1. 引言
令为海森堡群上的薛定谔算子，其中为在海森堡群上的次拉普拉斯算子，非负位势属于逆赫尔德群。这篇文章中我们考虑与薛定谔算子相关的里斯变换。近年来，一些关于在海森堡群和其他李群上与薛定谔算子和薛定谔类型算子相关的问题已经被许多学者广泛研究(见[1] -[9] )。这些文章中关键问题是对与薛定谔算子相关的里斯变换估计的研究。我们回顾一下关于海森堡群的基本知识。海森堡群是李群上基础的流形，乘积为。
它的李代数是由下面的左不变向量场给出
它们满足。那么次拉普拉斯算子定义为。梯度算子定义为。上的伸缩为。在上的哈尔测度与在上的Lebesgue测度是一致的。我们用表示任意可测集上的测度，那么，其中为的齐次维数。
我们通过定义一个齐次范数。该范数满足三角不等式且可诱导出左不变距离。那么以为中心，为半径的球定义为
球是由左平移得到，所以我们有，其中。
一个上的非负局部可积函数被称为属于逆赫尔德类，如果存在使得逆赫尔德不等式对于每个上的球成立
当时,显然有。从文献[10] 中我们知道族具有“自提升性”，即如果则对于某个有。假设对于某个，则辅助函数定义如下。
定义1.1：对，辅助函数定义为：
为了获得在哈代空间上的估计，我们回顾一下在文献[8] 和[10] 中在海森堡群上与薛定谔算子相关的哈代空间。定义与相关的极大函数为，其中是由薛定谔算子产生的半群。哈代空间的定义如下：
定义1.2：如果属于,则称函数是空间中的元素。的半群定义为。
哈代空间有一个很好的性质，那就是它有原子分解，其内容如下：
定义1.3：令，一个函数称作是一个-原子如果它满足下面的条件
(1)，
(2)，
(3)如果，则。
从定义1.3中的(1)和(2)可以得到时也是原子。我们可以由[8] 和[10] 的结果得到原子的刻画。
命题1.4：令和。当且仅当可以写成时，其中是-原子，，且其和按范数收敛，并且有，其中下确界取自于在-原子上的所有原子分解。
通过的原子分解，我们就可以知道空间是比经典哈代空间要大。
接下来我们给出文章的主要结果。
定理1.5：假设，则是到的有界线性算子。即存在常数使得。
2. 辅助函数
在这一部分，我们回顾关于辅助函数的相关引理。这些定理的证明在[1] 中均给出。假设并且是非负的。
引理2.1：存在，使得时
引理2.2：如果,那么。且当且仅当
引理2.3：存在和使得对于任意的中的有
特别的如果时，有。
引理2.4：存在和使得
3. 薛定谔算子基本解的估计
我们回顾一下算子的基本解的估计以及里斯变换的核的估计。定义是算子的基本解，其中。显然。
下面引理的证明在[1] 中给出。
引理3.1：假设，。那么存在使得对于有
算子被定义为
其中，且。
下面的定理可以从[2] 得到
引理3.2：假设，。对于任意的正整数存在使得
且
其中。
4. 主要结果的证明
这一部分将证明里斯变换在海森堡群上的哈代型估计。定理1.5的证明依赖于下面引理4.2。
下面的命题给出了与薛定谔算子有关的里斯变换的有界性，证明过程参见[2] 。
命题4.1：假设，，那么对于，
其中为不依赖与的正常数。
引理4.2：对于任意的原子，令，则存在
其中C是一个与无关的常数。
证明：我们分两种情况来证明这个引理：和。
情况一：我们考虑的时候。令。那么
取适当的使得。那么利用命题4.1，在到是有界的，从而由赫尔德不等式我们可以得到
对于，由闵可夫斯基不等式和引理2.3，且，我们有
其中我们选择的是足够大的N且用了假设。
情况二：我们考虑的时候，注意。这时，原子是一个经典原子。我们对算子做如下分解：
那么
显然，类似于情况一的证明，很容易就可证得
对于。应用引理2.3和引理3.2可以得到
其中N足够大。因此我们证明了。
基金项目
国家自然科学基金项目(No. 11471018)，中央高校基本科研业务费专项资金(No.FRF-TP-14-005C1)和北京市自然科学基金(No.1142005)资助。
参考文献