1. 问题的描述
考虑圆形域
，边界为
。
为包含原点的有界单连通区域（空腔），边界为
，满足
，并且存在常数
，满足
。设
和
充分光滑，
表示相应于
的单位外法向量。
于边界
处注入电流
并测量边界电势
，假设测量精确，则电势
满足
，并且
与
之间满足DtN映射：
于是电位势
满足Laplace方程
(1.1)
及边界条件
(1.2)
(1.3)
则Cauchy问题(1.1)和(1.2)存在唯一解
我们的问题是由(1.1)、(1.2)和(1.3)式得到空腔
的形状，即确定
的边界
[4] 。
2. 数学模型的建立
我们考虑极坐标变换
设
，于是(1.1)和(1.2)式转化为极坐标系下的Cauchy问题：
(2.1)
并满足周期条件
(2.2)
另一方面，在直角坐标系下，
上的单位切向量为
，由
知，
上的单位外法向量为
，再根据极坐标变换有
于是有
，从而可得
在极坐标系下表示为
从而内区域
上的边界条件(1.3)转化为
即
(2.3)
从而我们的问题可描述为：求
，满足
(2.4)
其中
是方程(2.1)的解。
由
满足的条件知，存在常数
，满足
。于是在极坐标系下设
满足
。
考虑下述Cauchy问题：
(2.5)
并满足周期条件
(2.6)
由解析延拓的性质[5] 知，Cauchy问题(2.1)和(2.5)的解于
中相等，即
。
下面，我们利用分离变量法解Cauchy问题(2.5)，得到其解的解析表达式之后寻找该解于
中法向导数为零的点集，从而得到
的表达式，进而得到空腔
的边界。
首先，令
，带入(2.5)式方程可得
(2.7)
(2.8)
由周期条件(2.2)知
(2.9)
(2.8)和(2.9)式构成特征值问题，显然其特征值和特征函数分别为
其中
和
为实数。将特征值
带入(2.7)式，得齐次欧拉方程：
其解为
所以，Cauchy问题(2.5)的解的一般形式为
(2.10)
为确定上式的叠加系数，将(2.5)中的边界条件写成下列级数形式：
(2.11)
其中 
已知。由(2.10)式知
(2.12)
比较(2.11)式和(2.12)式的系数，分别得到
和
由
，有
，从而
，
，进而可得
于是Cauchy问题(2.5)的解(2.10)式可写成：
其中
已知。进一步有
则
(2.13)
其中
已知。于是问题(2.4)可描述为：求
，满足
(2.14)
3. 重构算法
我们基于求解非线性算子方程的Newton迭代法思想，给出求解问题(2.14)的迭代算法。对于非线性方程
(3.1)
设
为给定的初始近似，对于
，做迭代
(3.2)
直至
收敛，其中
是线性问题
(3.3)
的解。此处
是非线性算子
于
处的Fréchet导数。
以上算法的关键步骤是当给定
后，如何求得
。为此，我们考虑如下问题：给定函数
，求
，满足
(3.4)
首先由(3.1)式以及Taylor公式可得
于是对于
，(3.4)式为
(3.5)
其中
可由(2.13)式中
的表达式得到
为求解(3.5)式，对
进行均匀剖分
，剖分步长为
，设
，将差分格式
(3.6)
代入(3.5)式，解线性方程组
(3.7)
其中
。
于是我们得到问题(3.4)的解
，即当给定
时，通过上述过程得到
，代回(3.2)式，依次类推。当
时，迭代停止。
4. 数值实验
我们分别对介质内部三种不同形状的空腔进行重构，来说明重构算法的可行性。三个空腔均为星型域，图1的空腔具有风筝形状，其边界参数方程为
图2的空腔具有花生形状，其边界参数方程为
图3的空腔边界为分段光滑，其参数方程为
算法的初始迭代曲线为中心在原点，半径为0.5的圆，算法的收敛准则为自变量和泛函值连续迭代误差小于
。对于输入数据
含噪音的情况，我们按下述方式添加噪音模拟“测量”数据
：
这里
表示在剖分节点上的真实值组成的向量，其中
为噪音水平，
表示
绝对值的平均值，
表示
的维数，
是一个
维随机向量[6] 。
图1(a)、图2(a)和图3(a)是在假定边界输入数据精确的情形下，三种空腔的重构效果；图1(b)、图2(b)和图3(b)分别表示输入数据含5%噪声水平的空腔重构效果。
(a)(b)
Figure 1. (a) Reconstruction of kite shape cavity; (b) Reconstruction with noise data
图1. (a) 风筝形状空腔重构；(b) 带有噪声数据的重构
(a)(b)
Figure 2. (a) Reconstruction of peanut shape cavity; (b) Reconstruction with noise data
图2. (a) 花生形状空腔重构；(b) 带有噪声数据的重构
(a)(b)
Figure 3. (a) Reconstruction of piecewise smooth cavity; (b) Reconstruction with noise data
图3. (a) 边界分片光滑空腔重构；(b) 带有噪声数据的重构
5. 总结
本文基于电阻抗成像，针对带有空腔的均匀介质的重构问题，利用解析延拓以及求解非线性方程的Newton法的思想，给出了一种迭代算法，并针对几种特殊的空腔形状给出了算例。实验结果表明，该算法比较稳定，相对误差较小，但计算量和存储量比较大，并且对于空腔位置有一定要求。如何提高带有尖角的空腔的重构质量，是我们下一步研究的重点。
基金项目
辽宁省教育厅科学研究一般项目(No. L2014457)；东北财经大学青年基金培育项目(No. DUFE2014Q64)。