1. 引言
本文研究了下列一类带强阻尼项的高维波动方程：
(1)
其中为有界光滑闭区域，为常数，函数。
该波动方程来自非线性弹性杆在纵向形变波传播与弱非线性作用下空间变换离子波传播问题见[1] [2] ，这是一个具有耗散性质的无穷维动力系统，而耗散动力系统的基本特征由相应的整体吸引子所表现见[3] [4] 。由于整体吸引子结构复杂，甚至有些物理系统的整体吸引子的分形维数是无限维的。考虑到在实际中的应用，如数值模拟，G. Foias等在见[5] 首次引进了惯性流形的概念，具体思想是把整体吸引子嵌入到一个适当的光滑的有限维流形，原系统在这个有限维流形上约化以后的动力学行为能通过一个常微分方程来实现。但是保证惯性流形存在的条件十分苛刻，于是想到了用一种近似的、光滑的、比较容易求解的流形去逼近整体吸引子和惯性流形，这就是近似惯性流形，近似惯性流形是有限维的光滑流形，且系统的每一个解在有限的时间里进入它的狭小的邻域内见[6] [7] 。
2. 预备知识
引进空间，，，则，，均为Hilbert空间且空间，，上的范数分别为：，，，空间，上的内积为：，。
设为，则为无界正自共轭算子，原方程(1)可化为如下的微分系统：
(2)
因为为无界正自共轭算子，是紧的，在中稠，所以具有由算子的特征向量所组成的正交基，，，设为的投影。为的投影。设，，，，则把投作用在方程(2)上有
(3)
(4)
(5)
(6)
函数，满足下面的条件：
(7)
(8)
(9)
其中为常数。
定理1：设，如果满足条件(7)-(9)，，则方程(1)存在唯一解，且满足
证明：略由Faedo-Galerkin方法，我们可以获得唯一解见[7] [8]
引理1：设，，如果函数是定义在上绝对连续的正函数，即对任意的，，，且满足不等式，则存在，当时，，是常数，见[7] 。
3. 主要结果及其证明
设为banbch空间，空间模分别记为，对任意，空间上的模记为。
定理2：设，如果满足条件(7)~(9)，，则存在，当时，。
证明：设，在中让(1)与作内积，可得
设且，
(10)
(11)
(12)
(13)
由(10)~(13)式，可得
(14)
(15)
(16)
设，，此时(14)式可以重写为
(17)
定理证毕。
现考虑问题(2)的近似惯性流形，设为在上的正交投影。。令，则(2)等价于
(18)
(19)
为用光滑流形逼近整体吸引子，先设
定义映射即，且满足
(20)
(21)
则是原方程的近似惯性流形。
首先证明映射的存在性。
定理3设充分大，使得且，则映射存在，且有。
证明：定义映射，任意，有，
满足
(22)
(23)
为证明映射的存在性，只需证明映射存在不动点，因此只需证明为压缩映射。
下证。由于，所以。再由(22)，有
由定理1知有界，由条件(7)~(9)知有界，所以有，即
(24)
所以有。
下证为压缩映射。由于是常值映射，所以存在.
其次设，由，及(24)，有
(25)
(26)
上述两式相减得，
(27)
所以
(28)
只要足够大，就可使得，即为压缩映射，所以是存在的，为系统的近似惯性流行。
定理4：设充分大，使得且，则存在正常数，有
证明：用(21)减去(19)，得
由定理1，紧嵌入定理及poincare不等式有，所以
(29)
用(5)减去(19)，得
(30)
所以。
由定理1知有界，由条件(7)~(9)知有界，所以有界，故
(31)
由(29)(31)，定理得证。
基金项目
国家自然科学基金(11172194)、山西省软科学(2014041007-3)。
参考文献