1. 引言
多用户多输入多输出(MU-MIMO)无线通信系统在当今通信领域已得到广泛应用[1] ，它能提供改善频谱效率和无线链路传输性能的巨大潜力。一般来说，每个用户与基站(BS)之间的信道需要正交，这就使得它们之间的通信需处在不同时频资源上，从信息论的观点上看显然不是最佳的。如果不同用户与基站之间的通信能在同一时频资源上进行，就可以得到更高的频谱使用率[1] ，但这需要复杂的解码技术来消除用户间干扰，如上行系统中的最大似然(ML)解码[2] ，下行系统中的脏纸编码(DPC) [3] 。
大规模天线(Massive MIMO)系统[4] -[8] 不同于一般的MIMO系统，基站拥有大量天线，同时在同一频段上服务于多个用户终端。根据大数定理，不同用户与基站之间的信道趋于正交[9] [10] ，这样小区内用户间的干扰就可以用简单的线性解码来消除，因此提高了频谱效率[11] 。此外，大规模天线还可以减少系统的发射功率。上行系统减少发射功率可以使终端电池消耗减慢；下行系统基站的电功率消耗来自于功率放大器、相关电路和冷却系统[12] ，故减少发射功率可以削减基站的电力消耗。
大规模天线系统中，由于巨大的天线数目及多个用户同时同频通信，选择一个低解码复杂度的解码器显得尤为重要。线性解码器如最小均方误差(MMSE)和迫零(ZF)解码器，其解码复杂度相对于ML解码已大大降低，但是它们都需要求信道矩阵的逆矩阵，当天线数很大时计算复杂度仍然比较高[10] [13] [14] 。另一方面，最大比合并(MRC)解码器是一种简单的线性解码器，它不需要对信道矩阵求逆，计算复杂度明显降低。文献[9] 应用随机矩阵理论，得到了大规模天线系统中MMSE、ZF和MRC解码可达到的理论速率。文献[15] 给出了MMSE和ZF解码关于成对错误概率(PEP)的近似表达式。
本文对大规模天线系统中的MRC解码及其性能作出详细的分析，主要工作包括以下几个方面：1)给出了MRC解码方法PEP的解析公式。2) 理论证明了①当天线数M固定时，随着信噪比
逐渐增加并趋于无穷大，用MRC解码方法得到的PEP会有一个下界；②当
固定时，随着M逐渐增加并趋于无穷大，用同样解码方法得到的PEP降为零。3) 给出并证明了MRC解码方法的能量尺度律(power scale law)。即当
时，随着天线数的增加，每根天线的能量可以按
而减少并能保持PEP趋于零。而当
时，上述结论不成立。这个结论纠正了文献[7] 中给出的相应结论。最后，仿真证实了上述结论。
符号说明：斜黑体字母代表矩阵或矢量。
和
分别表示矩阵的转置和共轭转置；
表示矩阵的迹运算，
表示Frobenius范数，
表示矩阵的第j行，
表示矩阵的第i行第j列分量；运算符
表示数学期望，
表示方差。
2. 系统模型
假设有这样一个大规模天线蜂窝系统，本文考虑单个小区内用户与基站之间的收发状态。假设小区内有1个基站和K个用户，每个用户仅有1根发射天线，基站有M根天线(M可能是几十或几百)，其基本的输入输出方程可以表示为
(1)
其中
是一个M维列向量，它表示基站接收到的信号；
是接收到的信噪比(SNR)；
表示信道矩阵，其维数是
，其中每个分量分别表示每个用户与基站天线之间的信道增益，即
表示用户j与基站天线i之间的信道增益。本文假定
是一个独立同分布，均值为0、方差为1的复高斯随机变量；
是用户发送的信号，其中
表示第i个用户所发送的信号，并且假定每个信号的平均能量为1。同时
，即
是第i个用户的星座图；
表示噪声，它也是一个M维列向量。
的每个分量也是均值为0、方差为1的复高斯随机变量。在本文中，我们假设信道是慢平坦衰落的，并且基站知道信道状态信息
。
3. MRC的解码方法和性能分析
3.1. MRC的解码方法
常用的线性解码方法ZF/MMSE解码具有良好的性能，但是它们需要对信道矩阵求逆，因而当M很大时解码复杂度仍然比较高。MRC解码不需要求逆矩阵，计算复杂度明显降低，本节的目的就在于做出它的性能分析。
MRC均衡器可表示为
(2)
将此均衡器乘到方程(1)两边得到
(3)
设K维向量
和
分别为
和
，它们第j个元素分别记为
和
。这样，上式可表示为如下K个等式
(4)
对于一个给定的j
，MRC解码法就是从上述第j个方程中解出第j个用户的信息
。但是从等式中可以发现，传输信号
都涉及在里面。因此，
就会产生干扰，通常的情况是将这些干扰当作噪声来处理。
基于上述分析，MRC解码器的解码方法可以表述为
(5)
3.2. 成对错误概率公式
本小节对上述MRC解码方法的性能从以下几个方面做出分析：1) 给出系统PEP表达式；2) 当基站天线数M固定，信噪比
趋于无穷大时，分析PEP的渐近性能；3) 当信噪比
固定，基站天线数M趋于无穷大时，分析PEP的渐近性能。
在方程(1)中，我们对各个符号作如下表示：
，
，
，
。这样方程(3)可以表示为
(6)
假设系统有两个不同的码本
和
，当发射信号
，接收端判决为
时产生误码。记
，
，则上述方程组中第j个方程可表示为
(7)
为了做出性能分析，假设
为0均值、单位方差的复高斯随机变量。因此，根据本文的假设及高斯分布的性质得到：
从而可以得到下面条件概率密度函数
(8)
因此
(9)
其中积分区域
，Q为Q函数，
，
。
由于信道矩阵
的概率密度函数
(10)
对(9)式中
作平均得到PEP如下：
(11)
公式(11)涉及到Q函数，很难得到一个显式表达式，但是我们可以做出渐近分析，其主要结果如下。
定理1 针对上述给定的系统模型，MRC解码的PEP具有以下性质：
1) 当天线数M固定，信噪比
时，有
(12)
这里
是一个正常数。
2) 当信噪比
固定，天线数
时，有
(13)
证明过程见附录。
从上面的定理可以看出：当
时，用MRC解码所得到的PEP不趋于零，最终会有一个下界，一般称之为错误平台；而当
时，最终得到的PEP趋于零，说明增加基站天线数可以改善MRC解码方法的性能。
3.3. 能量尺度律(Power Scale Law)
在本小节中，假设基站的总能量为E，而每根天线的接收信噪比
，其中
。则可以得到下面的结论。
定理2 在上述的系统模型下，假设每根天线的能量为
，E是给定的总能量。选用MRC解码得到的PEP满足：
1) 当
时，则有
(14)
2) 当
时，则有
(15)
其中
是一个正常数。
证明过程见附录。
可以发现，当
时，PEP并不会随着M的增加而趋于零，后面的仿真可以清楚地证明这一点。
4. 仿真分析
本小节通过仿真来验证所推导的表达式，假设信道是慢平坦衰落的，并且基站已知信道状态信息。整个仿真分为三个部分：第一、二部分是基于方程式(1)给出的分析，在其它参量不变的情况下，分别给出了信噪比
和天线数
时PEP的渐近趋势，并各自做出了比较；第三部分探讨的是power scale law问题，如3.3节所给定的假设，讨论了
和
时PEP的趋近情况。
图1是在给定假设用户码本为BPSK，小区内用户数
，基站天线数目M分别取20、30、40，信噪比的取值范围为[−8:2:22] dB。从图中可以看出，随着信噪比的增加，曲线都呈下降趋势，最终出现错误平台；但如果固定信噪比，则可以看出随着M的增加，PEP越来越小，并且下降的幅度变大。故在
Figure 1. PEP of MRC decoding when M equals to 20, 30, 40 respectively
图1. M = 20, 30, 40 MRC解码方法PEP
大规模天线系统中，增加基站天线数目可以明显改善MRC解码法的性能，这也证实了前面所推导表达式的正确性。
图2所选用码本为4-QAM，用户数目仍然为8，信噪比分别取3 dB和6 dB，天线数目变化范围为[20:20:120]。从图中可以看出，随着M的逐渐增加，PEP呈现线性下降趋势，最终趋于零。
图3是在power scale law条件下所讨论的关于
值的变化对PEP所产生的影响，给出了
和
时的对比仿真曲线。这里用户选用的码本仍然是4-QAM，用户数为8，信噪比为6 dB，天线数目为[30:30:180]。从图中可以看出，当
时，随着天线数目的增加PEP趋于零；当
时，随着天线数目的增加，PEP下降得越来越平缓，最终也到达不了零。
Figure 2. PEP of MRC decoding when SNR equals to 3, 6 dB respectively
图2. SNR = 3, 6 dB MRC解码方法PEP
Figure 3. PEP of MRC decoding when α equals to 0.5, 1 respectively
图3. α = 0.5,1 MRC解码方法PEP
5. 结束语
基于大规模天线蜂窝系统，本文研究了对接收端采用MRC解码法的PEP性能并且分析了不同条件下PEP的渐近趋势，结论显示出信噪比和基站天线数目的增加都有利于降低PEP。MRC解码方法的计算复杂度比MMSE和ZF都要低，并且随着天线数目的增加，其优势的体现更加明显。而大规模天线是未来移动通信发展的必然趋势，因而MRC解码法将会得到更加广泛的应用。
致 谢
感谢国家自然科学基金资助项目(61372093)。
附 录
定理1的证明：
应用Q函数的下界和其Chernoff上界公式[16] 得到
(16)
故有
(17)
从而PEP下界可以表示为
(18)
所以
(19)
这里大于0是因为被积函数是个正数，在
上积分必然大于0。这样就得到了定理1中当信噪比趋于无穷大时PEP的渐近性能，下面继续证明第二种情况。
由Q函数的Chernoff上界公式(16)得到
(20)
然后对
求平均，记为下式
(21)
因为
，且
，
所以得到
(22)
令
，将
划分为两个区域：
和
，对
。从而
(23)
其中不等式是依据
，
。由Markov-Chernoff不等式得
，而
，由此我们就得出了定理1第二部分的结论。
定理2的证明：
依据3.3节给出的假设，用类似于定理1第二部分的证明过程得到
(24)
这里
，
区域
和
。
当M趋于无穷大时，上式被积函数应用洛必达法则得到
(25)
其中
，
。从最后的等式可以看出，当
时为结果0，即此时
；当
并不等于0。为了证明
，需利用Q函数的下界公式(16)，下面继续给出证明。
当
时，由公式(16)并对
求平均得到
(26)
类似地，可以得到
(27)
这里得到第二个等式是利用洛必达法则，由此我们得到了想要的结论。