1. 引言
本文主要研究以下三阶三点奇异边值问题
(1)
其中，更一般地，允许在和(或)或处奇异。
三阶常微分方程起源于应用数学和物理的各种领域，例如，带有固定或变化横截面的屈曲梁的挠度、三层梁、电磁波、地球引力吹积的涨潮等[1] 。最近常微分方程三点边值问题受到了人民的广泛关注，详见文献 [2] - [7] ，特别地，Alex P等在文 [8] 首次讨论了问题(1)的正解，通过对相应Green函数的深入讨论，得到了问题(1)至少有一个正解的存在性结果，重要的是该结果表明尽管Green函数并不完全是正的，问题的解却是严格正的。文 [9] 中，本人讨论了问题(1)两个正解的存在性结果。
受此启发，本文在更弱的条件下，继续讨论问题(1)的正解，利用Guo-Krasnoselskii不动点定理，笔者的工作表明，只要非线性项在某些有界集的连续部分高度适当的情况下，问题(1)必定存在一个、两个、n个正解。
2. 预备与引理
本文我们作如下假设：
(H1)连续且满足，其中满足。
(H2)连续。
(H3) 存在两个连续函数，使得，。
(H4)是一个非降函数，对于任意的。
(H5) 对于任意的，，其中。
本文的工作空间为Banach空间，其中的范数为。
令。
易知为中的锥。
引理1 [8] 边值问题的Green函数为
当时，
经过简单计算，我们有
时，，
进一步
当时，，
(2)
(3)
因此
。
引理2 [8] 设是(0,1)上的连续可积函数，满足，则边值问题
(Ey)
有唯一非负解。且在上是凸的，在上是凹的。
引理3 [8] 设y如同引理2所述，则边值问题(Ey)的唯一非负解并且满足，其中(很显然)。
定义锥。以及算子。
记，。
引理4 设，则全连续。
证明 取，则有。
由(H4)，。依(H5)，。
令，则有。
令，则连续。
定义算子如下：
模仿文[3] 中引理3的证明，结合的连续性及Arzela-Ascoli定理，容易验证全连续。
上式表明全连续算子在集合上一致收敛于，因此是全连续算子，进一步全连续。
引理5 [10] 设是Banach空间，是E中的一个锥，是E中的有界开集，，设全连续，如果满足条件：
1)；或
2)
那么，在中必有不动点。
3. 主要结果
引入以下两个“高度”函数：
；。
另记；
，。
定理1 假设存在两个正数，使得以下条件成立其一：
(A1)；
(A2)；
则边值问题(1)至少有一个正解且。
证明 不失一般性，我们只证明满足(A1)的情形。
如果，则且，由(H4)和(A1)，
，，进而根据引理
故
。 (4)
若，则且，因此。
故。
即
(5)
依引理4及引理5知，算子有一个不动点。意即，。故有。依引理1，，，故有，因此是问题(1)的一个解，且，另由，知是正的。
注记 定理1表明，问题(1)的正解存在性只与非线性项在集合边界的特性有关，与在集合内部的状态无关。
定理2 假设存在三个正数使得以下条件成立其一：
(B1)；
(B2)
则边值问题(1)至少有两个正解且。
证明 我们只证条件(B2)的情形。
由条件，利用定理1的证明易知，问题(1)至少有一个正解，
。同样的，利用条件及定理1知，问题(1)还有另一个正解
定理3 假设存在四个正数使得以下条件成立其一：
(C1)；
(C2)
则边值问题(1)至少有三个正解且。
定理4 假设存在n+1个正数使得以下条件成立其一：
(D1)
(D2)
则边值问题(1)至少有n个正解，且。(其中表示的整数部分)。
推论1 假设(尤其)，存在一个正数使得，则边值问题(1)至少有一个正解满足。
证明 由于，故存在使得，。
亦即。故依定理1知问题(1)至少有一个正解满足。
推论2 假设，存在n个正数，使得且，则边值问题(1)有n个正解，满足。
推论3 假设，且，则边值问题(1)至少有一个正解。
证明 取，则存在使得
选取使得且，由此知，
依(H4)及(H5)，。
故推论1的条件满足，即问题(1)至少有一个正解。
基金项目
国家自然科学基金(11261053)；甘肃省自然科学基金(1308RJZA125)。
参考文献