1. 引言
亚式期权是一种强路径有关的期权，其支付函数与到期日之前的时间区间内原生资产价格的平均值有关。于是亚式期权可以分为两类：算术平均亚式期权和几何平均亚式期权 [1] 。对于几何平均亚式期权，很容易得到闭合解(closed-form solution)，相应的定价问题可以解决。由于不清楚相关对数正态分布的随机变量之和的分布，算术平均亚式期权的定价就显得非常困难，目前还没有任何的闭合解 [1] [2] 。而实际交易的亚式期权大多是离散采样的，所以对于这一类期权的研究相当有意义。目前有许多方法去研究离散采样的算术亚式期权，包括解析逼近、上下界估计、数值计算和拟解析方法等 [2] - [6] 。假设原生资产具有均值回归和带跳的性质，Chung和Wong [7] 得到了离散的算术平均亚式期权的解析定价公式。当原生资产价格在与时间有关的Lévy过程下演化时，Yamazaki [8] 利用Gram-Charlier展开方法得到了离散和连续采样的亚式期权定价的近似公式。
本文我们将研究由Curran [3] [4] 和Nielsen [5] 给出的通过上下界估计方法得到的算术亚式期权两类近似计算公式，着重分析它们的误差和优劣。在此基础上我们发现Nielsen的近似公式相对较为精确。
2. 近似公式及讨论
考虑风险中性世界，原生资产价格
服从如下几何布朗运动
(1)
其中
是标准的布朗运动，
是无风险利率，
表示支付红利，
表示波动率。这里
假设为常数。期权到期日设为
，交割价设为
，离散采样个数设为
。
下面我们先叙述Curran和Nielsen的期权定价公式，然后给出Curran公式的证明(文献 [3] 中没有给出具体推导过程)，它将有助于分析误差来源。
定理1 (Curran定价公式 [3] [4] )离散采样的算术平均亚式期权在时刻
时的定价公式为
(2)
其中
这里
表示
时刻资产价格，
是第一个采样时间，
表示采样时间间隔，
是标准的正态分布函数：
证明 由(1)和Itǒ公式，我们有
这里
服从正态分布
。算术平均价格和几何平均价格分别为
令随机变量
，显然
的期望和方差分别为
。引入
，于是
容易验证随机变量
是正态分布，期望和方差分别为
随机变量
和
的协方差为
注意到
和
是双变量正态分布，我们得到
从而
的条件分布是对数正态分布
于是亚式看涨期权的定价公式为
(3)
其中
是随机变量
的正态密度函数。
记
(4)
在(4)式推导中利用了恒等式
以及下述重要关系式
(5)
用
逼近
，注意到
，
的零点可以用下述方式近似
(6)
于是，方程(3)可写为
证毕。
从上面证明过程可知，Curran公式事实上是亚式看涨期权的下界
的逼近。
而且，根据公式(4)和(6)，这个近似是有误差的。特别当到期日
固定时，由(5)式可以看出，定价公式的误差对波动率非常敏感。
下面的算术平均亚式期权定价近似公式由Nielsen [5] 给出。
定理2 (Nielsen公式)
(7)
其中
由Nielsen公式的证明过程(参见[5] )可以看出，该公式就是期权定价下界
，这里随机变量
是标准的正态分布。而前面给出的Curran公式是期权定价下界
的一种近似，其中随机变量
是几何平均价格。所以通过上述讨论，可以看出Nielsen公式比Curran公式更加接近真实解。
基金项目
安徽省自然科学基金(1408085MA01)。