1. 引言
将一个格或偏序集嵌入到一个好的结构中，特别是嵌入到方体[0, 1]X中是格序结构研究的一个重要内容。上世纪五、六十年代，Raney [1] [2] 和Bruns [3] 对完备格L到完备链的同态给出了一个构造法。基于这一构造法，Raney [1] [2] 、Bruns [3] 、Lawson [4] [5] 、Bandelt与Erné[6] 等人建立了若干重要类型的分配格(包括完全分配格和连续格)到方体的嵌入定理。Raney和Bruns的经典方法是建立在对相应的弱辅助关系的极大完备链作深入分析之上的，颇为复杂，不便应用，且需要选择公理AC。而它的最大缺陷在于它对偏序集情形的失效。为克服这一缺陷，我们在文[7] (也见文[8] 和文献[9] )中给出完全分配格到单位闭区间[0, 1]一类基本完备格同态的一个直接而简洁的构造，这一构造法只需要较弱的可数相关选择公理DCw。基于此构造法。我们容易建立完全分配格、连续格和一般的Z-连续domain到方体的嵌入定理(参看[7] [8] [10] )。值得注意的是，由于完全分配格可用完备格同态嵌入到某方体[0, 1]X中，因而偏序集到某方体的嵌入问题可以转化为偏序集到完全分配格的嵌入问题嵌入。
众所周知，二元关系能以一种自然的方式生成完备格。设
是集X上的一个二元关系，
，定义
，称为A在
下的像。在集包含序下，
为完备格。从格序结构的角度二元关系引起人们的关注源于Raney和Zareckiǐ的工作。Raney在文[2] 中证明了：若集X上的二元关系
是幂等的，则
为完全分配格。进一步，Zareckiǐ在文[11] 中证明了下述经典结果：集X上二元关系
是正则的当且仅当
为完全分配格。Zareckiǐ的工作引起了人们对正则关系的关注，这里可提到Markowsky [12] ，Schein [13] ，Bandelt [14] [15] 和Yang [16] 等人的工作。在文[17] -[22] 中，我们拓展了他们的工作，并给出了正则关系及更一般的正则型关系(包括它们的“代数型”)在拓扑和Domain理论中的一系列重要应用。
在本文中，我们将基于二元关系讨论偏序集到方体的嵌入问题，特别是偏序集到完全分配格的一种特殊嵌入–并稠嵌入问题。基于正则关系，我们建立了偏序集到完全分配格的并稠嵌入定理，证明了在同构的意义下，偏序集到完全分配格的(保Z-并的)并稠嵌入是唯一的，即均是由一些正则关系(或幂等关系)诱导的并稠嵌入。
2. 预备
本节给出本文所需的一些基本概念和记号。
在本文中，Set表示集合范畴，Poset表示以偏序集为对象，保序映射为态射的范畴。
设
为偏序集，
，记
，
；对偶地定义
和
。
设P，QÎob(Poset)映射
称为是单调的(也称是保序的)，若
，有
；f称为是序嵌入，若
有
。
定义2.1 (Baranga [23] )：函子Z：Poset®Set称为是Poset上的一个子集系统，简称Z是一个子集系统，若Z满足以下条件：
(1) PÎob(Poset)，
。
(2) P，QÎob(Poset)，保序映射f：P®Q，
，有
。
(3) $PÎob(Poset)使
含有P的非单点的非空子集。
以下是三个常用的子集系统：
(1) P(PÎob(Poset)，
为P的子集全体)。
(2) D(PÎob(Poset)，
为P的定向子集全体)。
(3) F(PÎob(Poset)，
为P的有限子集全体)。
在以下讨论中，Z总表示Poset上的一个子集系统。PÎob(Poset)，称
为P上的一个子集系统。更一般地，若
满足：
，则称
是P上的一个广义子集系统。
定义2.2 设Z是一个子集系统，P和Q是偏序集，
。
(1) P称为是
(或
)，若
，S在P中有上确界
。
(1) P称为是Z-domain，若P是Z(P)-domain。
也称为是定向完备偏序集，简称为dcpo。
(1) P称为是Z-domain，
。f称为是保Z-并的，若
，有
。当
时，保Z-并映射就是在熟知的Scott连续映射[4] [9] 。
定义2.3 设P是偏序集，
是P上的一个二元关系。
(1)
称为是一个附加序，若
，有
(i)
，
(ii)
。
(2)
称为是逼近的，若
。
(3)
称为具有插入性质，若满足：
(INT)
。
定义2.4 设
是偏序集P上的一个广义子集系统，P是
。
(1) 称
，记为
，若
。显然
是P上的一个附加序。记
。P称为是
，若
是逼近的，即
；进一步，若P还满足：
，则称P为
；若P为
连续domain，且
具有插入性质，则称P为
。
(2) 设P是Z-domain。称
，记为
，若
。记
。
就是熟知的way below关系
(参看[4] [9] )，
简记为
；
称为完全below关系，简记为
。
(3) P称为是Z-弱连续domain，Z-连续domain和Z-强连续domain，若P分别是Z(P)-弱连续domain，Z(P)-连续domain和Z(P)-强连续domain。当
时，Z-连续domain简称为连续domain(参看[4] [9] )；当
时，Z-(强)连续domain简称为强连续格。
定义2.5 集X上的二元关系称为具有插入性质，若满足
(INT)
。
连续domain所具有的最为重要的性质之一是其上的way below关系
具有插入性质(即domain的连续性与强连续性等价)，即有
定理2.6 ([4] [9] )：设P为连续domain，
。
。
推论2.7 设P为连续偏序集，则
具有定向择一性质，即满足下述
(DC)
。
关于完全below关系，有下述
引理2.8 设完备格L上的完全below关系
是逼近的，
。
。
证明：
，由
是逼近的，
。令
。
则
；从而由
。由
。故
。
关于
的择一性，易知有下述
引理2.9：完备格L上的关系
具有下述完全择一性质：
(CC)
。
定义2.10：设L是完备格，
。L称为是
-分配格，若
，有
(MD)
。
，
-分配格分别称为是完全分配格[1] [2] 和定向分配格[4] [9] 。
下面的结论是众所周知的(参见[4] [6] -[9] )。
定理2.11 (AC)：设L是完备格，
是L上的一个广义子集系统。则下述两条件等价：
(1) L是
-分配格；
(2) L是
-弱连续的，即
。
推论2.12 ([4] [9] ) (AC)：设L是完备格，则下述两条件等价：
(1) L是定向分配格；
(2) L是连续格。
推论2.13 (Raney [1] [2] ) (AC)：设L是完备格，则下述两条件等价：
(1) L是完全分配格；
(2) L是强连续格，即
。
由引理2.8和推论2.13，有下述
推论2.14 (Raney [1] [2] ) (AC)：设L是完全分配格，则L上的完全below关系
具有插入性质。
定义2.15：设
是Z-domain。映射
称为是保任意交的，若
，当
存在时，
存在，且
。映射
称为是Z-同态，若f保任意交和Z-并。当
时，Z-同态也称为Lawson同态。
3. 正则关系与完全分配格
X，YÎob(Set)，称r为X与Y之间的一个二元关系，若
。当
时，简称r为X上的一个二元关系。为简便起见，用
表示X与Y之间的一个二元关系。X与Y之间的二元关系全体记为Rel(X, Y)。
定义3.1：设
。定义
(1)
，称之为r与t的复合。
(2)
，称之为r的逆。
(3)
，称之为A在r下的像。
简记为
。
(4)
。
易知，完备格
中的并运算
为通常的集合并运算
，但其中的交运算
一般不是集合交运算
。
XÎob(Set)，易知(Rel(X, X), ë)是有单位元
的半群。rÎRel(X, X)，若
，则称r是幂等的；若r 是半群(Rel (X, X), ë)中的正则元，即$s ÎRel(X, X)使
，则称r是正则的。更为一般地，我们引入下述
定义3.2：关系
称为是正则的，若
。
显然，关系的正则性是自对偶的，即若
是正则的，则
是正则的。
例3.3：(1) 集X与其幂集
之间的关系
是正则的。事实上，定义
与X之间的一个二元关系
如下：
。则有
。
(2) 集X到集Y的任一映射
作为X与Y之间的一个二元关系是正则的。事实上，定义
如下：
。则有
。
关于正则关系，Zareckiǐ在文[11] 证明了下述重要结果。
定理3.4 (Zareckiǐ[11] )：设
，则下述两条件等价：
(1) r是正则的；
(2)
是完全分配格。
关于正则关系及其它正则型关系的讨论，读者可参看文[13] -[22] 。
4. 偏序集到完全分配格的并稠嵌入
设
是偏序集P上的一个二元关系，若
是附加序，且作为关系是正则的，则称
是P上的一个正则附加序；类似地，称
是P上的一个幂等附加序，若
是附加序，且作为关系是幂等的(等价于
具有插入性质)。
定义4.1 (Z-择一性质)：设P是Z-domain，r是P上的一个二元关系。r称为具有Z-择一性质，若r满足
(ZC)
。
定义4.2：设P是Z-domain。
(1) P称为是Z-正则domain，若P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的正则附加序。
(2) P称为是Z-幂等domain，若P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的幂等附加序。
显然，对偏序集P上的附加序r，r是幂等的当且仅当r具有插入性质。
引理4.3：设P是Z-domain。
(1) 若P是Z-正则domain，则P是Z-弱连续domain。
(2) P是Z-幂等domain Û P上存在一个幂等的、逼近的附加序
。
证明：(1)：由P是Z-正则domain，P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的正则附加序
。下证
。设
。
，若
，则由
是P上的附加序，有
。由
具有Z-择一性质，
；从而由
是P上的附加序，有
。故
。因而证明了
。由
的逼近性得到
的逼近性。故P是Z-弱连续domain。
(2)：设P是Z-幂等domain，则P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的幂等附加序
。由(1)的证明，有
。反之，设P上存在一个幂等的、逼近的附加序
，下证
具有Z-择一性质。设
。由
是幂等的，
。由
，有
；从而
。由
是附加序，有
。故
具有Z-择一性质。所以P是Z-幂等domain。
命题4.4：设P是偏序集，r是P上逼近的正则附加序。
令
，
。
定义一个二元关系
如下：
。则
(1)
。
(2)
是P上具有
-择一性质的、逼近的幂等附加序。
(3) r是幂等的当且仅当
。
(4) 若P是Z-domain，r具有Z-择一性质，则
。故
也具有Z-择一性质。
证明：(1) 设
。下证
。设
。由
，
使
；从而
。由r是附加序，有
；因而有
。故
，即
。由r是逼近的附加序，易知
。
(2) 由(1)和r是附加序，易知
是P上的附加序。下证
是幂等的。显然
是传递的，故只需证
具有插入性质。设
，即
。由r是P上的正则关系(因而
是P上的正则关系)和定理3.4，L是完全分配格；从而由推论2.14，
使
。由
和引理2.9，
使
。故
。即证明了
是幂等的。最后证
具有
-择一性质。设
，即
。由
的定义，有
；从而由引理2.9，
使
，即
。故
满足
-择一性质。
(3) 若
，则由(2)知r是幂等的。反之，设r是幂等的，下证
。设
，即
。由r是幂等的附加序(即r是具有插入性质的附加序)，有
；从而
使
和
。由r是逼近
的附加序，有
；因而由
和r是附加序，有
。故
。由(1)，有
。
(4) 由
的定义。
定义4.5：设
是偏序集。映射
称为是并稠的，若f(P)是Q的并生成集，即
。
引理4.6：设P是偏序集，L是完备格，
是并稠序嵌入。则f保任意交。
证明：设
在P中存在下确界。由f是序嵌入，有
。另一方面，由f是并稠的，有
。
，若
(即
，
)，则由f是序嵌入，有
；从而
。故
。所以
。
命题4.7：若完备格L可用保任意交的映射嵌入到某完全分配格中，则L可用保任意交的映射并稠地嵌入到某完全分配格中。
证明：由假设，L可用保任意交的映射f嵌入到某完全分配格
中。令
为
中以f(L)作为并生成集而生成的完备并子格，即
。则由f保任意交和
是完全分配格，易知
是
的完备子格，从而是完全分配的。定义映射
如下：
。则g 是保任意交的嵌入，且是并稠的。
下面给出本文的主要结果。
定理4.8 (AC) 设P是Z-domain，则下述各条件等价：
(1) P可用Z-同态并稠地嵌入到某完全分配格中；
(2) P可用保Z-并映射并稠地嵌入到某完全分配格中；
(3) P是Z-幂等domain；
(4) P是Z-正则domain；
(5)
使P是
-强连续domain；
(6)
使P是
-弱连续domain，且P上的
关系
具有插入性质。
证明 (1) Û (2)：由引理4.6。
(1) Þ (3)：设P可用Z-同态f并稠嵌入到完全分配格L中。在P上定义一个二元关系
如下：
(1)
称为是由f诱导的关系。显然
是P上的一个附加序。
(a)
。
设
。
，若
，则由f是Z-同态，有
；从而由
，
使
。由f为序嵌入，有
。故
。
(b) rf是幂等的。
设
，即
。由推论2.14，
使
。由f是并稠的，有
。由引理2.9，
使
，且
；从而有
。因而
具有插入性质。显然
是传递的。故
是幂等的。
(c)
是逼近的。
设
。则由f为序嵌入，有
。由推论2.8，
使
。由f是并稠的，
。故
使
且
；因而有
(因为f是序嵌入)。故
是逼近的。
综合(a)，(b)和(c)，P是Z-幂等的。
(3) Þ (4)：显然。
(4) Þ (5)：由P是Z-正则的，P上存在一个满足Z-择一原则的、逼近的正则附加序
。显然
也是正则的。令
。则由定理3.4和引理4.3的证明，知L是完全分配格，且
。令
。 (2)
则P是
。由
具有Z-择一性质，有
。显然P是
完备的。
(a) 若
，则
。
事实上，由
和
，有
存在，且 
(因为
)
(因为
)
。故
。
(b)
。故P是
-弱连续domain。
设
。
，若
，则由
是附加序和
的定义，有
；从而
使
。由
是附加序，有
。故
。所以
。由
是逼近的，P是
-弱连续domain。
(c)
，若
，则
。
设
。
，若
，则由
是附加序和
的定义，有
。由
，
使
；从而由
的逼近性，有
。故
。
(d)
。
由(b)，
。下证
。由
的完全分配性，性质(c)和
是L的并生成集，有
，即
。故
。
(e)
具有插入性质。
设
。由(d)，
。由(a)，有
。
显然
。由
，
。由性质(b)，(d)和(e)，P是
-强连续domain。
(5) Þ (6)：显然。
(6) Þ (1)：设
-弱连续domain，且P上的
关系
具有插入性质。显然
是传递的，故
是幂等的。因而
是幂等的。令
。则由定理3.4，知L是完全分配格。定义映射
如下：
(3)
则有
(a) f是序嵌入。
，由P是弱
-连续的，有
。故f是序嵌入。
(b) f是并稠的。
因为
是
的并生成集，故f是并稠的。
(c) f保
-并。
，由
具有插入性质，易知
。
故
。因而f保
-并。
由(a)，(b)，(c)和引理4.6，f是Z-同态，且是并稠嵌入。故P可用Z-同态f并稠地嵌入到完全分配格L中。
推论4.9：设P是domain，则下述各条件等价：
(1) P可用Lawson同态并稠地嵌入到某完全分配格中；
(2) P可用Scott连续映射并稠地嵌入到某完全分配格中；
(3) P是
-幂等domain；
(4) P是
-正则domain；
(5)
使P是
-强连续domain；
(6)
使P是
-弱连续domain，且P上的
-below关系
具有插入性质。
由命题4.7和定理4.8，有下述
推论4.10：设L是完备格，则下述各条件等价：
(1) L可用Z-同态嵌入到某方体[0, 1]X之中；
(2) L是Z-幂等的；
(3) L是Z-正则的；
(4)
使L是
-强连续的；
(5)
使L是
-弱连续的，且L上的
关系
具有插入性质。
定义4.11：设P是偏序集，r是P上逼近的正则附加序。令
。映射
，
，称为是由r诱导的并稠嵌入。
注4.12：设P是Z-domain，r是P上具有Z-择一性质的、逼近的附加序。则r诱导的并稠嵌入
保Z-并。
证明：
，有
(因为r是具有Z-择一性质的附加序)
。故
保Z-并。
注4.13：若P上存在(具有Z-择一性质的)逼近的正则附加序r，则通过r所诱导的(保Z-并)映射
，P可并稠地嵌入到完全分配格
中；从而由命题4.4，P可由(具有Z-择一性质的)逼近的幂等附加序
诱导的(保Z-并)映射
并稠嵌入到完全分配格
。因而，对通过逼近的附加序所诱导的映射把偏序集并稠地嵌入到某完全分配格而言，附加序的正则性要求和幂等性要求并没有本质区别。
下面的结果表明，在同构的意义下，偏序集到完全分配格的(保Z-并的)并稠嵌入是唯一的，即只有由一些正则关系(或幂等关系)诱导的并稠嵌入。
定理4.14：设P是Z-domain，P可用映射f并稠地嵌入到某完全分配格L中。在P上定义一个二元关系
如下：
。则
(1)
是逼近的幂等附加序。
(2) 存在唯一的完备格同构
使
。
(3) 若f保Z-并，则
满足Z-择一原则，从而由
诱导的并稠嵌入
保Z-并。
证明 (1)：由定理4.8中(1) Þ (3)的证明。
(2)：首先证明下述性质
(a)
，若
，则
。
令
。由L是完全分配格和f是并稠嵌入，
。
，若
，则由引理2.9，
使
，即
。由
，
使
，即
。故
。同理有
。所以
。
由性质(a)，我们可定义一个映射
如下：
(4)
则
(b)
。
(c) h保任意并。
。故h保任意并。
(d) 由f是并稠的，知h是满映射。
(e) h是单射。
设
，即
，下证
。设
，则
使
，即
；从而
。由引理2.9，
使
，即
。因而
。故
。同理有
。故
。所以h是单射。
由(b)~(e)，
是格同态，且
。设
是满足
的另一个格同态。则
，有
。故
，有
。即有
。故满足条件
的格同构
是唯一的。
(3) 设f保Z-并。下证
满足Z-择一原则。
，若
，即
，则由f保Z-并，有
；从而由引理2.9，
，即
。故
具有Z-择一性质。由注4.12，由
诱导的并稠嵌入
保Z-并。
基金项目
国家自然科学基金(No. 11161023)，“赣鄱英才555工程”领军人才培养计划和江西省自然科学基金(No. 20114BAB201008)。