1. 引言
令是特征零的交换域，通常取实数域或复数域，表示数域上关于个变元的形式幂级数环。我们考虑如下自治动力系统
， (1.1)
其中是形式幂级数向量，并且假设各分量是两两互素且不含常数项，因此原点是该动力系统的一个孤立奇点。令，其中由次齐次多项式向量场，其线性部分是，，其中表示域上的矩阵构成的向量空间。
在非线性系统(1.1)的孤立奇点的局部分析中，正规形理论是一个重要的分析工具，其基本思想是寻找合适的变量变换，在保持变换前后两个系统的局部定性性质不变的同时，使得变换后的系统在形式上尽可能的简单，以便最大程度地简化非线性系统在奇点邻域中的局部动力学分析。这种方法在分支理论、中心-焦点问题、系统的可积性问题、泛函微分方程等方面有很广泛的应用[1] -[4] 。
在正规形理论中，首要的问题是对于给定的一个非线性动力系统(1.1)，我们如何计算它的正规形以及相应的变量变换。到目前为止，已发展了许多计算正规形的有效方法，例如李括号方法 [5] [6] 、内积法 [7] 、无穷小生成子法 [8] 、直接计算法 [9] [10] 、Carleman线性化方法 [11] [12] 以及sl2(R)群表示理论法 [13] [14] 等。这些方法主要计算了具非零系数矩阵的动力系统正规形，但除Carleman线性化方法以外的其他方法，并不能同时给出所作的变量变换，而理论与实际问题需要探讨当动力系统的系数矩阵为零(即所谓退化动力系统)时正规形的计算。直到最近几年才涉及退化动力系统正规形计算方面的工作：文献 [15] 利用李括号方法结合(1.1)的主系统(即(1.1)的最低次齐次项定义的系统)的守恒–耗散分解研究了一类所谓广义幂零系统
的齐次分解正规形的计算及其解析可积性问题；文献 [16] 利用李括号方法结合(1.1)的拟主系统(即(1.1)的最低次拟齐次项定义的系统)的守恒–耗散分解研究了一类平面退化系统
的拟齐次分解正规形的计算及其解析可积性问题。
本文主要是利用Carleman线性化方法研究一类我们称之为广义鞍结系统
的正规形的计算，其中。Carleman线性化方法的主要思想是把一个非线性系统用线性形式表示出来，从而通过纯矩阵的运算就可以把系统化为正规形，同时给出所作的变量变换。而用李括号方法是难以做到这一点的[15] [16] 。另外我们将看到，由于系统是退化的，与文献[11] [12] 中研究具非零系数矩阵的动力系统时仅需考虑所作的近恒等变量变换对相同次数项的影响不同，我们还需考虑所作的近恒等变量变换对更高次项的影响。
2. Carleman线性化方法
为了内容完整，在这一节，我们介绍文献 [12] 中关于Carleman线性化方法。由于对一般的正整数并不会复杂些，因此我们将对正整数来叙述。对整数，用表示个变量的次齐次多项式空间。在中选择一组标准基，其中，是重指标，且。我们采取由序诱导的字典序对单项式集合中元素进行排序，并把中的标准基记为
，
容易验证其维数为。记
则中任何元素可写成
。
于是中的任何元素可以写成，其中。于是中的元素可以写成
其中。为了把一个形式向量场通过矩阵的运算表示出来，从而可以用线性的方法去研究非线性动力系统，我们引进作用在上的与系统(1.1)相关联的导算子如下：对任意的，令，其中表示的梯度。特别地，，其中是的第个分量。因此系统(1)可以表示成
， (2.1)
其中，是系统的次齐次部分且是系统的线性部分的系数矩阵。
现在我们把推广到作用在空间中的基的元素上 [12] 。例如，在中元素上的作用定义为
其中和由(2)式给出。类似地，
和，
于是当时，对，有
其中
一般地，对，，其中，
令
作为正规形理论一般框架中线性空间[8] ，则是的一组基。于是可以定义
它是从到的线性映射，并且在的基上可以表示为
， (2.2)
是一个无穷维上三角分块矩阵，而是一个矩阵。显然是由矩阵所唯一决定的。因此为了记号方便，我们可以把表示为，而用或表示的左上角分块矩阵，即
， (2.3)
并称之为的阶截断分块矩阵。在正规性理论的一般框架中，除了刚才引进的线性空间外，还需要引进另外一个对象——变换群 [8] 。令是上与恒等变换相切的一个形式自同构群，并且称中的元素为近恒等变量变换。令，我们现在把也用矩阵形式表示出来。令
其中(；)表示既不含常数项又不含一次项的形式幂级数，即
其中。我们也可以把看成是在中前个基元素上的矩阵表示。为了给出在中其它基元素上的表示，我们现在推广上面关于的矩阵表示如下：例如当时，定义
其中。一般地，对，令
其中。对一般的，可类似地定义，因此近恒等变量变换可以用矩阵形式表示如下：
其中，是的单位矩阵，是矩阵。这样，近恒等变量变换(作为上的映射一般是非线性的)可以作为上的一个线性映射，并且可以表示为如下的无穷维上三角分块矩阵：
。 (2.4)
现在我们可以对动力系统(1.1)通过做变量变换。记，则可以证明
是中的一组基且。我们得到
因此在中另外一组基下的矩阵为
引理1.1 [12] 令，则并且，而且
，且。
我们注意到矩阵(2.4)中各分块矩阵由第一行中的各分块矩阵所唯一确定，因此，我们可以使用记号来表示矩阵，而用或表示的左上角分块矩阵，即
， (2.5)
并称之为的阶截断分块矩阵。
正规形理论的目标是解决下列问题：设是上的与系统(1.1)相关联的导算子，我们设法找到一个近恒等的变量变换，使得变换后的无穷维矩阵第一行中的各分块矩阵尽可能的简单，也就是说，在这些分块矩阵中包含尽可能多的零。
3. 一类退化系统的正规形计算
这一节我们利用上节中介绍的Carleman线性化方法计算下面的所谓广义鞍结系统
(3.1)
的正规形，其中，。这里，于是非线性系统(3.1)在中标准基下的矩阵为
其中。于是我们可以把系统(3.1)写成
。 (3.2)
若记为的系数，，为其在矩阵第行的分量，则可得
，。
在正规形的经典理论中，对于一个线性部分的系数矩阵为非零矩阵的动力系统，求其正规形的通常做法是：假设已经求得阶数小于等于的正规形，然后去求阶的正规形 [8] [12] ，并且通常难以求得所作的变量变换。然而对退化系统(3.1)，为求其正规形，我们的做法是假设已经求得阶数小于等于的正规形，然后去求阶正规形。为此设有一个待求的近恒等变量变换
其中是次齐次多项式的向量，即
于是
其中。同理
一般地，
所以
在经典的正规形理论中我们只关心是否能通过近恒等变量变换使尽可能简单(即包含尽可能多的零！)；类似地，在计算退化系统(3.1)的正规形时，我们也只需求合适的近恒等变量变换使尽可能简单(即包含尽可能多的零)。为此，我们先考虑当时的情形(即求系统(3.1)的3阶正规形)。取阶截断式，即
，，
其中，是待求的矩阵。经计算可得
于是为了简化(即中包含尽可能多的零！)，设待定的矩阵为
因为
即
又因为
我们注意到矩阵的特点，可以看出对于来说只需求出第一行和最后一行即可。类似地，在之后的中我们也只需要求出的第一行和最后一行。所以
则
所以可化为至多有4项不为0，这表明系统(3.1)的3阶正规形中的非零参数最多有4个。
我们继续考虑当时的情形(即求系统(3.1)的4阶正规形)。取阶截断式，即
经计算得
现设待定的矩阵为
则可得到
所以可化为至多含有2项不为0，这表明系统(3.1)的4阶正规形中的非零参数最多有2个。
类似地，考虑当时的情形(即求系统(3.1)的阶正规形)。取次截断式
；
令则由以上递推关系和给定的我们可以依次得出直到的值，再令则可给出的第一行，同理我们令，则由以上递推关系和给定的我们可以依次得出直到的值，再令，则可给出的第二行。从而我们可以得到
其中“*”表示仅有可能的非零元素，所以可化为至多有2项不为0，这表明当时，系统(3.1)的阶正规形中的非零参数最多有2个。
综上，我们得到系统(3.1)的正规形定理如下：
定理 考虑形式为(3.1)的广义鞍结动力系统，它的矩阵表示为(3.1)。对任意的正整数，我们可以约化系统到一个正规形，其中是变换后系统次齐次多项式的系数矩阵。当时，中最多含4个非零元素，当时，中最多含2个非零元素。
致谢
本文得到浙江省自然科学基金(LY15A010021)资助。
参考文献