1. 引言和预备
自从Erceg M.A.在文献[1] 中引入伪度量概念以来，格上度量理论已取得了很大的发展 [1] - [7] 。Erceg M.A.的伪度量定义是基于集合间的Hausdorff距离而引入的 [8] 。
为了研究Erceg度量，本文从另一个角度通过对Erceg-Peng度量公理与一般拓扑学中度量公理进行比较，我们猜测Erceg-Peng度量公理的连续性条件对它的诱导拓扑没有本质的影响，从而，从拓扑学角度出发，Erceg度量公理可以进行简化，为了证明这种猜测，我们先列出一般拓扑学中公理如下：
定义1.1 [9] 设是一个不空集合，一个伪拟度量(简称p.q.度量)是一个映射满足下列条件：
(A1)，如果，那么；
(A2)，。
一个p.q.度量称为伪度量(简称p.度量)，如果还满足：
(A3)。
除(A1)，(A2)，(A3)外，如果还满足：
(A4)，则，
那么称是在上的一个度量。
由于Erceg度量的定义较为复杂且直观意义不明显，鉴于此，1992年，彭育威在文 [5] 中最先给出了Erceg伪度量的点式意义的简化形式定义如下：
定义1.2 [5] 格上的Erceg-Peng伪拟度量(简称Erceg-Peng p.q.度量)就是满足下列条件的函数：
(B1)，如果，那么；
(B2)，；
(B3)，。
一个Erceg-Peng伪拟度量被称为Erceg-Peng伪度量，如果还满足下列条件：
(B4)使得使得。
除(B1)，(B2)，(B3)和(B5)外，如果还满足下列条件：
(B5)，如果则，
那么称是在上的一个Erceg-Peng度量。
在Erceg-Peng度量公理中，如去掉(B3)，显然定义1.1就是定义1.2的特殊形式。其中(B1)，(B2)，(B5)分别是(A1)，(A2)和(A4)的推广，(B1)，(B5)分别与(A1)，(A4)的差异是由于上带有序的结构；(B4)体现了完全分配格的对合对应的性质，它是(A3)的推广。
通过比较，发现在定义1.1中没有条件与(B3)对应，由此我们猜测：在Erceg-Peng度量公理中的条件(B3)对它所诱导的拓扑没有实质的作用，即去掉(B3)，这将不会改变它所诱导的基本拓扑性质。为了证明这种猜测的正确，现给出一些必要的定义和引理。
定义1.3设是一个映射。且对，定义映射为：。另外还分别定义映射和使得且当时，和。
引理1.4 设是映射，则。
证明：如，则结论显然。不妨设。根据的定义知。因此。反过来，设，则有，从而使得且。根据的定义可得，所以。由此得，由的任意性知。综述命题得证。
引理1.5 如果映射满足(B4)，则。
证明：设。对每个(也就是)，且(也就是且，根据(B4)，且使得。由此有，(否则，存在使并且，但从和定义，有，因此，再根据得，矛盾)。这表明只要就有，因此，即。所以。
反过来，设且，则，即使得。根据(B4)，知使得。所以。由和得和，因此有。根据与得，即。这就是说只要就有，因而可得，即。综上所述，命题得证。
引理1.6 如果映射满足(B4)，则。
证明 由引理1.4，引理1.5和DeMorgan对合律可得下面等式：
引理1.7 设是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，则为，及，有下列结论：
1)；
2)；
3)；
4)；
5)。
证明 1)和2)是显然的。
3) 由。再根据引理1.5显然。
4) 由引理1.6得。
5) 从3)和4)有，因而(5)获得证明。
定义1.8 设是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，对每个和，定义一个映射使得。
注1.9 首先，在这定义中，如果，那么演变为，这与前面引理1.6结论相一致，这说明如此定义是有意义且与定理1.6不矛盾。其次，根据引理1.6和定义1.3，对每个和，可得。因此在本文后面的论述和证明中，对它们两者不加区别，等同看待。
在本文我们规定：表示一个具有逆序对合对应“”的完全分配格，简称fuzzy格；中所有非的-既约元(也被称为点)的集合记为(或)；中每个元都有一个最大极小集用表示，且易见也是的一个极小集，当且仅当，这里恰是上的way below关系 [4] [10] ；定义域是值域是的映射定义为。指有，另外，规定。其它未声明的概念与符号请参考文献 [10] 。
2. Fuzzy p-度量及与Erceg’s伪度量的关系
定理2.1 如果是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射(称p是L上的一个Fuzzy p-度量)，则有下列结论：
(D1)；
(D2)；
(D3)；
(D4)；
(D5)。
证明. 根据引理1.7，命题显然成立。
定理2.2 如果p是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，那么，有如下结论：
1)是一个在上的拓扑基，记这个拓扑为。
2)。
3)。
证明. 根据定理2.1和文[4] 中的主要结论得命题成立。
推论2.3 设p是满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，则：
因此，如果是一个满足(B1)，(B2)和(B4)的映射，则根据定理2.1和定理2.2知：由这组(D1)~(D5)条件按定义获得一个Erceg伪度量并且，这里。梁基华曾经在文 [4] 中给出的与之满足(D1)~(D5)映射相对应的那个Erceg伪度量只不过是满足这组给定的(D1)~(D5)的所有映射组成的代表类其中的一个特定代表而已。
3. Erceg伪度量函数的简化
本节在Erceg-Peng伪度量基础上对它的度量函数做进一步的简化。
定理3.1 一个映射是上的Erceg伪度量当且仅当满足条件(B1)，(B2)，(B4)和下面(B3)*。
(B3)*
证明 设是Erceg伪度量，则满足(B1)，(B2)和(B4)，下证满足(B3)*由于，
因此，有。由此利用得
从而。因此满足(B3)*。
反之，满足(B1)，(B2)，(B3)*和(B4)下证满足(B3)。如果，则有，由引理1.6和极小集的保并知使得。于是。因此有。由的任意性有。也就是如就有，因此
.
其次，，由(B1)和(B2)得。于是，因满足(B3)，所以，因此是Erceg伪度量。证毕。
定义3.2 设是一个从的映射。，定义映射如下：，称为的闭邻域映射簇(简称C-nbd簇)。
定理3.3 设映射满足(B1)和(B2)。则。
证明 假设，那么。因此。反过来，，有。取使得。于是，从。因此。
定理3.4 设是上的Erceg伪拟度量，。
证明 只须证明。取且。那么，使得且。由满足(B1)和(B2)可知。因此由(B3)*得。
注意：由于我们对Erceg度量进行了简化，因此一个映射如果满足(B1)，(B2)和(B3)*，(B4)和(B5)，则我们也习惯地称是Erceg伪拟度量(Erceg度量)。这和前面Erceg伪拟度量定义有一点差别。因为(B3)*代替(B3)的简化是借助于(B4)，但这里如此称呼是与(B4)无关，不过它们的区别是显然的，在论述和证明中体现，一目了然，因而这不影响后面涉及的有关论述和证明。
定理3.5 设是上的Erceg伪度量，则它的闭邻域映射簇满足下面条件：
(R1)；
(R2)；
(R3)；
(R4)。
证明 (R1) 这能够被获得从定理3.4和(B1)。
(R2) 根据的定义，这能够被获得从定理3.4和(B2)。
(R3) 由，。可证。
(R4) 根据(B4)和定理3.3易得(B4)。
定理3.6 设映射簇满足(R1)-(R4)，定义映射如下：
,
则是上的一个Erceg伪度量，且的闭邻域映射簇恰是。
证明 首先证明下列结果： (1)。
根据定义和(R3)，是显然的。反过来，让.，根据的定义有。由(R3)知。
(B1) 能够从(R1)获得。
(B2) 假设和那么和。因此。从(R2)知道，由此. 即。
(B3) 由：可得。
(B4) 从(R2)和定理3.3可得。
最后，的闭邻域映射簇恰好是，这可由定理3.4和(1)得。证毕。
在一个Erceg伪度量里，由引理1.7知有和成立。受此启发，我们断言在Erceg伪度量里，其它基本球也有相似性质。现给出下列几个结果。
定理3.7 设p是Erceg伪度量，则。
证明 因为，由，得，另外根据定理3.5中(R3)可得，从而命题成立。
定理3.8 如果，p是一个Erceg伪度量且令，那么
证明 1)显然。另一方面，取则使得和。根据(B1)和(B2)有。取使得.那么有。这显示。
2) 显然，让。从(B1)和(B2)，可得到。如果，那么有为每个，这暗示。因此。这是一个矛盾。因此，。从而。
定理3.9 如果是一个Erceg伪度量，那么
证明 1)显然。反过来，假设，那么对每个，我们有。从(B1)和(B2) 可得，所以。从而。由此。
2) 如果，那么对每个。因此。从(1)，我们有。又因为。从引理1.7和定理3.7，我们可知。
定理3.10 如果是一个Erceg伪度量，那么
证明 1)显然。反过来，让，那么对每个，我们有，那蕴含，由此。因此。从而。
2) 显然。其次，如果，那么。因此我们有。
定理3.11 设是Erceg伪度量，则。
证明 假设。根据定理3.8知使得。由此得。假如，那么对每个有，也就是，。因此，存在使得且。因此。根据(B2)，存在使得且。让。那么，即。因为蕴含。所以得，也就是。因此，存在使。。又根据(B3)*得。这矛盾，这显示。另一方面，假设。那么使得。所以对每个有。对每个(也就是)，根据(B4)存在，使得。因此有。再由于，所以有(即)。这可推。根据定理3.7可得。由获得。因此。所以，。
定理3.12 假设是Erceg伪度量。那么。
证明 首先，证明。假设。那么由极小集性质知使得且，也就是。这显示对每点，存在使得，由此可推出。取。从(B4)可知存在使得且。让，那么，也就是。这显示只要就有，因此得(也就是，)。根据，知存在使得且。根据(B1)和(B2)，得到。因是任意的，所以，由此有。这显示。
其次，证明，也就是，。假设。那么对每个且，知使得且，由此。现证明。假如。那么。取且使得，则可知。根据(B4)知存在使得，这矛盾。因此。由此，再根据及(R3)有，命题得证。
参考文献