1. 引言
本文研究如下非线性抛物方程组解的爆破性
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
其中
是
上的有界区域且有光滑边界
，
是
上的Laplace 算子，
，
为以后给定的函数。
型如(1.1)的单个多重非线性抛物方程
(1.5)
就是经典的所谓双非线性抛物方程,这类方程可以描述诸多化学反应、热传导过程和种群动力学过程(详细见文献[1] )。方程(1.5)的初值问题或初边值问题已经有许多文献研究其局部和整体可解性[2] -[6] ，文献[7] -[12] 则研究了其整体吸引子的存在性和正则性。最近几十年，该类非线性抛物方程的爆破问题吸引了许多人的注意，基于Levine [13] [14] 凸性方法这一开创性的证明爆破的结果，Iami和Mochizuki [15] 则给出了方程(1.5)带Neumann初边值问题解爆破的充分条件，该凸性方法还被Levine [16] [17] 用于如下渗流方程
(1.6)
Sacks [18] 研究了如下包含方程解的爆破问题
(1.7)
Zhang [19] 和Ding和Guo [20] -[22] 通过构造适当的辅助函数，利用一阶微分不等式考虑了下面带梯度项和Neumann (或Robin)初边值问题解的爆破条件
(1.8)
Korpusou和Sveshnikov [23] [24] 给出了如下方程初边值问题弱解爆破的充分条件
(1.9)
最后，还应提及Ouardi和 Hachimi [25] [26] 研究了如下多重非线性抛物方程组
得到了其整体吸引子的存在性和正则性以及Hausdorff维数估计。
本文用修正的Levine凸性方法证明问题(1.1)~(1.4)的解在有限时刻爆破，该方法比原始的Levine凸性方法更简洁，其基本技巧是Korpousov [24] 给出的一个微分不等式，本文把[24] 的方法用于多重非线性抛物方程组。据作者所知，关于多重非线性抛物方程组的爆破问题的研究还比较少。本文的安排如下：第二节将给出一些假设和基本引理，第三节给出主要结果和证明。
2. 假设和基本引理
本文用
和
表示通常的Soblev空间,其范数分别记为
和
，特别是当
时，记
，这些符号的含义和记法同文献[2] 。
本文始终假设
。关于非线性项
,
的假设如下：
(A1)
，存在函数
使得
，
且存在常数
使得
,
其中，
当
时，
当
时。
注：满足条件(A1)的函数是存在的。事实上，一个典型的例子是取
且
，即
,
,
这时，
，其中
,
，
，
。该例的详细情况可见文献[27] 。
利用Galerkin方法，结合单调性理论和紧性方法[2] ，类似文献[24] 可得问题(1.1)~(1.4)解的局部存在性。
定理2.1：假设条件(A1)成立，
，
，则问题(1.1)~(1.4)存在弱解
，即，存在
使得
, 
,
.
且对任意
成立：
，
，
以及
。
下面给出本文的基本引理。
引理2.2 [13] [24] [28] ：设
是R上非负二次连续可导函数且满足不等式
其中
为常数。若
，
，则必存在时刻
，使当
时有
，其中
。
3. 主要结果及证明
首先引入泛函
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
现给出主要引理。
引理3.1：对任意
，下面不等式成立
(3.5)
证明 注意到
(3.6)
而由Holder不等式得
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
考虑到(3.7)~(3.10)，则由(3.6)得
再利用不等式
,
得
于是，引理得证。
下面，给出主要定理。
定理3.2：设定理2.1的条件成立, 且
(3.11)
则问题(1.1)~(1.4)的弱解
必在某有限时刻
爆破，即
证明：方程(1.1)，(1.2)两边分别同乘
和
，然后关于x积分并相加，得
(3.12)
方程(1.1)，(1.2)两边分别同乘
和
，然后关于x积分并相加，得
(3.13)
(3.13)关于t积分得
(3.14)
再利用条件(A1)得
(3.15)
(3.12)结合(3.15)，并用到
，得
即
(3.16)
注意到
得
(3.17)
利用引理3.1，得
(3.18)
其中
。
如果
，由(3.1)，(3.6)和(3.11)知
, 
, 
于是，由引理2.2得结论。如果
，取
，则(3.18)变为
于是，由标准的凸性引理得结论。