1. 引言
奇异系统广泛应用在实际系统中，比如：化工、冶金、炼油、航空航天、机械制造等。在复杂工业过程中都会出现时滞现象，时滞的出现使得受控系统处于不稳定状态或者系统性能下降。因此，近年来时滞奇异系统的镇定问题引起了学者的广泛关注，取得了颇多的研究成果。谢湘生，刘永清[1] 在1996年基于控制，得到时滞奇异系统镇定控制器设计方法，基本上是国内较早研究时滞系统的镇定问题的学者。随后冯俊娥，程兆林在[2] 中利用矩阵不等式(LMI)给出时滞广义系统稳定的充分条件，并讨论了状态反馈控制器设计思路，但并没有考虑时滞奇异系统的鲁棒性。系统中信号的传递和观测时间以及系统元件老化的原因，使得鲁棒控制成为研究时滞系统控制问题的重要课题。张冬雯[3] 研究了不确定时滞奇异系统状态反馈的鲁棒控制问题，杨帆，张庆灵在文献[4] 中基于神经网络模型，对带有扰动的时滞广义系统鲁棒控制进行研究，但是这些成果仅仅是对线性时滞奇异系统的研究，没有涉及到非线性。
徐胜元，杨成梧[5] 研究了不确定非线性广义系统的鲁棒控制并没有考虑系统的时滞和控制。王德进在文献[6] 考虑不确定非线性时滞系统的时滞依赖的鲁棒干扰抑制，基于LMI 得到了状态反馈控制律，且具有鲁棒稳定性和优化的抑制能力。傅勤[7] 等对带有界扰动的一类非线性系统进行状态设计。王岩青，姜长生在文献[8] 对状态为非线性的不确定线性时变时滞系统的状态控制器设计问题就行研究。不足之处是这些学者所得结论非线性时滞奇异系统并不一定适用，王天成[9] 基于Lyapunov-Krasovskii泛函和LMI针对非线性时滞广义系统研究并给出控制器的构造方法，然而并没有考虑多个非线性时滞奇异系统的同时控制。同时镇定问题首先由Saeks [10] 等人源于实际工程中多模型特征系统稳定的需要首先提出。在国内，曹永岩，孙优贤[11] [12] 由状态空间的互质分解提出同时镇定问题研究。2011年关强，何冠男[13] 等人在回顾前人同时镇定方法后，对“比利时巧克力问题”，“香槟问题”等进一步探讨分析同时镇定问题。至今，同时镇定问题仍是学者关注的热点领域。
本文考虑非线性奇异时滞系统的鲁棒同时控制问题。系统状态是带有时变的非线性的有界范数，基于基于Lyapunov-Krasovskii泛函和线性矩阵不等式(LMI)，分别得到自由奇异系统的稳定性判据，状态反馈控制下闭环非线性时滞奇异系统的正则、无脉冲、稳定的充分条件，给出在带有不确定性具有扰动的非线性时滞系统的控制器的构造方法，所得结论是一组严格的矩阵不等式形式，利用matlab toolbox可以运行可行解。
2. 问题描述
考虑如下状态非线性不确性的广义时滞系统：
(1)
其中为系统状态向量，为系统控制输入，是有限能量的外部扰动输入，即,是被调输出，是奇异阵，不失一般性，我们假设。，，，为已知的适维常数阵，为变时滞，满足：，，表示系统的连续的初始状态，，连续可微的向量函数，且满足如下范数有界条件：
(2)
(3)
令系统(1)中，得到自由系统
(4)
假设自由系统(4)正则、无脉冲，在满足(2)，(3)式以及初始条件下有解。事实上，若，，，即是自由系统的平衡点。
本文的目的是设计状态反馈
(5)
其中为反馈增益阵。
使得系统(1)的闭环系统：
(6)
对满足(2)，(3)式的所有，满足：
(1)时闭环系统(6)正则、无脉冲、稳定。
(2) 在零初始状态下，对任意的，有：
引理1 [14] ：奇异系统
的解是正则、无脉冲，当且仅当存在矩阵满足
引理2 [15] ：对于任意矩阵，和对称正定矩阵，有以下不等式成立：
引理3 [16] ：设正则、无脉冲，则存在可逆阵，，使得下式成立：
3. 稳定性分析
为了研究方便，首先考虑自由系统(4)的稳定性。
定理1：如果存在适当正数，，正定对称矩阵，有如下线性矩阵不等式成立：
(7)
(8)
其中，则自由系统(4)渐近稳定。
证明：由(8)式利用schur补引理可得：
由，，由引理2知：
(9)
式(9)结合(7)式由引理1可得：矩阵对正则、无脉冲，自由系统(4)有解。
取候选的Lyapunov-Krasovskii泛函：
(10)
由于矩阵，对称正定，且有式(2)，(3)成立，则正定。
沿着自由系统(4)对求导：
其中， 则上式可等价于下式：
其中
(11)
如果，则有即是负定。由稳定性定理知：自由系统(4)渐近稳定。由schur补引理知：式(11)与式(8)等价，定理证毕。
下面考虑系统(1)在状态反馈下的闭环系统(6)的稳定性。
推论：如果存在适当正数，，正定对称矩阵，和适当维数的矩阵有如下线性矩阵不等式成立：
则闭环系统(6)是渐近稳定的。
证明：由定理1结论可知：若下面矩阵不等式
表
成立，则闭环系统(6)渐近稳定，证毕。
最后考虑非线性奇异时滞闭环系统(6)的性能。
4.性能分析
定理2：如果存在适当正数，，正定对称矩阵， ，，和适当维数的矩阵，使得下列线性矩阵不等式成立：
(12)
(13)
则非线性奇异时滞闭环系统(6)满足性能，此时状态反馈增益阵为
证明：取候选的Lyapunov-Krasovskii泛函：
沿着闭环系统(6)对时间求导，可得：
(14)
下证在零初始条件下，系统(6)具有性能指标。
定义指标函数：
(15)
由，结合(14)式，代入(15)式可得：
表，，，
若，则有，即成立，闭环系统(6)满足性能。
由schur补引理容易证明，等价于下面矩阵不等式成立：
(16)
对(16)式左边的矩阵左，右乘可以得到：
(17)
令，，，再次利用schur引理，(17)式可以化成(13)式，定理证毕。
5. 仿真算例
考虑状态非线性的时滞奇异系统(1)，相关参数如下：
，，，
，，，，，，，
取，，， ，，，求解定理2中矩阵不等式(13)得到：，，，此时控制器为。
6. 结语
本文考虑非线性奇异时滞系统的鲁棒同时控制问题。基于Lyapunov-Krasovskii泛函和线性矩阵不等式(LMI)以及非线性向量函数的有界范数给出带有不确定性具有扰动的非线性时滞系统的控制器的构造方法，所得结论是一组严格的矩阵不等式形式，利用matlab toolbox运行可行解。最后给出算例说明本方法的可行性。
基金项目
内蒙古师范大学十百千人才资助项目；内蒙古师范大学2014年度研究生科研创新基金(CXJJS14054)。
致谢
感谢内蒙古师范大学十百千人才资助项目，内蒙古师范大学2014年度研究生科研创新基金项目的资助！感谢我的恩师包俊东教授亲切的关心和悉心的指导！感谢杨帆，张庆灵，王岩青，姜长生，孙优贤等学者的文章提供了思路！
参考文献