任意极点和零点的阶数至少分别为和，且，则在内正规。
定理1.6是对定理1.3，定理1.4，定理1.5的推广和改进。
以上主要考虑的是函数族中的函数及其导数不取固定常数的亚纯函数族的正规性，我们很自然地考虑了涉及到函数族中的函数及其导数不取固定全纯函数的亚纯函数族的正规性。对应于定理1.6中涉及例外值的正规定则，本文研究了把定理1.6中的例外值换为例外函数的正规定则，证明了如下两个正规定则：
定理1.7 设1)是四个正整数，其中，；
2)是内任意两个全纯函数，；
3)是复平面中区域上的一族亚纯函数，中每个函数的极点和零点重数至少分别为和，且满足，则函数族在区域内正规。
特别地，当时，定理1.7即为定理1.6，由此可见，我们的结论推广了已有结论定理1.6。
定理1.8 设1)是四个正整数，其中，；
2)是内任意两列全纯函数，在上分别内闭一致收敛于全纯函数，其中；
3)是复平面中区域上的一列亚纯函数，中每个函数的极点和零点重数至少分别为和，，则函数族在区域内正规。
特别地，当时，适当调整定理1.8的证明即得定理1.7。
2. 主要引理
引理2.1[12] 设是单内圆内的一族亚纯函数，中每个函数的零点的重级至少是，并且
1) 若，必有；
2)在单位圆内不正规；
则对于每一个，存在
a) 实数；
b) 点列；
c) 函数列；
d) 正数列。
使得函数列在复平面上按球距內闭一致收敛于一个非常值亚纯函数，并且的零点重级至少为。
徐焱在[11] 中证明了下列关于亚纯函数值分布理论的结论：
引理2.2 设是四个正整数，满足是两个有穷复数，是定义
在复平面上的亚纯函数，的极点和零点的阶数至少分别为和，若，则在复平面上恒为常值。
引理2.3 设是四个正整数，满足是两个有穷复数，是定义
注：引理2.2，引理2.3及详细证明见参考文献[11] 的引理1，引理2。
3. 主要定理的证明
定理1.8的证明：
反证法，假设在区域内不正规。
由正规族的局部性，不妨设在点处不正规。
应用引理2.1于及所构成的亚纯函数族，可知存在，及的子列，仍记为，满足：
记
， (1)
则在复平面上內闭一致收敛于非常值亚纯函数，且由的极点阶数至少为知极点阶数也至少为。
由于，是非常值亚纯函数，由引理2.2和引理2.3知，必存在，使得
， (2)
从而不是非常值亚纯函数极点。
事实上，若是极点，设其为阶极点，则由(2)式知，，从而，即是的阶数小于的极点，与极点阶数至少为矛盾。
， (3)
， (4)
由于，在上分别内闭一致收敛于全纯函数，且在复平面上內闭一致收敛于点，故在复平面上分别內闭一致收敛于。
另外，当时，在复平面上內闭一致收敛于，从而在复平面上內闭一致收敛于。
由不是的极点知，存在的某个邻域，使得在内全纯，且．由全纯函数零点的孤立性知，在内的取值只可能是下列的情形1或者情形2。
情形1：若在内只有唯一零点。
把(1)代入(4)可得
， (5)
由在C上內闭一致收敛于知，当充分大时有在内全纯，且由定理知存在，使得，即
，
这与定理条件矛盾。
情形2：若在内恒为0。
由是亚纯函数知，即，由引理2.2知常数。
这与是非常值亚纯函数矛盾。
综上，假设不成立，即在内正规。
定理1.7的证明：在上述定理证明中，令时，把上述证明过程中的
换为
其中及的子列同样由引理2.1得出。
重复上述证明过程，即得定理1.7。
致 谢
感谢评审专家对论文提出的宝贵意见。
基金项目
湖北省教育厅项目(Q20141009)资助。
参考文献