1. 引言
随着移动互联网时代的到来，新兴的多媒体业务对无线通信速率的要求越来越高，有限的无线频谱资源成为现代无线通信领域的争夺焦点，在有限的频带内获得更高频谱效率是当今无线通信发展的方向之一。在此背景下，扩展的二元相移键控(Extended Binary Phase Shift Keying, EBPSK) [1] 应运而生，它是一种二元不对称调制，相较于传统的调制方式，具有更高的频谱利用率。
目前EBPSK的解调方案主要是通过特殊的冲击滤波器将相位跳变转化为幅度冲击，然后利用幅度判决的方法进行解调。然而在一般应用的情况下，接收端一般是有8位以上精度的AD对冲击信号采样，如果简单的采用硬解调，其波形中携带额外的软信息就被浪费了。如果能提取到接收信号的软信息，则可以进一步提高其解调性能，具有一定的理论和实际意义。对于有些应用场合，比如电力线抄表，码率只有几kbps的时候，运算的性能大大过剩，这样就可以把剩余的性能用于软解调，以提升误码率性能。
本文首先介绍了EBPSK调制与解调原理，软解调原理，然后根据文献[2] 中推导所得EBPSK信号在加性高斯白噪声下通过冲击滤波器所得响应，再参考BPSK信号在加性高斯白噪声下推导接收信号的可靠性度量，近似给出了基于冲击滤波器的EBPSK信号的可靠性度量，验证了其可行性并采用Chase-3软解调方案仿真得出其性能提高了大约0.5 dB。
2. 基本原理
2.1. EBPSK调制
EBPSK的统一表达式[1] 如下：
(1)
其中，
为载波频率，数据信息的符号宽度(即码元时间长度)T持续了
个载波周期，即
。跳变波形的时间长度
持续了K个载波周期，且
；0和1的调制波形分别为
和
。
2.2. 冲击滤波器
冲击滤波器是一类特殊的无限冲击响应(Infinite Impulse Response, IIR)数字滤波器，在通带内具有极窄的“陷波–选频”特性[3] ，在滤除噪声的同时，可将EBPSK调制信号的相位跳变转化为幅度过冲，然后利用简单的幅度判决来进行解调。
冲击滤波器由D对共轭零点和G对共轭极点组成，其系统函数如下[4] ：
(2)
其中(参数解释)D < G，M为常数，zd (
)为冲击滤波器的零点，pg (
)为冲击滤波器的极点。典型的冲击滤波器由1对共轭零点和3对共轭极点组成，其中心频率处具有很窄的通带，且呈现出“陷波–选频”特性。可以将相位跳变转化为幅度冲击。图1给出EBPSK调制信号以及其通过冲击滤波器之后的波形。
2.3. EBPSK信号通过冲击滤波器
在高斯信道下，设接收端含噪信号经过冲击滤波器的输出信号为：
(3)
式中，
为加性高斯白噪声通过冲击滤波器后的时域响应，由于冲击滤波器的带宽很窄，所以可以将其建模为窄带高斯白噪声[5] 。
根据文献[5] -[7] ，发送0码元时，通过冲击滤波器之后收到信号为：
(4)
(5)
(6)
由于
建模为窄带高斯白噪声，所以
服从广义瑞利分布[8] (莱斯分布)，其概率密度函数为：
(7)
(8)
发送码元1时，通过冲击滤波器后的信号为：
1) 在
范围内：
(9)
2) 在
范围内：
(10)
(11)
(12)
找到使信号1冲击最高的时刻，记为
，由于
描述的是正弦振荡的建立过程，所以
在
内，其包络服从改进的广义瑞利分布：
(a)
(b)
Figure 1. EBPSK waveform and filter output waveform
图1. EBPSK调制波形与冲击滤波器的输出波形
(13)
(14)
再对样本集回归拟合分析，修正为：
(15)
图2是冲击滤波后含噪EBPSK信号理论和仿真的概率密度函数。
2.4. Chase-3软解调算法
一般用于EBPSK的解调算法都是基于冲击滤波器幅度判决，或者是基于匹配滤波器的硬判决输出。它们的输出都量化为两个电平，即0和1。如果经过匹配滤波器或者冲击滤波器的输出不经过量化，或者量化多于两个电平，我们则说解调器作了软解调。由于多级量化或未经量化的接受采样值中提供了额外的信息，所以软解调相对于硬解调的性能一般能提供2~3 dB的增益。然而，为了获得更好的误码性能，软解调的复杂度大大高于硬解调，有些算法的复杂度甚至是指数级，这就是典型的用复杂度换取误码性能。
软判决译码算法总体分两大类：基于可靠性的译码算法与基于码结构的译码算法。本文主要讨论的Chase算法[7] 是基于可靠性的软判决译码算法。
Chase算法有3种，这里选用复杂度最低的Chase-3算法。其实现步骤如下：
根据接收序列r得到硬判决接收序列z，并对z中的每一个符号分配一个可靠性值。
通过修改硬判决接收序列z生成一个至多
个序列的列表。若
为偶，修正z的方法为：
(a) 信号0 (b) 信号1
Figure 2. Probability density function of EBPSK signals after filter
图2. 冲击滤波后EPBSK信号的概率密度函数图
不对任何位置取补，对最不可靠位取补，对最不可靠的三位取补，…，对最不可靠的
位取补。若
为奇，修正z的方法为：不对任何符号取补，对最不可靠的两位取补，对最不可靠的四位取补…，对最不可靠的
位取补。
使用只纠错的代数译码器将每一个修正的z译成候选码字v。
计算每一个候选码字的软判决译码量度，选择最可能的候选码字作为译码的结果。
Chase-2算法是对上面的改进，它产生更大的候选码字列表，在这个算法里，z的
个最不可靠位置所有可能错误的集合E用来修正z。
Chase-1算法是通过取补硬判决接收序列z中
位所有可能组合而产生的候选码字列表。
复杂度分析：Chase-3算法相对于普通硬解调的复杂度为
倍，而Chase-2和Chase-1则为
倍，由于在电力线载波通信中都采用冗余比较大的编码，所以这里的
会比较大，以BCH(127, 8)为例，
，Chase-2的复杂度是硬解调的32倍，而Chase-2和Chase-1的复杂度约为40亿倍，这已经无法接受，所以只考虑Chase-3算法的实现。
这里的复杂度，在冗余度不高时，也就是
比较小的时候，Chase-2，Chase-3的复杂度相对于硬解调不算很高。比如采用BCH (15, 7)，
，Chase-2的复杂度也就是硬解调的4倍，而Chase-3的复杂度也就是3倍，对于实际应用来说都是可以接受的。
3. 基于幅度的软解调算法的可行性
3.1. 软解调原理
以BPSK为例，以高斯信道为例，其噪声幅度符合高斯分布，如果发送信号序列为c，匹配滤波后接收序列r被译作码字
，则根据高斯概率密度函数[9] 即可得：
(16)
可知使接收序列r和发送序列c误码最小化与使
最大是等价的。并且，已知
可以求得
和
，根据对数似然比(Log-Likelihood Ratio, LLR)
可以求得使
最大的发送码字，这就是MLD(软判决最大似然译码)原理。
在BPSK中，因为
，即与硬判决关联的对数似然比的绝对值正比，所以
越大，硬判决的可靠性越高，故在BPSK软解调中，以幅度的绝对值作为其软判决可靠性度量。
推广到EBPSK中，同理可以计算其
，得出其对数似然比与接收所得幅度z有何种函数关系以给出EBPSK的软判决可靠性度量表达式。
(17)
此函数形式较为复杂，实际运算复杂度较大，故考虑使用数值解法，画出其图形，再进行近似，以降低复杂度便于实际应用。由于此式相关参数如信噪比等是随实际应用情况变化的，这里取
仅具参考意义。将此式在MATLAB中仿真得图3。
如图可见，将所得图形向左移动L个单位，则LLR与
近似成正比关系。这里的L选取与实际应用有关，一般情况下为硬判决的门限Vd。
故参照BPSK在高斯白噪声下的可靠性度量的形式，将
作为基于冲击滤波器的EBPSK软解调的可靠性度量合情合理。可以看出这里得出的软判决公式与BPSK很相似，其实将EBPSK的概率密度函数图(图2)向左移动10个单位，与典型的BPSK的概率密度函数也很相似，这也就解释了为什么这里所得可靠性度量公式与BPSK的十分相似，而下一节将仿真证明此法的可行性以及效果。
Figure 3. Relation between LLR and magnitude
图3. LLR与幅度的关系图
3.2. 幅度作为软判决度量的可行性分析
基于上一节的分析，得出软判决中的可靠性度量公式如下：
(18)
其中Reliability为可靠度，Envelope为EBPSK信号经过冲击滤波器后取绝对值之后的包络峰值，Vd为硬判决的门限。
基于如上公式，可将接收序列中的符号根据其可靠性大小重新排序。重新排序后，如果此可靠性公式有效，则在可靠性高的位置上判错的概率比可靠性低的位置上判错的概率低。
仿真以127个码元为一个测试单元，然后把这127个位置按照可靠性排序，再统计每个位置上的错误数。这里取127个位置，采用256级量化，SNR = −8 dB，共152,400个点。
由图4可见，随着可靠度的递增，错误数呈指数形式递减，因此
确实能根据幅度反映出判决的可靠性大小。
4. 仿真结果与结论
上一节已经验证了
的可行性，下面就其进行进一步的系统仿真以验证其性能。
这里选取的具体参数为：EBPSK采用K = 2，N = 10，信道编码为BCH(127, 8)，AD为8位量化，采用Chase-3算法。
仿真的具体实现流程为：
1) 硬判决得到序列z，并计算每一位的可信度。
2) 按照Chase-3里的方法修正z，得到试探序列集合T。
3) 对修正后的序列进行BCH解码，并计算其软判决度量C的大小。
4) C中最小的值对应的序列即为解调结果。
5) 计算误码率。
仿真所得误码率曲线如图5。
Figure 4. Relation between errors and reliability
图4. 错误数和可信度的关系
Figure 5. BER of EPBSK soft demodulation and hard demodulation
图5. EBPSK软解调与硬解调的误码率曲线
由图5可见此软解调方案和传统硬解调相比，软解调的误码性能提升了0.5 dB左右，证明了将
作为软解调的可靠性度量是有效的、可行的，也表明了本文提出的方法在EPBSK通信系统解调算法中的优越性。
5. 结束语
本文提出了一种软解调算法用于提高EPBSK系统解调性能。误码率对比仿真结果表明，相较于传统的硬判决方法，本文提出的方法在误码率性能上有了一定提高。但这里提升的性能虽然没有达到理想的2~3 dB，以后还有两点可以改进：一是可靠性度量的公式的选取，本文采用的公式是粗略近似的，从而造成性能上的损失。二是软解调算法的选取，Chase-3算法是一种追求计算简单的算法，是以性能为代价的。