1. 引言与预备知识
完全π-正则半群S是其所含任意元x的某个幂 (n为正整数)属于其最大子群的半群。包含元x的最大子群的单位元记作。易知且是中的群元，其在中的群逆元记，映射称作是S上的伪逆运算。Shevrin的文献 [1] [2] 致力于完全π-正则半群的结构性理论研究(也见 [3] )。特别地，完全π-正则半群可以看作是伪逆运算为一元运算的一元半群。把完全π-正则半群看作是一元半群的思想最早在文献 [1] 提出，该方法表现在以下三个方面：提出问题，所讨论问题的结果陈述以及适当采取应用技巧。之后这种思想在后来的相关文献得到了新的发展，如文献 [4] - [8] 就采取这些方法研究该类半群。
半群分块的术语最早是定义在有限0-单半群上，见Graham [9] 。而研究较早而且研究充分的是关于有限半群的分块为群的结果，具体内容参见文献 [10] [11] 或参考书目 [12] [13] 的相关章节。需要指出的是，上述文献用不同的方式定义了有限半群的分块。本文第2节，我们将把文献 [11] [14] 中的两个不同的有限半群上的分块定义推广到完全π-正则半群(甚至一般半群上)，证明了在完全π-正则半群情形下两个定义的等价性。最后在第3节，我们特别提到文献 [12] 分块的定义，指出并证明在特殊情况下，即分块为子半群的情形下，该定义和上述文献中的定义等价。
本文所用半群记号和术语详见参考文献 [15] - [19] 。下面给出本文需要的一些预备知识。
设a为半群S的一个元，元称为a在S中的逆元，若。元a在S中的逆元之集记为。半群S称为正则的，若S中的任一元都存在逆元。若，称a是S中的幂等元。若a属于S的一个子群，则称a是S中的群元。设a是S的子集，属于a的幂等元之集记为，而属于a的群元之集记为。由S的子集a生成的S的子半群记为。设a与b为半群S的两个子集，集合记为。假设a为半群S的一个理想(即)，则表示半群S的Rees商。
和表示半群S上的Green关系，包含元a的-类记作，类似可记及。如果u为半群S的子半群，则对，表示u中的Green关系，从而我们有记号
。
称半群S的-类d为正则的，若d中至少包含一个幂等元；此时d中任一元都是正则的。
下面重要的“定位”结果在后文中将会用到，来自( [19] ，命题2.3.7)。
引理1.1：令a，b是半群S的一个-类d中的元。则当且仅当包含一个幂等元。
下述引理中的(i)~(iii)显然是( [16] ，定理6.45)的推论，在( [17] ，引理2.2)中有提及。
引理1.2：令S为一完全π-正则半群。则
(i)；
(ii) 对，若，则；
(iii) 对，若，则。
令D为半群s的-类。称凭借集合，0为零元，为D的迹，其运算*如下定义：对任意，
如果s为完全π-正则半群，则由引理1.2,上的运算*可如下定义：对任意，
下面的引理来自( [17] ，引理II.2.5；命题II.4.8)。
引理1.3：令D为半群s的一个正则-类，为D的迹。
(i) T的非零-类为s的包含于D的非零-类；
(ii) T的非零-类为s的包含于D的非零-类；
(iii) T为完全0-单半群。
2. 分块的两个定义及等价性证明
2.1. 分块的两个定义
下列命题来自( [11] ，定理3.1)，在该文献中，分块是定义在有限0-单半群上，这儿同样可以证明该结论对一般的完全0-单半群也成立。
命题2.1：令为完全0-单半群，。则T的正则-类 ()，称为的分块，并具有如下性质：
(i) 对任意；
(ii) 对任意；
(iii) 对任意。
定义2.1：令D为半群s的正则-类，则由引理1.3，D的迹为完全0-单半群。从而我们定义的分块为半群s的分块。
定义2.1'：在上述定义中，如果不通过中介，我们也称半群的正则-类b为D的分块，并对s的分块b定义其商半群：
显然，如果，则b是S的分块，否则b的迹是S的分块，为完全0-单半群。本文对不加区分(实际上，除了零元，二者具有同一凭借集合)，都称为S的分块。
Moura(见文献 [14] )也给出了有限半群S的分块的定义。下面我们叙述该定义，并且去掉该文献中有限半群条件的限制，推广到一般半群上。
令S为一半群，D为s的正则-类。如下定义上的等价关系“~”：
当且仅当存在幂等元链使得，，。
包含元g的~类记作，根据该定义显然有。
定义2.2：设D为半群S的一个正则-类，由D中的一个类生成的子半群模不属于D的元构成的理想，得到的Rees商称为D的分块。而S的所有正则-类的分块称作S的分块。
2.2. 定义2.1和定义2.2的等价性的证明
注意到对任意，
，
并且，蕴含是的子群。从而若，则。这样我们可得如下结论。
引理2.1：设D为半群S的一个正则-类，。对于，如果，则。
回到完全π-正则半群的情形，下面的定理显然给出两个定义的一致性。首先注意到分块b是的一个正则-类，则由( [19] ，命题2.3.2)，。
定理2.1：设D为完全π-正则半群S的一个正则-类，并记。则对于T的正则-类b以及，有。
证明：由分块的定义，，其中。任取，因为，则形式上其中。再取 (注意到b正则，则)。记
显然，且，这是因为
于是，，即。另一方面，，即，则由引理1.2
这样。易见(既然，并且是D中的子群)，从而。现在,。这样由引理1.2，元和落入如下图所示的的“蛋壳”图。
容易看出，这样。现在对任意，即，如前所证，，其中，，。而蕴含着存在使得，并有，其中，，特别有。但是由引理1.2，，从而，这当然蕴含着，。既然,，则有。所以，从而。结果。
相反，令，其中。则易证，即。这样。
3. 分块为半群的情形
文献 [12] 也定义了有限半群的分块的定义。下面我们给出该定义，注意这儿的半群不限于有限半群。
定义3.1：设D为半群S的一个正则-类。称D的子集b为半群S的分块，若b为满足如下性质
的D的最大子集。对S的分块b定义其商半群：
由定义3.1，设D的子集b为半群S的分块，则对任意，对，若有或至少有一个成立，则由b的最大性，可得。
引理3.1：设b如定义3.1所给出的完全π-正则半群S的一个正则-类D的分块，则。
证明：对任意，由定义3.1，，从而，由引理1.2，，再由( [19] ，定理2.2.5)，为S的子群，从而。这就证明了。
注：由上述引理的证明，定义3.1中的分块都是s中的群元。
我们下面来证明定义3.1中的分块与定义2.2的关系。
命题3.2：令D为完全π-正则半群S的一个正则-类，并记。设是T的包含正则-类，b包含g且为满足性质
D的最大子集。则。
证明：设，则由引理3.1，，又由B的性质有或者。不妨假定，由引理1.2，，这样由引理1.1，存在使得，这样就得到，再由引理2.1，。这就证明了。
需要说明的是，一般情形下，定义2.2和定义3.1并不等价，考察如下半群：
由定义2.2所定义的分块从而。而由定义3.1定义的分块 (或)，此时。显然二者不等。
文献 [12] 所给分块定义主要考察分块为半群的情形，实际上，在命题3.2中分块若为半群，则本文所给的三个定义等价，这是因为注意到命题3.2的结果，只要证即可。这是比较容易证明的，因为由命题3.2，，而当为半群，则对任意，必有，由定义3.1中规定的b的最大性，可知一定有。
资助项目
该论文得到临沂大学校级大学生创新创业训练项目的支持(2015年度)。
参考文献