1. 引言
数据包络分析(DEA, Data Envelopment Analysis)是由A. Charnes、W. W. Coopor和E. Rhodes于1978年提出的一种系统分析方法，适合对若干同类型的具有多输入、多输出的部门(称作决策单元，即Decision Making Units，简记为DMU)进行相对效率评价和比较分析。DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，应用数学模型计算比较决策单元之间的相对有效性(DEA有效)。目前，专家学者已经将DEA方法推广到具有不确定性或模糊性的多输入、多输出决策单元系统中，提出了不确定数据包络分析、模糊数据包络分析、粗糙DEA等多种模型(参见文献[1] -[4] )；同时，这些模型被应用于许多领域(参见文献[5] -[7] )。本文通过实例讨论模糊DEA在高职院校办学效益评价中的具体应用。
2. 模糊DEA模型概述
对于基本DEA模型CCR(参见文献[1] [2] )，有“基于输入”和“基于输出”两种形式。“基于输入”是指在保持产出(输出)
基本不变的情况下将投入(输入)
尽量减少；如果已经无法减少，则说明决策单元DMU0是有效的。“基于输出的CCR模型”，是在保持投入(输入)
基本不变的情况下将产出(输出)
尽量扩大；如果已经无法扩大，则说明决策单元DMU0是有效的。当输入输出指标用模糊数(常用的是三角模糊数，参见[8] )表示时，相应的评价模型被称为模糊DEA(Fuzzy DEA)。
本文沿用文献[1] 中的记号，对于模糊数
和实数
，
的
截集
是实数域上的一个分明区间，记为
，其中
分别表示区间的左右边界。特别地，对三角模糊数
，
，
。
设有
个决策单元DMUj
，每个决策单元的输入和输出的数目分别是
、
。基于输入的模糊CCR模型是对基于输入的确定性CCR模型的推广，即考虑决策单元DMUj
的输入输出指标由精确值变为模糊向量时的评价模型。此时，输入指标变为
，输出指标变为
时，被评价单元DMU0的相对有效性评价模型变为[1] ：
(M1)
依据截集方法和DEA评价的思想，可将上述模型在
置信水平下分别转化为极大值规划和极小值规划(均为确定型线性规划)：
(M2)
(M3)
设线性规划(M2)的最优值及最优解为
，那么[1] ：
当
时，则被评价单元DMU0为
水平下的乐观弱模糊DEA有效的；
当
且
时，则被评价单元DMU0为
水平下的乐观模糊DEA有效的。
设线性规划(M3)的最优值及最优解为
，那么[1] ：
当
时，则被评价单元DMU0为
水平下的悲观弱模糊DEA有效的；
当
且
时，则被评价单元DMU0为
水平下的悲观模糊DEA有效的。
在应用上述基于输入的模糊DEA模型评价决策单元的相对有效性时，可以采用“平均置信有效性”方法对决策单元进行有效性排序，即
设在分等级置信水平
下(
为事先指定的取点数量)，决策单元相对有效性(对应前述模型M2、M3的最优值)分别为
，
，则决策单元的平均置信有效性为：
对于基于输入的模糊DEA模型来说，
越大则决策单元的有效性越强。
3. 模糊DEA应用于办学效益的评价
选择浙江省8所高职院校2012年的实际数据，应用模糊DEA方法并借助MATLAB软件进行详细计算。
3.1. 数据准备
本文使用的相关基本数据来自中国高职高专教育网(http://www.tech.net.cn/web/index.aspx)专栏“高等职业教育人才培养质量年度报告”(2012年)。尽管基本数据是真实的，但由于一些评价指标和权重具有主观性(且部分学校的个别数据缺失)，为了不引起“对号入座”等不必要的麻烦，这里分别用DMU1~DMU8表示相关高职院校(不明确标示其对应学校的名称)。
3.2. 评价指标体系
将采用如下评价指标体系：三项输入指标，三项输出指标(含两项模糊指标)。
——专任教师人数，单位：百人；
——教职工总人数，单位：百人；
——年度新增经费投入，单位：千万元；
——毕业生数量，单位：千人；
——优质教学成果得分，用五分值评定、用[0, 5]上的三角模糊数表示；
——毕业生质量得分，用五分值评定、用[0, 5]上的三角模糊数表示。
对于上述输入输出指标数据，
，
，
及
取自中国高职高专教育网公布的相关高职院校2012年度数据；
依据年度报告中省级以上精品课程、省级以上重点专业、示范实训基地及产学研基地、教学研究成果及获奖等信息综合考虑，给出评价数据(用三角模糊数表示)；
依据年度报告中毕业生就业率、就业去向、学生参加各种竞赛获奖、学生毕业设计及毕业实习等信息综合考虑，给出评价数据(用三角模糊数表示)。
最后得到的8所高职院校各指标数据如表1所示，对于三角模糊数分别使用
,
,
,
来表示：
3.3. 计算过程
以下采用“基于输入的模糊DEA”模型对上述8所高职院校进行办学效益评价。
根据表1中的数据，与高职院校DMU1相对应的模糊DEA评价规划为：称为(P1)
Table 1. Input and output indexes data of eight Vocational Colleges
表1. 八所高职院校输入输出指标数据
由于
所以，依照取截集的方法，在置信水平
下，求解模糊规划问题(P1)可转化为求解如下两个普通线性规划问题：分别称为(P11)和(P12)
选取不同置信水平
值，分别求解线性规划(P11)及(P12)可得到高职院校DMU1的模糊DEA有效区间
。比如，取
，借助MATLAB求解(P11)、(P12)得到模糊DEA有效区间为：
计算过程如图1及图2示。
从图1、图2的计算结果可以看出，对于置信水平
，高职院校DMU1是“乐观模糊DEA有效的”，但不是“悲观模糊DEA有效的”。
类似地，分别取
，0.6，0.8，1可得到高职院校DMU1的模糊DEA有效区间为：
，
，
，
。
实际上，可在MATLAB中使用参数，重复使用同一段代码计算不同置信水平下DMU1的模糊DEA有效区间。含参MATLAB程序如下所示：
f = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1];
A = [3.66, 3.5, 3.18, 3.02, 9.82, 3.30, 3.11, 3.14, -3.66; 6.33, 5.6, 5.58, 3.82, 15.03, 4.2, 5.21, 6, -6.33; 2.19, 2.57, 3.8, 1.15, 1.89, 1.26, 1.34, 4.02, -2.19; -3.12, -2.8, -2.59, -2.35, -7.57, -2.58, -3.04, -3.28, 0; -(4.85-1.03*a), -(2.15 + 0.86*a), -(3.37 + 1.13*a), -(2.00 + 0.95*a), -(3.5 + 0.95*a), -(2.01 + 0.82*a), -(2.66 + 0.62*a), -(3.75 + 0.62*a), 0; -(4.95 - 0.97*a), -(2.65 + 0.77*a), -(3.21 + 1.31*a), -(2.35 + 0.73*a), -(3.23 + 1.11*a), -(2.15 + 0.85*a), -(2.45 + 1.09*a), -(3.6 + 0.4*a), 0];
lb = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -inf]; ub = [];
b = [0, 0, 0, -3.12, -(4.85 - 1.03*a), -(4.95 - 0.97*a)];
linprog(f, A, b, [], [], lb, ub)
f = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1];
Figure 1. The calculation results by using MATLAB (1)
图1. 使用MATLAB的计算结果(1)
Figure 2. The calculation results by using MATLAB (2)
图2. 使用MATLAB的计算结果(2)
A = [3.66, 3.5, 3.18, 3.02, 9.82, 3.30, 3.11, 3.14, -3.66; 6.33, 5.6, 5.58, 3.82, 15.03, 4.2, 5.21, 6, -6.33; 2.19, 2.57, 3.8, 1.15, 1.89, 1.26, 1.34, 4.02, -2.19; -3.12, -2.8, -2.59, -2.35, -7.57, -2.58, -3.04, -3.28, 0; - (2.58 + 1.24*a), -(4.26 - 1.25*a), -(4.95 - 0.45*a), -(3.97 - 1.02*a), -(5 - 0.55*a), -(3.92 - 1.09*a), -(3.89 - 0.61*a), -(5 - 0.63*a), 0; -(2.77 + 1.21*a), -(4.79 - 1.37*a), -(5 - 0.48*a), -(4.06 - 0.98*a), -(4.96 - 0.62*a), -(3.87 - 0.87*a), -(4.03 - 0.49*a), -(4.76 - 0.76*a), 0];
lb = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -inf]; ub = [];
b = [0, 0, 0, -3.12, -(2.58 + 1.24*a), -(2.77 + 1.21*a)];
linprog(f, A, b, [], [], lb, ub)
按照相同的方法，可以给出高职院校DMU2、DMU3、……、DMU8在置信水平
分别取0.2、0.4、0.6、0.8、1.0时的模糊DEA有效区间，最终结果如表2所示。
应用平均置信有效性公式，可以得到前述8所高职院校的平均置信有效值
分别为：0.927，0.893，0.979，1，1，0.999，1，1。
据此，8所高职院校的办学效益排序为：DMU4，DMU5，DMU7，DMU8(并列)；DMU6；DMU3；DMU1；DMU2。
4. 计算结果分析
依据上述结果，并对照表1中的原始数据，可以得到许多定性结论，这对于决策者提高办学效益、提升管理水平有重要价值，比如：
1) 比较两所学校DMU3和DMU4的数据就会发现，尽管其专任教师数量和毕业生人数相当，甚至DMU3的学生质量高于DMU4(可从
及
的数据看出)，但DMU3的办学效益却低于DMU4。究其原因，主要是DMU3的经费投入、人员成本较高(专任教师在教职工中的比例较低)；
Table 2. Fuzzy DEA valid interval of eight Higher Vocational Colleges
表2. 八所高职院校的模糊DEA有效区间
2) 比较两所学校DMU1和DMU8的数据就会发现，尽管其专任教师数量、教职工总数、毕业生人数及质量相当，甚至DMU8的经费投入高于DMU1，但DMU8的办学效益仍高于DMU1。究其原因，主要是DMU8的优质教学成果得分明显高于DMU1(可从
及
的数据看出)。
同时，对照实际情况，那些仅仅追求所谓的“大手笔”、硬件投入非常高的“豪华”学校，其办学效益往往很低。
以上这些结论表明，高职院校的办学效益本质上体现在学校的内涵建设上，如何练好高职院校的“内功”才是管理者需要认真考虑的问题。
致 谢
本文得到上海海事大学重点课程建设项目的资助，特此致谢！