单位圆内线性微分方程解的[p,q]级

[p,q] -Order of Solutions of Linear Differential Equations in the Unit Disc

摘要: 主要研究单位圆内二阶线性微分方程 f^”+A_1(z) f^’+ A_0(z) f=F(z)解的[p,q]级，其中A₀(z)，A₁(z)和F(z)是单位圆内解析函数。我们将得到一些微分方程解的复振荡结论。

Abstract: In this paper, we investigate the [p,q]-order of solution of second-order linear differential equa-tion f^”+A_1(z) f^’+ A_0(z) f=F(z), where A₀(z), A₁(z)  and F(z) are analytic functions in the unit disc. We obtain several theorems about the growth and oscillation of solutions of differential equations.

1. 引言

假定读者熟悉亚纯函数的Nevanlinna理论在复平面和单位圆 (见文[1] -[5] )中的应用，并用表示单位圆上函数的增长级。最近，很多学者用Nevanlinna理论研究了单位圆内线性微分方程解的增长性，并且得到了很多结论(见文[6] -[12] )。在文献[13] [14] 中，Juneja，Kapoor和Bajpai研究了整函数级的性质并且得到了相关的结论，应用级概念来研究微分方程解的性质见参考文献[15] [16] 等。

我们给出一些关于单位圆内解析函数和亚纯函数的迭代级和级的相关定义。对于，定义和，。同理，定义和，。进一步，我们记，，，。

定义A[8] ：定义单位圆内亚纯函数的迭代级为

其中为的特征函数。

对于单位圆内内解析函数，我们也定义为

其中。

注1.1：根据M. Tsuji文献[5] ，如果是单位圆内内解析函数，则

.

根据文献[3] 命题2.2.2，我们有

.

定义B[9] [17] ：定义单位圆内亚纯函数的迭代级零点收敛指数为

其中是亚纯函数在的零点个数。类似的，定义不同迭代级零点收敛指数为

其中是亚纯函数在不同零点个数。

定义C[16] ：假设是整数，是单位圆内亚纯函数，定义的级为

.

对于单位圆内解析函数，我们也定义

.

注1.2[16] ：对于任意的，我们有。根据定义C，我们有和。

关于和之间的关系，我们有以下结论：

命题1.1[16] ：假设是整数，是单位圆内具有级的解析函数

(1) 如果，则

.

(2) 如果，则

.

定义D[16] ：假设是整数，是单位圆内亚纯函数，定义的级零点收敛指数为

.

类似的，定义的级不同零点收敛指数为

.

关于二阶微分方程

(1.1)

B. Belaïdi和Latreuch在文献[18] [19] 中研究了方程解的微分多项式的增长性和迭代级，为了陈述他们的结果，我们需要以下记号。

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

其中，，是内解析的函数。

(1.5)

(1.6)

和

(1.7)

其中，和。

定理A[18] ：假设，，是内增长级有限的解析函数，，，也是内增长级有限的解析函数，其中，，至少有一个不等于零，而且有，的定义见(1.4)。如果是方程(1.1)的有穷级解并且满足

则微分多项式满足

.

定理B[19] ：假设，，是内迭代级有限的亚纯函数，并且和。如果是方程(1.1)在内的亚纯解满足和，则满足

和

本文将考虑二阶非齐次线性微分方程(1.1)解的级问题，其中，，是单位圆内的解析函数，我们得到以下结果。

定理1.1：假设是整数，，，是内解析函数。，，也是内解析函数其中，，至少有一个不等于零，而且有，的定义见(1.4)。如果是方程(1.1)的解并且满足

(1.8)

和

.

则微分多项式满足

和

定理1.2：假设是整数，，，是内级有限的亚纯函数并且和。，的定义见(1.6)，(1.7)。如果是方程(1.1)在内的亚纯解并且满足，。则有

和

2. 主要引理

引理2.1[15] ：设是整数，和是内具有级的亚纯函数。则有

和

如果，则有

引理2.2[15] ：设是整数，是内具有级的亚纯函数。则有

.

引理2.3[16] ：设是整数，，是内解析函数，是微分方程(2.1)的解

(2.1)

满足。则有

和

引理2.4[20] ：设，是单调递增的函数并且成立，除去一个例外集满足。则存在一个常数，如果，则有对所有的成立。

引理2.5[21] ：设是整数，是内的亚纯函数并且有。设是整数。则对任意的有

成立，除去一个例外集满足。

引理2.6：设是整数，，是内级有限的亚纯函数，是微分方程(2.1)亚纯解，满足，，则有

和

.

证明：根据方程(2.1)得

(2.2)

容易看出如果是的阶零点，假设在解析，则是的阶零点。因此有

， (2.3)

. (2.4)

根据引理2.5和(2.2)得

(2.5)

除去一个例外集满足。根据(2.4)，(2.5)则有

(2.6)

对成立。

设，则当时，有

. (2.7)

根据(2.6)，(2.7)我们有，当时，

(2.8)

其中，对成立。

因为，，根据引理2.4和(2.8)我们有

和

3. 定理的证明

3.1. 定理1.1的证明

假设是方程(1.1)的解满足

将代入，得到

. (3.1)

微分(3.1)，再用代替得

(3.2)

利用(1.2)，(1.3)，(3.1)，(3.2)可改写为

, (3.3)

. (3.4)

令

(3.5)

因为，由(3.3)~(3.5)，可得

. (3.6)

由(1.8)，(3.1)，引理2.1和引理2.2我们有。如果

根据(1.3)，(1.8)，(3.5)，(3.6)，引理1.1，引理1.2，得到

这是一个矛盾。因此。

现在证明。据(3.1)，引理2.1，引理2.2，有

又因为，，，根据(1.3)，(3.5)，(3.6)，引理1.1，引理1.2，得到

所以。

再由引理2.3有

和

综上所述定理1.1证明完毕。

3.2. 定理1.2的证明

因为，是级有限的亚纯函数，应用引理2.6可得

和

方程(1.1)两边除以得，

(3.7)

方程(3.7)两边微分得

(3.8)

方程(3.8)两边乘以得

, (3.9)

其中

和

.

因为，，和是单位圆内级有限的亚纯函数，对(3.9)式利用引理2.6得

和

现将方程(3.9)两边除以得

. (3.10)

方程(3.10)两边微分再乘以得

, (3.11)

由于，，是单位圆内级有限的亚纯函数，定义见(1.5)~(1.7)。方程(3.11)结合引理2.6得

和

假设

(3.12)

(3.13)

对于所有的成立，现在证明(3.12)~(3.13)对也成立。同前面的证明我们有

其中，，是单位圆内级有限的亚纯函数，定义见(1.5)~(1.7)。利用引理2.6得

和

综上所述定理1.2证明完毕。

致  谢

感谢审稿老师对文章提出宝贵的意见。

基金项目

国家自然科学基金(11301232,11171119)，江西省自然科学基金(20132BAB211009)，江西省教育厅青年科学基金(GJJ12207)资助项目。