1. 引言
多线性积分算子最初是由Calderón [1] 研究奇异积分算子代数引入的，随后Meyer Y [2] 对这类算子作了进一步推广，与奇异积分算子相关的多线性积分算子的研究逐渐得到了重视。1931年，Orlicz在文章 [3] 中首次提出变指数函数空间的概念。1955年，Calderón和Zygmund [4] 证明了的有界性，经过数十年的发展，直到1971年，Muckenhoupt和Wheeden [5] 证明了算子在的有界性。现在，在许多学者的研究努力下，已经出现了许多关于变指数Lebesgue空间中的一些算子理论和成果(参见 [6] - [8] 及其相关文献)。
设，是上具有Lebesgue测度的单位球面，是定义在上的零次齐次函数，如果满足
1) 对任意的和，有；
2)。
带有变量核的积分算子定义为
，
。
对应的分数次极大算子定义为
当时，具有可变核积分算子与一类具有变系数的二阶线性椭圆方程有着密切的联系。
早在2001年，丁勇，陆善镇 [9] 就已经给出了，当时，
其中，，表示在关于展开的阶Taylor级数余项，即
和与之对应的分数次极大算子
的加权的有界性。
2002年，谵稳固 [10] 讨论了当，时，即在不是分数次算子的情形，通过不等式得到的有界性。随后2007年，兰家诚、梅春亮 [11] 利用多线性分数次积分转化为相应的分数次积分的方法，得到具有可变核的带两个余项的算子与在Lebesgue空间有界。最近，吴慧伶和兰家诚 [12] 又论证了多线性积分算子与在变指数Lebesgue空间的有界性。
2013年，张普能和李亮 [13] 寻找具有光滑条件的核函数使得多线性算子保持有界性，他们运用Sharp极大函数点态估计以及变指数Herz型Hardy空间的中心原子分解定理证明了一类满足Hormander条件的多线性分数次积分算子从乘积Herz型Hardy空间到Herz空间是有界的。由此可见，近些年来关于多线性奇异积分算子的研究仍然是个重要课题，与多线性相关的一些算子，交换子以及加权估计等等在变指数函数空间的研究也仍然有许多工作要做。
本文则是在许多学者已得出的理论基础上，进一步研究具有可变核的带两个余项的多线性积分算子的在变指数Lebesgue空间的有界性。
2. 预备知识
定义1 给定开集及可测函数，表示上所有可测函数的集合，且满足对某个，使得
赋予如下Luxemburg-Nakano范数
则是Banach空间，称之为变指数Lebesgue空间。
对所有的紧子集，定义空间为。定义为的集合，使得
变量是的共轭，其中成立。
Hardy-Littlewood极大算子的有界性在变指数函数空间的研究中发挥着极大的作用，令，则Hardy-Littlewood极大算子定义为
其中上确界是对所有包含的球而取的。令为并使得Hardy-Littlewood极大算子满足有界的指数函数的集合。
定义2 若满足
则，即Hardy-Littlewood极大算子是有界的。
定义3 设，，是定义在上的零次齐次函数，是上的单位圆，带有可变核的多线性分数次积分算子定义为
其中表示在关于展开的阶Taylor级数余项，即
与之对应的多线性分数次极大算子定义为
定义4 [14] 对于，齐次Lipschitz空间是满足下式所有的空间，
其中
，。
3. 主要结果
3.1. 主要结果
定理1 设，，且，，，同时定义满足，而且存在，使得，，则存在不依赖的常数，使得
定理2 设，，且，，，同时变量满足，而且存在，使得，，则存在不依赖的常数，使得
本文中常数在不同地方代表不同的值。
3.2. 辅助性引理
引理1 [11] 设，，且，如果，，则存在不依赖的常数，使得
引理2 [11] 设，，其中
则有，。
引理3 [15] 设，函数如之前的定义使空间具有范数
其中。
引理4 对任意的，而且，那么存在常数，，使得下式成立
类似于文献 [16] 中的证明，将其中的用替换，同样可以对该引理做以下证明。
证明：设，，使得
首先由定义可以得到
先对进行估计
同样地，再对进行估计
结合，便可得到
证明完毕。
引理5 设，其中，同时定义满足，属于，则对上所有的函数，有
引理6 设，，同时定义满足，属于，则对上所有的函数，有
以上两个引理的证明与吴慧伶和兰家诚在文献 [17] 中定理1和定理2的证明非常相似，这里就不再证明了。同时注意到，引理6对同样也成立，见文献 [18] 。
引理7 [15] 令，则有，那么当且仅当成立。特别地，如果任意的常数或等于1，则另一个也等于1。
这里注意，。
4. 定理的证明
4.1. 定理1的证明
证明：由引理1可知
又由引理3和变指数Lebesgue空间中的范数定义可知
现在只需要证明即可。首先定理的已知条件已经给出，不是一般性，我们假设。因为，由引理7不难得到。
固定，，使得
， (1)
同时定义使其满足
， (2)
由式子(1)和(2)，可知。而且对于上所有的，有
，(3)
， (4)
结合引理4，
由引理3，进一步得到
不失一般性，假设以上任意一个值都大于1。同时根据范数定义，假设其最小值取决于且。
因为，，则，所以有
由式子(3)可知，和满足引理5中的条件，注意到前文我们已经假设，因此
；
运用同样的方法，对后一部分进行范数分析，也可以得到
结合这两部分，那么
所以
因此，综合引理1和引理6有
定理1证明完成。
4.2. 定理2的证明
定理2的证明可以由引理1和引理2直接推得
定理2证明完成。
致谢
本文是在根据许多学者已得到的成果的基础上进一步探讨的，由浙江省自然科学基金项目(Y6090681)和浙江省教育厅重点科研项目(Z200805283)支持下完成的，借此向老师致以深深的敬意和由衷的感谢！同时也感谢《理论数学》的各位老师提出宝贵的建议。
参考文献