具非线性来源项的抛物型方程反问题研究

An Parabolic Differential Equation Inverse Problem with a Nonlinear Source Term

摘要: 本文主要研究一类具非线性来源项的抛物型方程，利用单调算子理论和Sobolev嵌入定理，证明了正问题解的存在性与唯一性。在合适的容许集中证明了反问题拟解的存在性。

Abstract: This paper is devoted to a class of inverse problem for parabolic differential equation with a non-linear source term. Using the theories of monotone operator and the Sobolev embedding theorem, we verify the existence and uniqueness of weak solution for the direct problem as well as the ex-istence of quasi-solutions of the inverse source problem in an appropriate class of admissible source functions.

1. 方程及基本假设

非线性抛物方程广泛存在于扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等领域，具有强烈的实际背景和重要的应用价值。近年来，随着计算方法和计算工具的不断发展，非线性抛物方程反问题得到了迅速发展，大量线性和非线性抛物型方程反问题以不同的形式出现在不同的应用背景下，如热传导、材料学、流体学、金融工程和数学物理及工程科学等。文献[1] -[7] 对非线性抛物方程及反问题进行了一定的研究。本文我们考虑如下具非线性来源项的抛物型方程：

(1.1)

这里为有界开区域，边界分片光滑，且，，，，。

定义Sobolev空间[8] 的闭子空间，这里代表迹算子。在上赋以范数。令，等同于它的对偶空间，则是稠密连续紧嵌入的[8] 。为方便起见，用表示空间和上的对偶积，用代表Banach空间的模。记，，，。则空间为可分自反的Banach空间，嵌入是连续嵌入，是紧嵌入。

对于非线性源项，我们作如下假设：

(A₁) 泛函有界，即把有界集映为有界集；

(A₂) 函数满足Lipschitz条件，即存在，使得对任意的，都有

.

相应地，系数依赖于解的梯度，它通常用来描述Hencky物质材料性质。不失一般性，我们对系数及作如下假设：

(A₃)；

(A₄)；

(A₅) 存在正常数，使得，

这里，，为正的常数，是Poincaré常数。

定义算子，

。 (1.2)

定义上有界线性泛函，

。 (1.3)

定义算子，

。 (1.4)

这里，算子是线性稠密定义的极大单调算子([8] , p. 845)。从而问题(1.1)可表示为抽象算子方程：

。 (1.5)

若已知源项，对于给定的函数，记(1.1)的解为，我们把从(1.1)中寻找解的问题，称为正问题(DP)。反之，若已知部分边界测量数据

其中为已知数据。我们把寻找未知源项的问题称为未知源项的反问题，记为ISP。在实践中通常会用下列寻找最小化问题的解代替上述反问题ISP的解[9] ，即：

。 (1.6)

这里是辅助泛函，是函数的容许集，最小化问题解称为上述反问题ISP的拟解。

2. 正问题

为了得到问题(1.1)正问题弱解的存在唯一性，我们先给出几个定理和引理。

定理2.1 若条件(A₂)，(A₃)，(A₅)成立，则算子是次连续的。

证明：假设在中强收敛到，任取，直接计算可得

另一方面，由假设条件在中强收敛到，可以推出在中强收敛到，以及在中强收敛到，从而结合假设条件(A₂)，(A₃)，(A₅)以及Lebesgue控制收敛定理不难推导出

，

即有在中弱收敛到，从而次连续。

定理2.2 若条件(A₂)，(A₄)，(A₅)成立，则算子是强单调的。

证明：任取，根据假设条件(A₂)，(A₄)，(A₅)，有

(2.1)

从而算子强单调。

引理2.3 ([8] , p. 867)设为Banach空间，算子极大单调(定义域是的非空凸闭集)，算子有界、伪单调、次连续，并且存在点，使得，

当,时，。(2.2)

那么，即对任意的，存在，使得。

定理2.4 若条件(A₁)~(A₅)成立，则正问题(1.1)存在唯一解，并且有先验估计：存在常数，使得

(2.3)

证明：根据假设条件(A₁)，(A₃)，(A₅)可知，是有界算子。由定理2.1和定理2.2，算子是单调次连续算子，从而是伪单调算子(见[8] P.586)。此外，令，则

因此，类似于(2.1)式的证明(取)，可以推出，从而强制性条件(2.2)成立。因此，算子和满足引理2.3中的条件，故存在满足式(1.5)，即正问题的解存在。

另一方面，由算子的强单调性不难推出(1.1)的解还是唯一的。

下面验证先验估计(2.3)。令是(1.1)的解，在(1.5)式两边关于做内积可得

(2.4)

因为

并且

又根据Young不等式及Poincaré不等式，有

根据迹算子的有界性及Young不等式

因此，结合式(2.4)并选取充分小，就可以存在常数，使得

(2.5)

另一方面，由方程(1.5)可得

， (2.6)

从而由(2.5)，(2.6)以及和的有界性可以推出先验估计(2.3)。

3. 反问题拟解的存在性

本节给出问题(1.1)反问题拟解的存在性。

定理3.1假设条件(A₁)~(A₅)成立，定义容许集= {，满足条件(A₁)，(A₂)}，则反问题(1.6)在中至少存在一个拟解。

证明：因为任取,，即有下界，故存在下确界。设为的极小化序列，即

根据定理2.4，对任意的，正问题(1.1)存在解，并满足先验估计式(2.3)。又因为，故存在常数，对一致的有

。

从而在中有界，故存在弱收敛的子列(仍用原记号)，不妨设在中弱收敛到。由Aubin-Lions紧嵌入定理，到的嵌入是紧嵌入，故有在中强收敛到。

另一方面，因为，所以不妨设在中弱收敛到。根据定理2.4，对，存在唯一解。又因为由在中弱收敛到，在中弱收敛到以及算子的伪单调次连续性质，可以推出也满足(1.5)式，因此，由解的唯一性可知。

接下来我们将证明：

。 (3.1)

事实上，由于和都满足式(1.5)，两式相减并与做内积，我们有

(3.2)

又因为在中强收敛到，在中弱收敛到，从而

因此，

定理证毕。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11371125)，湖南省教育厅资助科研项目(13A013, 13C127)，湖南城市学院资助科研项目(2013xj009)。