1. 引言
秩1矩阵是线性代数中一类非常重要的矩阵，它可以表示为一个非零列向量n维列向量与一个n维非零行向量的乘积。文献[1] 与文献[2] 已经讨论了秩1矩阵的一些性质，其中文献[2] 还拓展和优化了一些结论。本文主要讨论由n维列向量与乘积构成的秩1矩阵。现从矩阵的结构、乘法运算、特征值与特征向量等方面总结了矩阵的性质，并且结合这些优良的性质，重点讨论了秩1矩阵在统计学中的应用。
2. xxT的性质
设x为一个n维的列向量设为，那么，可以得出具有以下性质。
2.1. xxT为对称阵
证明：根据矩阵的乘积，得到，容易得出为对称阵。
2.2. xxT的秩为1
证明：因为，，非零，所以。
2.3. xxT有两个实特征值，分别是xTx和0，且xxT非负定
证明：求解特征方程，把代入得特征方程为
，假设，方程左边的特征多项式第一列提取出，第二列提取出，，第列提取出得
把第二列至第列分别减去第一列得
把第列乘以加到第一列得
所以，的特征值为
，其中0为重特征根。
由的特征值判定矩阵为非负定阵。
2.4. 0为xxT的特征值，其重数为n – 1，并且对应一个n – 1维的线性子空间作为0的特征空间
证明：因为的秩为1，所以的秩也为1，根据线性方程组解的结构可得，对应特征值0有个线性无关的特征向量，从而对应一个维的线性子空间作为0的特征空间。
2.5. 特征值xTx和0的特征空间是相互正交的
证明：因为列向量非零，所以，对称阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以特征值和0的特征空间是相互正交的。
2.6. 当x为一个n维单位列向量时，xxT为幂等阵，特征值只能是1或0，并且xxT为投影阵
证明：，因为为一个维的单位列向量，所以所以为幂等阵。
此时特征值为0和1，特别此时既为幂等阵又为对称阵，所以为投影阵。
3. x与xT及xxT在统计上的应用
矩阵是工程技术等学科发展的重要工具，特别是研究线性模型最基本的工具之一，在线性模型的发展中具有举足轻重的地位，许多地方需要矩阵代数方面高超的运算技巧。与是比较简单和常见的矩阵，在线性模型中处处可见，并且由于其优良的性质，所以在统计上具有巧妙的应用。
3.1. 多元正态分布
多元正态分布在数理统计中的很多分支占有重要地位，那么多元正态是怎样定义的呢?先看一个定理。
定理1、设是维随机向量，，则对任一维列向量，当且仅当。
证明：必要性设，存在矩阵，，可表示为，这里。
且相互独立，为非随机向量。
于是，根据定义文献[3] 可得。
充分性由特征函数的唯一性可以得到文献[3] 。
这个定理表明，一个多元正态向量的任一线性组合仍为一元正态向量。同样可以得出一个多维随机向量的任一线性组合都是一元正态的，那么这个多维随机向量服从多元正态分布，就从无密度函数的角度定义了多元正态分布。
3.2. 对称阵的谱分解
对称阵的谱分解是基于特征值和特征向量的分解，在多元统计分析的许多方法中起了重要的作用。
对称阵可以表为它的特征值和相应标准化特征向量的函数，
这里是秩为1的阶方阵，就把对称阵表示成了个对称阵的线性组合，其线性组合系数为相应的特征值，其实也就是的加权和，对称阵的谱分解和对角化放在一起就是谱定理文献[4] 。
3.3. 在定理证明中的应用
在统计分析学习中，出现很多次的向量与，并且由于是对称阵而是一个数的特殊性经常被用到。
在矩阵特征值的性质中，阶对称阵的特征值为，为阶列向量，则有。
这个性质把矩阵与与矩阵的特征值之间的关系通过与联系起来。在统计中经常用到的Kantorovich不等式的证明中就用到了这个结论文献[4] ，并且在证明中也用到了。
在线性模型
的可容许估计中，一个重要的定理：
在充分性证明中就因为为对称方阵，使问题迎刃而解文献[3] 。
当为一个维单位列向量时，既为幂等阵又为对称阵，所以为投影阵。幂等阵和投影阵在统计学，线性模型，以及其它学科都有很多的应用，这里不再赘述。
参考文献