1. 引言
广义积分
与
称为Fresnel积分 [1] ，它是以法国土木工程师兼物理学家Fresnel命名。Fresnel积分是物理光学衍射中常用的典型积分。它当今国际上的重大前沿基础科研领域–惯性约束聚变 [2] 、粒子场测试及在数字全息领域，如“形貌测量、变形测量、防伪、三维图像识别、医学诊断、数字全息显微 [3] 、去除数字全息零极像 [4] ”等方面有广泛的应用。因此对Fresnel积分进行推广是很有必要的。
定义1.1 [5] 设
是定义在
上的一个函数，
是一个确定的实数。若对任给的正数
，总存在某一正数
，使得对
的任意分割
，以及在其上任意选取点集
，只要
，就有
，
则称函数
在区间
上可积(或黎曼可积)；数
称为
在
上的定可积(或黎曼积分)，记作
。
其中被积函数为
，积分变量为
，积分区间为
，定积分下限和上限分别为
。
定义1.2 [5] 设定义在无穷区间
上的函数
在任何有限区间
上都可积。如果存在极限
，
那么称此极限
为函数
在
上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记为
，
并称
收敛。
定义1.3 [6] 含参量积分
称为伽马函数(
函数)。
定义1.4 [7] 设有曲线
：
，
。
以
为起点，
为终点，
沿
有定义。沿着
从起点
到终点
的方向在
上取分点：
。
把曲线
分成若干个弧段
在
到
的每一段弧上任取一点
。作成和数
，
其中
。当分点无限增加时，这些弧段长度的最大值趋于0，如果和数
的极限存在且等于J，那么称
沿C (从a到b)可积，并称J为
沿C (从a到b)的积分，并用记号
来表示：
。
其中C称为积分路径。
定义1.5 [7] 整函数是指在整个复平面上都解析的函数。
定理1.
，
。
2. 引理
为了证明定理1，需要如下引理。
引理3.1 (约当不等式) [8] 当
时，有
。
引理3.2 [5] 若
与
都收敛，
为任何常数，则
也收敛，且
。
引理3.3 [5] 若函数f在
上可积，那么
在
上也可积，且
。
引理3.4 [7] 设
沿曲线C连续，
，
其中C由曲线
和
衔接而成。
引理3.5 [7] 设(1)
在单连通区域
内连续；(2)在区域
内
沿任一围线的积分值都为0。若
为
在单连通区域
内的任一原函数，则有
。
引理3.6 (柯西积分定理) [9] 被积函数
在单连通区域
平面上处处解析，它沿
平面上任何闭曲线的积分为0。
引理3.7 (Gamma函数的递推公式) [6] 
，
。
引理3.8 (余元公式) [10] 
。
特别的，
。
3. 定理的证明
证明 设辅助函数
，
它是一个整函数。并取如下图的辅助积分路径
。
记
，
由引理1 (柯西积分定理)，得
。 (1)
首先考虑
上的积分，记
，
因而
。
由引理3.3，得
。
令
，
则
。
由引理3.1和引理3.5，得
。
当
时，有
，
因而
。
因此当
时，有
。
令
，有
。
得
由定义1.3，得
。
令
，
则
，
有
，
当
时，(1)式变成
，
整理得
两个代数形式相同的复数，它们的实部和虚部都要对应相等，即得
，
。
注：当
时，结论变为
，
，
这就是熟知的Fresnel积分，因此本结论Fresnel积分的一种推广。
*通讯作者。