两类形式幂级数的递推公式

The Recursive Formula of Two Kinds of Formal Power Series

摘要: 应用三角函数、双曲函数以及二者乘积的级数展开式，推导出两个形式幂级数 [级数secx中x^2p的系数]和 [级数secxsechx 中x^4p的系数]的展开式及递推公式，并应用留数基本定理逐一作出证明。

1. 引言

三角函数和双曲函数二者的级数，通常在研究数论的一些问题时需要用到。王欣[1] 应用Cauchy留数定理、部分分式、形式幂级数和超几何级数等经典分析方法，研究了含自由参数的三角函数恒等式、有限三角和的封闭公式以及其它类型的三角和恒等式等组合计算问题。及万会，吴永[2] 针对双曲函数方幂和做了一定的研究。

在此基础上，本文首先应用三角函数、双曲函数的以及二者乘积的级数展开式推导出形式幂级数 [级数中的系数]的表达式，并且得到了一个表达形式较为简单的递推公式。同时应用此方法求得形式幂级数。

[级数中的系数]的表达式和递推公式，并应用留数基本定理逐一作出证明。

引理1[3] ：三角函数展开成级数如下(用数学软件maple13展开)

(1)

(2)

所以

(3)

引理2[4] [5] ：(留数基本定理)如果函数在扩充复平面内只有有限个奇点，那么在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零。

2. 和式的计算

2.1. 考虑围线积分

如图1所示，取矩形区域，顶点，，和。

图1表示，当时，函数在复平面内向四周无限扩充，根据引理[2] ，在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零。

Figure 1. Rectangular area in the complex plane

从而，，。

2.3. 考虑围线积分

函数在是7阶极点，在单极点。

由级数(1)令，那么级数

级数式中项，于是在，；而，

由图1以及引理2可知，当时，围线积分

，，。

同法利用级数(1)可得到

；；

；。

结论1： [级数中的系数]。

3. 和式计算

3.1. 考虑围线积分

在是5阶极点；单极点。

单极点。由级数(3)令，那么级数

级数式中项，从而

，，

在

由图1以及引理2可知，当时，围线积分

；

，

3.2. 考虑围线积分

函数在是9阶极点；单极点。

单极点。由级数(3)令，那么级数

级数式中项，在，从而，单极点。

单极点。

由图1以及引理2可知，当时，围线积分，

从而

；

，

3.3. 考虑围线积分

函数在是13阶极点；单极点。

单极点。由级数(3)令，那么级数

级数式中项，在，从而，

在单极点

单极点。

由图1以及引理2可知，当时，围线积分，

从而

；

，

同法利用级数(3)可得如下

；

。

结论2： [级数中的系数]。

基金项目

银川能源学院科研项目基金(2012-KY-P-31)。