摘要:
研究PA随机变量序列的收敛性质，推广了与独立情形相类似的一些强大数定律，得到了新的结果。
Abstract:
In this paper, the convergence properties of PA random sequences are studied, some strong laws of large numbers in the independent case are extended, and some new results are obtained.
1. 引言与引理
定义 [1] ：随机变量
被称为是PA(Positively Associated)列，如果
,
其中f和g是任何两个定义在
上使上述协方差存在且对每个变元均非降的函数；称随机变量序列
是PA列，如果对任何自然数
，
都是PA的。
由于PA列在多元统计分析，可靠性理论及相关的各种领域中均有广泛的应用，许多学者对其极限性质进行了深入的研究。如Newman和Wright在文 [2] 中建立了PA列的不变性原理，Prakasa Rao在文 [3] 中给出了关于PA列的三级数定理。本文在文 [3] 的基础上给出了PA列的一个强大数定律，推广了与独立情形相类似的一些结果。
引理1 [1] ：设
是PA列，
是
的非降函数，
，则
仍为PA列。
引理2 [3] ：设
是PA列，对某
，记
，如果有
则
。
2. 主要结果及其证明
定理：设
为零均值的PA列，若下列二条件之一成立：
(1)
(2)
其中
，
是常数列且满足
，则
。
证明：由Kronecker引理知，只需证明
。由引理1知，
还是PA列，从而只需验证引理2中三级数收敛。
由(1)式知，对充分大的n，有
,
所以
(3)
同理由(2)式有
(4)
当
，
时，有
，从而
由(3)式可得
。
当
，
时，有
，由(4)式同样可得
。从而当(1)式或(2)式成立时，有
(5)
对
，有
对
，由
，有
所以当(1)式或(2)式成立时，均有
(6)
由Holder不等式，得
(7)
由
不等式 [4] 知
对
，有
对
，有
所以当(1)式或(2)式成立时，均有
又由(7)式知
(8)
从(6)式和(8)式可得
(9)
由(5)，(6)，(9)式及引理2知
。证毕。
推论1：设
为零均值的PA列，
是常数列且满足
，
，若
，则
。
证明：由定理可见结论是显然的。
说明：推论1给出了与独立情形相类似的强大数律，由此可见，定理是推广的PA列的极限定理，它可使相关的问题更方便简洁。
推论2：设
为零均值的PA列，
，
，
，若存在单调增函数
，使得
，则
。
证明：由
及推论1即得。
推论3：设
为零均值的PA列，
是常数列且满足
，
，
是正实数序列且
，若存在
，使得
则
。
证明：当
时，由推论1知结论成立。现设
，记
于是有
从而有
由假设可得
，
又因为
，
故由推论1知结论成立。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No.11471153)。