1. 引言
珊瑚礁具有重要的美学价值和商业价值[1] -[3] 。它不仅为海洋增添了多样性，更在海岸暴风抵御和保护渔业方面有重大作用。数百万人依靠珊瑚礁从旅游业和渔业中获取经济收益。但是世界范围内珊瑚礁正在受着各种各样的破坏，严重影响了生活在热带近海地区数百万人的生活，而且也威胁着海洋的生态多样性。通过阅读大量的国内外文献资料不难发现，珊瑚礁遭受破坏的原因非常复杂 [4] [5] ，但主要有两种：一是自然灾害如飓风、海啸、全球变暖等，二是人类对环境的破坏行为，如过度捕捞、石油开发、排放污染物等等。因此很多学者都关注起了珊瑚礁的恢复问题。珊瑚礁模型的建立对于研究珊瑚礁的动态行为有极大的意义。本文将讨论珊瑚模型内部平衡点的Hopf分支的动力学性质，这对于整个珊瑚礁的动态过程有很高的应用价值。
2. 有关珊瑚礁模型的国内外研究现状
学者们研究发现珊瑚覆盖率的下降，主要体现在海藻的过度繁殖 [1] 。学者们通过监测数据 [5] [6] 证明了生长在珊瑚礁上的珊瑚与海藻之间的相互作用与相互竞争的过程与机制以及它们之间的共生关系。Mumby等人在文献 [1] 中以珊瑚、海藻和藻坪为研究对象，全面分析了三者的相互作用关系，建立了三维常微分方程模型
(2.1)
其中分别代表珊瑚、藻坪和海藻的覆盖率；是在藻坪上，珊瑚恢复生长的速率；是珊瑚的自然死亡率；是在有海藻的情况下，珊瑚增长的速率；是海藻在藻坪上增长的速率；是捕食者(主要是指鹦嘴鱼和刺尾鱼等鱼类)对海藻的捕获率。在这个模型中，假设这个区域完全由珊瑚、藻
坪和海藻覆盖，则有，则可由表示，为了不失一般性，我们令，
所以三维常微分方程可降为下面的二维系统
(2.2)
根据珊瑚礁模型的生态意义，定义。在文献 [1] 中，李熊等人得出了这个模型有三个边界平衡点，分别是，，。这三个平衡点分别表示珊瑚和海藻全部都灭绝的状态，只有珊瑚存在的状态和只有海藻存在的状态。这三个边界平衡点没有实际意义。所以我们只需讨论这个系统的内部平衡点。在文献[1] 中，令和。当，方程在中存在唯一的内部平衡点，且。其中
李熊等人对这个模型的四个平衡点的稳定性进行了分析。但是在实际动力学系统中总是不可避免的出现时间滞后现象 [7] - [9] ，即事物的发展趋势不仅取决于当前的状态而且还取决于过去某一时刻或某个时间段内的状态。在珊瑚礁模型中，海藻被捕时后，需要很长时间藻坪才能恢复。为了反映这个事实，在文献 [1] 中，李熊等人引入时滞，把时滞作为参数，将上述方程转化为时滞微分方程
(2.3)
李熊等人在文献 [1] 中证讨论了在时，内部平衡点的稳定性情况并且证明存在两个序列，当时滞或时，会产生Hopf分支，并会出现非奇异的周期解。
3. Hopf分支的分支方向及周期解的稳定性
在这一部分，从，中任取一个序列，不妨设当，我们用正规型方法和中心流形理论讨论内部平衡点的Hopf分支的分支方向及其周期解的稳定性。
令，，并把(2.3)式在(0,0)处线性化，则系统(2.3)可转化为
(3.1)
其中，
为了计算方便，不妨设，，则(3.1)式可转化为
(3.2)
然后令，，。则(3.2)式转化为
(3.3)
方程(3.2)在上可以写成下面的泛函微分方程
(3.4)
其中，，并且
，定义如下
(3.5)
和
(3.6)
其中，由Riesz表示定理，存在关于的有界变差函数，使得
(3.7)
根据文献 [10] [11] ，这里，可以选取
(3.8)
其中为Delta函数，对于，定义
(3.9)
(3.10)
这个方程(3.4)等价于下面的抽象微分方程
(3.11)
其中。
对于，定义
(3.12)
这里，对于和，利用双线性形式
(3.13)
其中和是伴随算子，是的特征值。显然是对于的特征向量，是对于的向量，且有，。通过(3.7)和(3.8)，则有下面的计算
我们可以得到。另一方面
我们可以得到。为了确保，我们需要确定M的值，根据(3.13)，则
我们取。
为了实现谱分解，对于方程(3.11)在时的解，定义
(3.14)
并记
在中心流形上，有
(3.15)
对于方程(3.11)在中心流形上的流由下列方程所确定
(3.16)
令
(3.17)
由和，我们可以得到
根据(3.6)中的定义，和(3.17)对比系数，我们可以得到
在上述表达式中，我们并不知道和的值，所以我们还要进一步计算出来。
(3.18)
其中
。 (3.19)
另一方面，在中心流形上，在原点附近，有
(3.20)
把(3.15)代入(3.20)和(3.18)对比系数，我们可以得到
(3.21)
(3.22)
当时
(3.23)
将(3.19)和(3.23)对比系数，则可得到
(3.24)
(3.25)
根据(3.21)和(3.24)以及的定义，我们得到
所以可以得到
(3.26)
其中是一个连续的变量。
根据(3.22)和(3.25)以及的定义，我们也可得到
所以有
(3.27)
由于和在上连续，可以得到
，
我们要求出和的值。根据(3.9)中的定义，我们可以得到
(3.28)
(3.29)
其中。所以，根据(3.18)和(3.19)，得到
(3.30)
(3.31)
将(3.26)和(3.30)带入(3.28)中，我们可得到下面式子
我们可以得到
也就是
解上述方程，可得到
其中。同理，将(3.27)和(3.31)带入(3.29)中，我们可得到下面式子
即
因此，
其中。因此，我们可以决定。所以，我们可以计算出下列值
(3.32)
其中，，决定了Hopf分支的属性，其中决定了分支方向，决定了分支的稳定性，决定了周期的增加或减少。
4. 数值计算
在这一节，我们计算在第一个临界值处Hopf分支的性质。在方程(2.3)中，取，，，，。此时唯一的内部平衡点。由(3.32)直接可以计算出
，，，
且
所以在系统(2.3)在处的分支方向是向前的，分支周期解是轨道渐近稳定的，并且分支周期是增加的。
5. 结论
本文主要讨论了珊瑚礁模型内部平衡点的Hopf分支的分支方向以及周期解稳定性性质，并通过数值计算探讨分岔分析，得到了Hopf分支的一些基本性质，更好了解珊瑚礁模型的动力学性质，希望为珊瑚礁的保护提供指导性意见。
参考文献