1. 引言
在下文中，我们将使用Nevanlinna理论 [1] - [3] 的标准记号。设为亚纯函数，用，和分别表示的极点计数函数，特征函数和增长级。如果满足，则称为的小函数。用表示的所有小函数之集，并记由生成的域为。
J. Rieppo在文 [4] 中考虑了差分方程
， (1)
的有限级整函数解，其中为有限级周期函数函数且用表示由添加元素后所得的域扩张。J. Rieppo证明了以下结果：
定理1 [4] 设为有限级整函数且满足方程(1)。如果方程(1)的系数均为以c为周期的有限级整函数，那么或者为以c为周期的周期函数，或者满足关于代数方程：
，(2)
其中，方程(2)的系数均属于L。
一个自然的问题是：当为有限级亚纯函数时，有何结果?考虑这个问题，我们证明了如下结果。
定理2 设为有限级亚纯函数且满足方程(1)。如果方程(1)的系数均为以c为周期的有限级整函数且，那么或者为以c为周期的周期函数，或者满足关于代数方程(2)其中，方程(2)的系数均属于L。
我们还考虑了以下形式的差分方程：
， (3)
的有限级整函数解，其中为有限级周期函数函数且并得到以下结果：
定理3 设为有限级亚纯函数且满足方程(1)。如果方程(1)的系数均为以c为周期的有限级整函数且，那么或者为以c为周期的周期函数，或者满足关于代数方程
(4)
其中，方程(4)的系数均属于L。
根据M. Ozawa在文 [5] 中的结果，对任意给定的正数总存在周期整函数满足。下面的例1和例2表明，存在函数满足定理2和定理3的条件。例3和例4则表明条件并不是必要的。这将在未来的研究中做进一步的探讨。
例1 选取周期为的整函数函数，则函数满足方程
此时，以为周期，且满足和方程
例2 选取周期为的整函数函数，则函数满足方程
，
此时，以为周期，且满足和方程。
例3 函数满足方程
此时，以为周期，且满足方程，但不满足条件。
例4 函数满足方程
此时，以为周期，且满足方程但不满足条件。
2. 引理
引理1 [6] 设为有限级亚纯函数，则对任意常数c，有
在至多除去一个有限对数测度的集合外成立。
引理2 [7] [8] 设为有限级亚纯函数，则对任意常数c，有
3. 定理2的证明
不失一般性，假设，则由引理1可知
在至多除去一个有限对数测度的集合外成立。故为有限级亚纯函数。
注意到以为周期，对两边作一次平移运算，可得
。
再结合方程(1)即得，
。 (5)
对方程(5)两边同时除以可得
进而由定理条件以及引理2可得
故存在函数，使得。这就证明了满足代数方程
其中，方程的系数均属于。
4. 定理3的证明
注意到，若，则一方面由引理2易得
另一方面，由方程(3)可得
进而有
由上式，并类似于定理2的证明，即可证明定理3。
致谢
本文得到国家自然科学基金项目(No. 11526057)和广东省自然科学基金项目(No. 2015A030313620)的资助。
参考文献