本文把K. Alladi关于素因数之间的一个对偶公式推广到取值在有单位元的交换环的数论函数上，并且得到了若干其他类型的对偶公式。
In this paper we generalize K. Alladi’s duality formula between prime factors to number theoretic functions valued in any commutative ring with identity, and deduce several other kind of duality formulae.
1. 引言
著名的Mӧbius反转公式在数论及自然科学的研究中具有非常重要的作用。刘华宁、郗平、易媛和杨继明分别在文[1] -[3] 中推广了Mӧbius反转公式。
定义 设整数，的最大公素因数用表示，的最小素因数用表示。规定。
Krishnaswami Alladi在文 [4] 中证明了如下的命题1。
命题1 设是定义在正整数集上的数论函数，，则
(1)
(2)
这里表示对的所有正因数求和，为Möbius函数，即
其中表示的不同素因数的个数。
我们把公式(1)和(2)称为Alladi对偶公式。高静和刘华宁在文 [5] 中对这一对偶公式进行了推广，得到了如下的命题2。
命题2设为实数，整数的标准分解式为，为正整数集上的数论函数，，则
(3)
(4)
其中表示对恰好整除的所有素因子的方幂指数求积，
为Liouville函数，表示广义二项式系数，规定。
以上两个命题考虑的数论函数都是取值在复数域中的。本文根据文 [3] 的结果与方法，并受文 [5] 启发，考虑取值在有单位元的交换环中的数论函数，得到了对偶公式(1)，(2)的推广，还得到了若干其他类型的对偶公式。
此外，我们发现对偶公式(3)，(4)是不正确的，并且把它改正过来。
如无特别说明，在本文中，表示一个有单位元的交换环。
2. Alladi对偶公式在有单位元的交换环上的推广
设是一个有单位元的交换环，其单位元和零元分别用1和0表示。在本文中，为方便起见，我们规定环的零元的零次幂为单位元，即。
我们把定义在正整数集合上而在环中取值的数论函数的全体所成的集合用表示。易得如下引理。
引理 设，且
而是中任意两个函数，则
定义2 [3] 设是一个定义在正整数集上而取值在环中的数论函数，若且，则叫做积性函数。
定理1 设是定义在正整数集上取值再环中的数论函数，，为两个积性函数，
则
(5)
(6)
(7)
(8)
证明 首先证明(5)式成立。
当时，(5)式显然成立。下面设，且的标准分解式为
其中为互不相同的素数，且。设，，则
于是，当时，(5)式仍然成立。
同理，(7)式成立。由(7)式及引理，易得(6)式成立。由(5)式及引理，易得(8)式成立。
定理2 设是定义在正整数集上取值在环中的数论函数，，，是一个正整数，
证明 由文 [3] 定理5得，是满足定理1条件的两个积性函数，故由定理1可得定理2的结论。
在定理2中，取可得如下推论1。
推论1 设是定义在正整数集上取值在环中的数论函数，，则
(9)
(10)
(11)
(12)
其中为Möbius函数。
当以上推论1中的为复数域时，公式(9)，(10)即为Alladi对偶公式(1)，(2)；而公式(11)，(12)为新增的一对对偶公式。
在定理2中，取可得如下推论2。
推论2 设是定义在正整数集上取值在环中的数论函数，，则
其中为Liouville函数，
定理3 设是定义在正整数集上取值在环中的数论函数，，
其中表示的不同素因数的个数，则
证明 由文 [3] 定理2的推论得，是满足定理1条件的两个积性函数，故由定理1可得定理3的结论。
定理4 设是定义在正整数集上取值在环中的数论函数，，而是环中的一个无穷序列，
证明 由文 [3] 定理3得，是满足定理1条件的两个积性函数，故由定理1可得定理4的结论。
在定理4中，取，可得如下推论。
推论 设是一个正整数，是定义在正整数集取值在环中的数论函数，，
其中，表示的不同素因子的个数，则
3. 其他讨论
在本节中，我们指出文 [5] 定理(即命题2)所存在的错误，并把它改正过来。
在命题2中，取，，则当时，(3)，(4)两是的左边都为
但是(3)，(4)两式的右边都为，故(3)，(4)两式都是错误的。由本文定理1及文[1] 引理2，易得如下命题3。
命题3 设为一个实数，是定义在正整数集上取值在复数域中的数论函数，，
其中为Liouville函数，则
(13)
(14)
(15)
(16)
由命题3可知，应该把(3)，(4)两式分别改正为(13)，(14)两式。相应于命题2，我们这里还多得到了一对对偶公式(15)和(16)。
参考文献