1. 引言
经典的Sturm-Liouville (S-L)问题起源于19世纪初Fourier对热传导问题的数学解决方法。20世纪80年代以来曹之江，孙炯，刘景麟，尚在久，王万义等从不同角度对S-L问题进行了大量的研究。文献 [1] [2] Dauge和Helffer考虑的是二阶S-L方程
给出了Neumann特征值作为端点函数满足方程，以及Dirichlet特征值作为端点函数满足方程。证明了最小的Neumann特征值作为端点的函数是增加的，当区间长度趋向于零时极限存在。特别的，最小的Dirichlet特征值作为端点的函数是减小的，当区间长度趋向于零时，没有给出是否有极限。文献 [3] [4] 统一给出了特征值作为端点的函数满足的方程，其中是归一化的特征函数。证明了当区间长度趋近于零时，最小的Dirichlet特征值趋于无穷大。
本文的动机来源于文献 [5] [6] 的工作，他们研究了权函数的S-L方程
基于Dirichlet边界条件
,
证明了以上S-L问题的特征值对势函数的依赖性。我们考虑的权函数的S-L问题：
其中实值函数且。
2. 主要结论
我们考虑以下权函数的S-L问题：
(1)
其中
是连续函数，是中任意固定一点。设是问题(1)在上的第m个特征值。可以看出是的函数。再设是定义在区间上S-L问题，即
(2)
的特征值。设为方程满足初始条件，的解。当时，为上述S-L问题(1)的特征函数。这里是归一化特征函数即满足。
引理2.1 若，则对每一个整数有。
证明：令。因是满足上述S-L方程的解，由文献 [7] 和文献 [8] ，可表示为：
因此可以得到
其中为实特征值，有，则
于是上式可得
其中。故
(3)
又因为
(4)
由(3)和(4)可知，
(5)
下面分和两种情形进行证明：
情形I 当时，由和(5)式知：
变形得
(6)
因为的有界性，所以存在正数，使得
(7)
结合(6)和(7)式知：
即当，。
情形II，由的有界性，所以有正数使得，则
(8)
因为的有界性，故存在正数，有
当时有
(9)
结合(8)和(9)式知：
即当时，。
综合上述两种情形有：时，。由于，所以。
可知是区间上每个点都收敛到0的连续函数，故。
引理2.2 当时，，其中为问题(1)的特征值，为问题(2)的特征值。
证明：分两种情形讨论：
情形I 当时，由比较定理得是的单调递增函数。由定义区间单调性有：，因此当时，有极限。由引理2.1可得：
因为是的连续函数，再由表达式可知：。则是区间上的特征值，且趋近于其中某一个特征值，即存在使得。
情形II 同理可得。
引理2.3 当时，；当时，。
证明：由引理2.2的结论：当时，。下面证明即可。运用数学归纳法，分两种情形证明：
情形I 设时，因为且无零点，故有。又设时有，有，因为。
由的表达式可知，所以在无零点。由定义区间的单调性和零点定理(可参考文献 [9] )知：比多一个零点。当时，在中所以零点都在中。且当和穿过轴时，因为S-L问题的特征函数无重根，故和有相反的符号。由引理2.1可知在每个零点处都与轴相交，所以和在的某些特征值两侧。
则当时，。根据单调有界原理得，。
情形II 同理可得当，。根据单调有界原理得。
下面叙述并证明本文的结果如下：
定理2.1 设为问题(1)的特征值，为问题(2)的特征值，则；特别的，存在，使得时有。
证明：考虑方程，若，那么是中的一个特征值。由文献 [7] 可知的方程为
故由的方程可知，对中的任意特征值，有
如果，由隐函数定理：存在唯一的函数使得。所以是有界的，存在正数，使得。
由引理2.3可知，。因为和有相同的极限，且是方程的解。所以当充分大时，有。
由引理2.1可知，当时，存在使得，选取
(对所有)
因为。当，有。所以。
类似的可以得到定理2.2。
定理2.2 设为问题(1)的特征值，为问题(2)的特征值，则；特别的，存在，使得时有。
证明：按照定理2.1的证明可证得该定理。
NOTES
*通讯作者。
参考文献