1. 引言
1996年，Alonso和Ortega [1] 研究了共振点处Duffing方程的无界解的存在性问题。在和满足的条件下，证明了该方程的所有解都是无界的。这里的无界性指的是满足。我们知道共振常常导致有无界解 [2] [3] 。带有阻尼的常
系数线性方程由于能量的耗散，在周期强迫力的作用下所有解是有界的 [3] 。很自然的问题是，带有阻尼项的非线性方程是否有无界解。本文的目的就是在比较容易验证的条件下证明带有阻尼的Duffing方程和的所有解都是无界的。
2. 关于差分方程的一个抽象结果
设是一个Banach空间。在中考虑差分方程：
， (1)
其中是一个算子。定义，是实数集，并且满足：
。 (2)
Alonso和Ortega [1] 证明了如下引理：
引理2.1 设存在函数满足(2)式，并且存在正常数和满足：
，当。 (3)
设并且满足，则差分方程(1)满足初始条件为的解满足：
。
推论2.2 设是有限维的且是连续的。如果存在一个连续的函数满足：
(4)
则差分方程(1)的所有解都满足。
3. 解的无界性
我们主要讨论以下两种方程：
(5)
和
(6)
的无界解的存在性问题。其中，，，。
引理3.1 存在常数，使得方程(5)、(6)的解均满足：
证明：我们只对方程(5)给出证明，对方程(6)同理可证。考虑辅助方程
， (7)
其中。令，则。于是
(8)
其对应的齐次方程组为
。 (9)
由
可得，方程(9)系数矩阵的特征根为：。
求得对应的特征向量为，对应的特征向量为。于是方程(9)的通解为：
所以，方程(9)的基解矩阵为：
容易计算
根据 [4] 中的结果可知，若方程组的一个基解矩阵为，则初值问题
与积分方程组等价。所以方程组(8)的
解可以表示为：
记
，
则。
由三角不等式可得，。其中，，而
则
1) 当时，，令，则对，有
，所以结论成立。
2) 当时，
令，，则有
3) 当但时，即。
此时，所以总会存在，使得
令，则有，，
所以结论成立。
4) 当且时，对，有，所以一定存在，使得
令，则
由得，
，。
综上所述，存在常数，使得方程(5)的解满足：
定理3.2 设有上界、非常数，且，则方程(5)的所有
解都是无界的，即满足：
。 (10)
证明：给定，用表示方程(5)的解，并设初始条件为：，。
我们用抽象的形式定义：。根据引理3.1，为了证明(10)式，我们只需要证明由差分方程，给出的序列及任意给定的初值满足即可。我们仅考虑的情形，可由代换为得到。
定义。由分部积分公式可得
所以，
因此由推论2.2得，进而可得方程(5)解的无界性，即方程(5)的解满足：。
举例1 考虑摆型方程
。 (11)
因为，，，因此。而
满足定理3.2的条件，因此方程(11)的所有解无界。另一方面，显然是方程的一个无界解。
定理3.3 设有下界、非常数，且，则方程(6)的所有解都是无界解，即满足：。
证明：由定理3.2的证明可知，
所以，由推论2.2得，进而可得方程(6)解的无界性，即方程(6)的解满足：
举例2 考虑方程
。 (12)
由于，所以。而有，所以。满足定理3.3的条件，因此方程(12)的所有解无界。另一方面，显然是方程的一个无界解。
致谢
本文作者对朴大雄教授的指导表示感谢。
基金项目
本文得到国家级大学生创新创业训练计划项目(201510423116)和山东省自然科学基金(ZR2013AM026)的资助。
参考文献