1. 引言
在化学图论中，我们用一个图来描述分子的拓扑结构，用顶点表示原子，边表示化学键，该图称为分子图。拓扑指数是从化合物的结构图衍生出来的不变量。它不但可以定量的描述分子的结构，而且可以分析相关分子的结构与性能之间的关系。相关内容可参考 [1] - [12] 。
用
表示顶点/原子
的度。分子图
的拓扑指数是分子结构数值化的一种方式。1972年Trinajstić和Gutman引入了的第一Zagreb指数和第二Zagreb指数：
，
。
1975年，美国化学家Milan Randić [2] 提出了最古老的连通性指数，定义为
1988年，Bollobas和Erdos在 [6] 中推广了Randi指数，用任意实数k代替了，从而定义了广义的Randić指数：
，
其中k是非零实数。以下若没有特别说，k均表示非零实数。
当k = 1时，广义的Randić指数就是我们通常说的第二Zagreb指数。当k = −1时，广义的Randić指数就是修改的第二Zagreb指数。
Azari和Iranmanesh [13] 引入广义Zagreb指数，定义为
，
其中
和
为任意的非负整数。
和连通指数则定义为：
推广形式的和连通指数为
。
而调和指数则定义为：
它的广义形式为：
。
Eliasi和Iranmanesh [14] 定义广义几何代数指数如下：
。
当k = 1时，即为一般GA指数如下：
。
Estrada等人 [15] 定义原子键连通指数(atom-bound connectivity index，简称ABC指数)如下：
。
两类Zagreb指数对应的多项式分别为
，
。
此外，第三类Zagreb指数和多项式定义为
，
。
Gutman [16] 给出分子图的乘法Zagreb指数定义如下
，
。
其中
为第一类乘法Zagreb指数，
为第二类乘法Zagreb指数。
Usha等人 [17] 重新定义了三类Zagreb指数如下：
，
，
。
Furtula和Gutman [18] 定义了F指数如下：
。
设
为满足
和
的边e = uv的个数，则M-多项式定义为
。
广义ABC指数
和and增强的Zagreb指数
则定义为 [19] ：
，
。
最后，减弱的倒数Randić指数定义为
。
第二减弱的倒数Randić指数定义为
。
Pent-Heptagonal纳米管
是由周期长度为5的
(五边形)和周期长度为7的
(七边形)相互交替构成的网状化合物。设
纳米管的2维拉丁网格中，第一行和列的7边形个数分别为m和n (见图2)。将
纳米管记为
。
纳米管的圆柱和2维拉丁网络可参考图1和图2。
Figure 1. Pent-Heptagonal Nanotubes cylindrical lattice
图1. Pent-Heptagonal纳米管的圆筒晶格
Figure 2. Pent-Heptagonal two-dimensional lattice of nanotubes
图2. Pent-Heptagonal纳米管的二维晶格
本文利用边集合划分方法得到Pent-Heptagonal纳米管若干基于度的拓扑指数计算公式。
2. 主要结果
将Pent-Heptagonal纳米管的顶点集和边集合作如下划分：
，
，
，
，
。
从图2来看，在Pent-Heptagonal纳米管
中分别用m和n来表示第一行和第一列的七边形数量，则有纳米管的顶点数
，并且有：
并且，我们在图2中用黄色标记
、
的边，用红色标记
、
的边，
用白色标记。因此，得到
的大小等于
，
的大小为
。换句话说，以上边的数量划分为
和
，我们有以下的表格：
于是，利用上表以及各种拓扑指数的定义，我们得到：
广义的Randić指数为：
修改的第二Zagreb指数为：
广义Zagreb指数为：
和连通指数为：
推广形式的和连通指数为：
调和指数为：
调和指数的广义形式为：
广义几何代数指数为：
。
一般GA指数为：
。
原子键连通指数为：
。
两类Zagreb多项式分别为
，
。
第三类Zagreb指数和多项式分别为：
，
。
两类乘法Zagreb指数分别为：
。
重新定义的三类Zagreb指数分别为：
，
，
。
F指数为：
。
M-多项式为
。
广义ABC指数
和and增强的Zagreb指数
分别为：
，
。
两类减弱的倒数Randić指数分别为
。
第二减弱的倒数Randić指数定义为
。
3. 总结
随着化学实验条件的改善和新化学生物技术的发现及应用，每年有大量复杂的化学分子被发现。在化学领域，化学家们会通过大量实验，来研究新物质的性质，比如：熔点、沸点、毒性、氧化性等等。因而对每年发现的大量新物质的研究需要大量仪器设备和药品试剂，造成了研究的高成本。但是，如果把化学分子的结构用图模型来表示的话，化学分子的特性就可以用一些参数来衡量，比如Zagreb指数、维纳指数、Randić指数等。本文利用边集合划分方法得到的Pent-Heptagonal纳米管若干基于度的拓扑指数计算公式，计算结果可运用到新化学分子的性质研究上，进而可以大大节约研究成本以及研究时间。