1. 引言
在混沌理论诞生前，除了直流电源以外，人类无法构造一个非周期的激励源，因而习惯的将周期函数视为普遍性的函数，非线性系统出现的极限环是一个闭轨，相点的运动始终在这个轨道上不断重复，似乎是非常完美的动态形式，一旦离开这个完美的图像，就被人类认为是奇异的，这种认识显然是很值得商酌的。难道自然界物体运动，或电荷运动表现为电压电流变化的时间过程，都要那么完美才是正常普遍的吗？事实上，相轨线不重复的相图，应该是自然界的普遍普通现象，完美的闭合周期轨是特殊的个别现象。
当今很多文献，一旦提出新的混沌系统，就要用散度为负论证混沌吸引子的存在[1] -[6] 。其实如果吸引子存在散度必为负，但散度为负吸引子未必存在。用功率平衡理论分析非线性电路与混沌，为研究非线性振荡开辟了另一个途径，而混沌是非线性振荡的普遍形式。
本文介绍包含有三个频率不同激励源的混频电路，构成一阶微分方程，网络中只有耗能的正性电阻，不能诞生自激振荡。用频域平衡定理与电路定律求出三个主谐波，在相互耦合的情况下，证明每一频率成份的复功率各自守恒。并用谐波分析法印证求解结果的正确性。在一定的仿真时间内仿真相图是混沌解。画出的相图验证主谐波解是数值仿真解的主体基本部份。又印证了频域功率平衡定理的正确性[7] -[14] 。
自然界的振荡解包含两种类型，一类是周期性信号，如果一个信号，对任意的存在有一个非零正值使(1)成立，式中为正整数，则是周期性信号。
(1)
(2)
另类是非周期振荡性信号，这类信号虽然不满足(1)，但有持续振荡特性，而不是单调变化的。动态变量反复振荡变化，在相图表现为相点在有限范围内游荡，而其轨线永不重复，或者说在仿真时间内，相点的循环轨道始终不重复。它满足(2)，即经过一定间隔后，函数值不等于原来的而是，两者之差的绝对值小于信号绝对值的最大值。式(2)是对持续非周期振荡一个初步，粗略，大体的定义，其含意是如果坐标原点是不稳定平衡点，相点围绕原点不停的游荡，而游荡的轨线又不重复。在经过一个间隔后，质点或电荷的运动形式不会那么完美的重复原来的过程，它的瞬时值会在原来值的上下波动，其波动量小于的最大值，保持持续振荡的特性。
存在于自然界各学科领域动态变量的变化规律，在线性系统大多是周期性的。在电路领域里，在科学技术历史的长河中，习惯的将周期函数视为普遍性的函数，即使在非线性电路中，人类也只能探索，研究，定性分析出现周期轨的相图，例如极限环，哈密顿环等。在这种习惯的支配下，人类长期以来认为周期函数是动态变量的普遍性函数。一旦在仿真时间内出现非周期解，就认为奇异，在上世纪中叶混沌现象的出现，就被认为是奇异吸引子，这是对自然界客观真理认识的颠倒。人类认识自然的过程，总是由简单到复杂。例如首先认识线性而后认识非线性。首先认识周期性而后认识非周期性。本文例证说明，动态变量的变化过程，在仿真时间内没有周期性，但有持续的振荡特性，满足式(2)就是一个混沌函数。
非线性振荡有周期态与混沌态之分。但用数值仿真画出相图时，因为处理的全部是有理数，因而严格的说，全部是周期解。如果所取仿真时间大于振荡周期，振荡表现为周期态；如果，在时间内显示是非周期的。混沌事实上是具有充分或无限长的振荡周期。是一个很普通的有界非线性函数，混沌是人类认识自然的又一次飞跃。历史上很早以前，人类就已经发现自然界存在寄生振荡的现象，显示屏上一片混乱。究竟是周期振荡或者是混沌振荡，恐怕是很难分清的。
2. 用相量法求多谐波成份的耦合解
本文使用的符号说明如下：用下标表示相量，下标表示幅值，表示实部表示虚部，文中的虚数单位采用电工学的符号，角频率记为或。以变量为例，表示的谐波分量的瞬时值，表示的相量值，表示幅值；又如非线性支路电流用表示瞬时值，表示的谐波分量，表示的相量，表示幅值，表示实功成份，表示虚功成份，各值关系如式(3)。
(3)
例1电路如图1，图中包含三个频率不同谐波源，画出三个分部网络如图2，其中图2(a)表示仅含谐波的分部网络；图2(b)表示仅含谐波的分部网络；图2(c)表示仅含谐波的分部网络。但三个谐波相互之间有非线性耦合，表现在谐波的分部网络的包含有另两个谐波电压的贡献，余类推。也就是说三个分部网络不能独立求解后迭加；而必须共同联合求耦合解。
2.1. 非线性支路的耦合关系
(4)
(5)
(6)
压控非线性电导的伏安关系如式(4)，设的控制电压包含三个主谐波，其瞬时值如式(5)，相量值和幅值如式(6)。以(5)代入(4)，可得出包含有众多谐波，其中代表主谐波，代表非主谐波。
(7a)
Figure 1. Mixing circuit
图1. 混频电路
(a)(b)(c)
Figure 2. (a) Only contain Va; (b) Only contain Vb; (c) Only contain Vc
图2. (a) 仅含Va；(b) 仅含Vb；(c) 仅含Vc
(7b)
(7c)
(8a)
(8b)
(8c)
在本例证的计算中暂时忽略非主谐波的影响，设，只考虑主谐波的计算。程序coupl.nb解出三个谐波电流与三个谐波电压的关系如式(7)。
三个主谐波的电流相量与同谐波电压相量同相位，其中比值，，称等效基波电导是实常数如式(7)和(8)，它体现了三个分部网络是相互耦合关联的，不是分成相互无关的三个孤立部分。
2.2. 用相量法求三个主谐波
(9a)
(9b)
(10a)
(10b)
(10c)
(11a)
(11b)
(11c)
三个激励源的瞬时值，相量值与幅值如式(9)；各元件的参数如式(10)，用相量法列出三个分部网络图2(a)~(c)节点电压的三个电流平衡方程如式(11)。其求解变量是相量，，包含有六个未知实数，三个方程的实部与虚部必须各自等于零，因而可以建立6个实数平衡等式，解出6个未知实数，程序phase.nb解出的结果列如表1。
(12a)
(12b)
(12c)
(13)
以Table 1/A的激励值为例，以式(10)的参数代入式(8)可求出式(12)，以(6)与(12)代入(11)，即可求出三个主谐波的相量值如式(13)。网络中电压电流相量值全部求出后，可用图2的三个分部网络，验证各支路的实功与虚功的总和各自为零。
Table 1. Main harmonic solutions of example 1
表1. 例1的主谐波解
3. 用谐波分析法求主谐波解
(14)
(15)
由电路图1的KCL与KVL可列出(14)经整理得式(15)，这是一阶微分方程，用谐波平衡原理求式(15)中的变量，设包含谐波的主要成份如式(5)，程序harmo.nb可求出三个主谐波的数据列如表1，和相量法程序phase.nb求出的结果是一致的。
电路图1表面上看起来，有两个电容与，事实上只有一电容电压是独立状态变量，因为两个电容电压和两个电压源形成回路。故最后形成一阶方程如式(15)。在图1，。
分析非线性方程(15)的解，可以参考参照线性理论，近代线性电路理论，将线性微分方程的完全解分成零输入解与零状态解。但比较经典的是分为齐次解与特解两部份，用这种分解方式类比式(15)会更合适，按这种分解方式，其中一部份是和起始状态有关的齐次解或称自由分量(或自然响应)，这是令式右边激励源为零的解。另部份是方程的特解或称强迫解，它取决于方程右边的激励项，和起始状态无关，线性方程的完全解是两部份解的线性迭加。而非线性方程(15)的解应该是这两部份解的非线性耦合。
然而关于非线性方程自由分量的解析解是求不出来的，因为它是耦合解的一部份，显然不可能单独求出来。为了分析它的物理意义，我们令式(15)的右边激励项为零，得出式(16)并用数值仿真求出它的相图，显然是一条趋于零的渐近曲线如图3，式(16)对应于非线性的一维状态方程。
(16)
谐波分析法和相量法只能求进入稳态的强迫响应，故求解的程序phase.nb与harmo.nb中不引入起始条件。图3的自由分量是无法用谐波分析法和相量法求出的。因为电路没有负阻没有自持的自激振荡，只有耗散的正性电阻，因而自由分量最终要衰减为零，故有时又称暂态响应，受迫解有时又称稳态响应。
以Table1/A的激励值为例。可做出下列三个稳态相图：作图语句做万点，取最后的2%相点作为进入稳态的相图，显然到最后阶段自由分量或称暂态响应已完全消失，剩下的必然是稳态响应。
① 激励源只保留；另两个激励源为；其平面相图如图4，在一个激励源的驱动下，进入稳态的相图显然是一闭合的周期轨。本文相图3至相图14，横坐标表示，纵坐标表示。
② 激励保留；；另；其平面相图如图5，从直观而言已无法辩明相图是周期态或混沌态，有的文献称拟周期态。
③ 三个激励源为；；其平面相图如图6，直观而言已很明显是一
Figure 3.
图3.
Figure 4.,
图4.，
Figure 5., ,
图5.，，
Figure 6., ,
图6.，，
Figure 7. Plot (u(n96:n98), u1(n96:n98))
图7. 画96%至98%的相图
Figure 8. Plot (u(n96:n0), u1(n96:n0))
图8. 画96%至100%的相图
Figure 9. Phase portrait of Table 1/A
图9. 表1/A的相图
Figure 10. Phase portrait of Table 1/B
图10. 表1/B的相图
Figure 11. Phase portrait of Table 1/C
图11. 表1/C的相图
Figure 12. Phase portrait of Table 1/D
图12. 表1/D的相图
Figure 13. Phase portrait of Table 1/E
图13. 表1/E的相图
Figure 14. Phase portrait of Table 1/F
图14. 表1/F的相图
个混沌函数了，由此说明多谐波在非线性电路的混频会产生混沌。
为了追究为什么一阶非自治微分方程会诞生混沌?可以将式(15)，化成不显含的自治方程。记，，。图4对应的二维自治状态方程如式(17)。图5对应的自治三维状态方程如式(18)。图6对应的自治四维状态方程如式(19)。
(17)
(18)
(19)
以上情况说明，用频域分析方法研究混沌可以得出有价值的结论，这是时域分析方法无法做到的。当加入混频的谐波成分越多，产生混沌的可能性越大，混沌的轨线越多越稠密，相图越复杂。直观判断相图的混沌态或周期态，是在定义一定仿真观察时间内判定的。当只有一个激励源驱动非线性电路时，不管非线性特性多么复杂，电路中诞生的各谐波必然是激励频率的整数倍，相图必然是一个闭合的周期轨，它的解可用Fourier级数表示。当两个激励源驱动非线性电路时，会产生混频与变频，相图是周期态或混沌态，从直观而言已分不清了，当三个激励源混合驱动时，直观观测已是很明显的混沌态了。
4. 用仿真相图求证一阶微分电路的混沌态
此处说的混沌态指的是在一定有限观察仿真时间内，相图是非周期的。
4.1. 画万点的最后阶段并没有完成一个周期
以Table 1/A的激励值为例。取零起始状态，作图语句做万点，取最后的96%至98%相点画相图7。再取最后的96%至100%相点画相图8。可以发现后者相图的相轨线比前者稠密得多，从98%到100%相点的阶段，轨线并没有重复而仍在增加。说明画到400万点的最后阶段并没有完成一个周期，是混沌的。
4.2. 取最后的98%至100%相点画表1各数据的全部相图
取起始状态为零，画最后的98%至100%相点的相图；然后再取起始状态为非零，也画最后的98%至100%相点的相图，可以发现两者是完全相同的。图9~图14横坐标的最大值，与表1的maxu是相当接近的，说明用相量法或谐波平衡法求出的主谐波解，能近似代表数值仿真解的主体基本部份。图6与图9相同。
4.3. 取最后98%至100%相点画表1/A的与的相图
在三个激励源的共同驱动下，随着的变化，另两个因变量与的变化情况如图15与图16，式(15)包含的三个激励源是已知的动态量(不是因变量是已知量)，如果以组成一个三维的相空间，也可画出一条空间曲线，其参数式如(20)，当时是有界的，它的变化规律受式(15)的约束。激励源幅值5伏是不变的，当动态量在±5伏范围内变化时，空间曲线显示另两个因变量的变化情况。在三个平面的投影如相图9，图15，图16。同理也可画出随着在±2，24伏的范围内变化，或在±2伏的范围内变化，另两个因变量与的变化情况，并用或组成另两个三维的相空间，画出另两条空间曲线。
(20)
和典型的三维连续混沌系统如Lorenz方程或蔡氏电路比较，描写这两个动态系统的微分方程如式(21)，其解析解如式(22)是一条空间曲线的参数式，无法求出它的具体形式。当今可以用数值仿真画出其相图，这就是混沌，它是三个动态变量相互关系的非线性函数。有一些能写出具体表达式被收入数学手册的空间曲线，是三变量函数的特殊形式，其空间图形有较明显的规律。恰恰是写不出表达式的混沌函数，才是三变量函数的普遍形式。其空间曲线的变化并非随机无规律的，这条空间曲线的变化规律受式
Figure 15. Plotof Table 1/A
图15. 表1/A的相图
Figure 16. Plotof Table 1/A
图16. 表1/A的相图
(21)的约束。此处用三维直角坐标的空间曲线表示三个动态变量的相互函数关系，其有关的定义，概念，推理和结论可以推广到多维的欧氏空间。
(21)
(22)
非线性动态系统的解，传统习惯于用时间函数表示随时间的变化过程，但这不是唯一的方式，特别是当的表达式解不出来的时候。近代的电路与系统理论，也可以用相图来显示两个动态变量相互间的非线性函数关系，作为方程的求解结果。在两个变量构成的直角坐标相平面上，画出相点连续运动的相轨迹，也就是两变量相互间的关系曲线。同理，也可在动态系统中，选取合适的三个动态变量组成一个三维的相空间，三个变量相互间的非线性函数关系，可以用一条空间曲线来描写，这就是三维的相图。对于个变量可以组成维相空间。
如果用替代变量，将式(15)化成二维，三维，四维的方程如式(17)(18)(19)，则当时，变量不是有界的，但是有界的如相图4，图5，图6。做包含的相图，和画时间波形两者比较起来。例如画和画，可以发现两者的纵轴均表示，说明波幅的变化两者是相同的，横轴或的尺度被展缩一个比例系数。纵轴的变化量相同，横轴的尺度被压缩一万倍的数量级，其轨线的密集度会使得显示范围一片兰色。因此要有一定作图技巧，才能显示出两个图是一致类似的。
我们说混沌可以用一条三维(或维的欧氏空间)有界空间曲线，来描写变量间的非线性函数关系。其中,动态变量是指含有界能源系统中的物理变量，在电路网络是指各种电变量，不包含，这三个数学上的替代变量，它不是系统的物理变量，它的物理意义是时间的尺度展缩，当时，它显然不是有界的。
5. 关于混沌理论
大多数文献认为，混沌理论起源于1963年提出的Lorenz方程，随后研究混沌的文献不断拥现如雨后春笋，也有文献认为20世纪科学将永远铭记三件事相对论，量子力学与混沌，它在整个科学中的作用相当于微积分在18世纪对数理科学的影响，混沌和分形成为20世纪末21世纪初的学科前沿，它激起对非线性科学的广泛关注与研究[15] [16] 。此后，关于混沌的论述广泛出现在各个学科领域，但至今没有一个统一的定义，较著名的定义有李天岩–约克定理。各文献的介绍有共同共识的论点，也有分歧的论点见解不尽相同，混沌的性质多种多样更是各说不一，也有一本文献介绍多种定义的。并没有综合成一个常规完整的理论与统一严格的定义。
用频域的方法研究混沌是本文有价值的贡献，文中在例证电路图1的基础上，有以下几点结论与当前有些文献介绍的混沌理论是不同的。
① 不少文献认为混沌是奇异吸引子。我们认为相点运动轨迹的有界性不一定是吸引子，其相图的复杂性并不等于奇异，是很普通的自然现象。无损耗电路受外界因素干扰，使相点运动偏离原来的轨道，没有收敛的能力没有吸引性，此类混沌不是吸引子。从全局而言不会发散趋于无穷是有界的，从微小局部而言混沌轨线对邻近相点没有吸引性是不稳定的。诞生混沌的一阶微分电路图1，说明混沌态是普遍广泛存在的，周期态是个别特殊的，闭合周期轨的相图是混沌态的退化形式。
②用空间曲线描写混沌，事实上就是用相图显示系统中各量之间的函数关系，组成三维或n维空间的坐标变量，在电路网络中除了取状态变量(如例1中的)外，还可取非状态变量(如例1中的)，也可取系统中已知的动态量(如例1中的)。
③ 有文献认为确定性系统可能诞生随机性结果，本文认为混沌是微分方程确定性的解。相图是根据微分方程理论画出来的，只要微分方程的理论没有被推倒，混沌函数可以用唯一的相图来描写的结论恒成立。一个微分方程包括起始条件，只对应一个相图。不可能有两个相图，因而混沌方程的解是唯一确定的。
④ 混沌的非周期性，这是当今学术界的共识，但要注明一点，按照数学理论的严格分析，只要是数值仿真，其处理的全部是有理数，因而其画出的仿真相图全部都是周期态，不过周期很长很长。在定义有限的观测时间内，画出的相图可以有周期态与非周期的混沌态之分。只要承认在仿真时间内的混沌是非周期的，那么随着仿真时间的延长，轨线会不断延长和增加而显得更加稠密，当空间曲线的平面投影相图，在轨线的充满性遍历性已达到不能分清线条的程度，混沌仍表现为还没有完成一个周期。反之，如果后面的轨线重复前面的轨道，就说明此后相点的运动会不断重复下去，不会有新增的轨线，不会更加稠密，相图最后进入周期轨。
⑤ 当今出现一些定名的混沌系统，如Chua’s电路，Lorenz系统，Chen，Lu，Liu，Qi系统，等等，似乎是有限的少数例证，这些例证为混沌理论的发展做出重要贡献，但不久的将来，千姿百态各种各样的混沌系统必然会大量涌现出来。混沌和求不出解析表达式的有界非线性非周期振荡，两者是同义语。
⑥对初值敏感依赖，并非混沌专有的特性，很多系统例如处于不稳定极限环的点集，对初值的依赖也非常敏感。数学上已经有与的定义，在0点左右都是极其敏感的，这种特性甚至于在线性系统也屡见不鲜。
6. 结论
① 本文用频域分析方法，研究多谐波混频构成的一阶微分电路会得出混沌相图，这是与当今学术界所提出的各种混沌不同的新型混沌，可以形成一个新的混沌系统族。通过本文的研究，可以充分说明混沌函数存在的广泛性，决不是当前出现的几十个例子，只要将图1电路网络做各种各样的变化，例如将图中的两个电容改换成两个电感，或改换成一个电感一个电容，必然又是另一个混沌电路，改变图1的网络连接与增减元件，可以有各种各样无穷无尽的变化，随着混沌研究的不断深入与发展，其可以构造出的混沌相图不计其数，这已经是勿用置疑了。
② 这个电路网络的特点是具有多谐波源与正性非线性电阻，图4至图6的演化过程说明，随谐波源的增加，诞生混沌的可能越大，其前提是参与混频各谐波源的强度要相差不多。不能有其中一个激励源的幅值，远远超过其它激励幅值。
③ 表1数据全部相图的混沌态，说明要有足够的瞬时能量交换源，图1电路共有5个能量交换源，三个激励源和两个电容，电路中的五个元件，能量不断的吞吐相互交换是诞生混沌很重要的原因。这种元件起码要有三个或以上。无损耗电路的激励源不是一个能源，它不送出能量，它发挥的作用仅仅是一个能量交换源，它和电感电容共组成三个能量交换源，不断交换吞吐能量，故也能诞生混沌[17] [18] 。
④ 图1电路作为混沌信号发生器，有广泛的实际应用价值，在实验室实现起来，要比其他电路简单容易得多。例如用无损耗电路构造混沌信号发生器，要制作非线性电感[17] [18] 。用蔡氏电路要构造一个有负阻效应的非线性电导，它必须用有源器件实现。和这两种电路比较起来，电路图1有更加广泛的实用价值，除了一个正性的非线性电阻外，全部是线性元件，根据表1的数据，三个电压源的幅值在2~40伏之间，振荡频率，这在电子实验室是很容易实现的。正性非线性电阻的构造可以用无源元件实现，要比制作非线性电感容易得多。用一个混沌信号发生器(例如本文的电路图1或蔡氏电路或无损耗电路，视为一个非周期激励源)，去驱动一个仅仅由非线性的L与C元件组成的非线性网络，其输出端必然又是另一个新型的混沌。这样一来混沌函数就包罗万象无处不在了。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 60662001)。
NOTES
*通讯作者。
参考文献