1. 引言
组合序列在组合数学中有着十分广泛的应用背景,特别是经典的组合序列,其中经典第二类Stirling数 [1] 在数学领域中扮演重要的角色。近年来,很多学者用各种不同的方法对第二类Stirling数进行了推广,并取得了丰富的成果。2011年,罗秋明与H. M. Srivastava [2] 研究了第二类l-Stirling数与Apostol type多项式相关的性质。2013年,Simisek [3] 引入了广义第二类l-Stirling type数与广义l-array type多项式,得到了许多相关恒等式。本文在此基础上继续推广了广义l-array type多项式,并运用一些指数型Riordan理论和组合学技巧得到了一些关于广义l-array type多项式以及array type多项式的组合恒等式,并且在这些恒等式里包含着一些常见的特殊组合数。在这里,我们还引入了广义Hermite-Based Apostol-Bernoulli多项式与广义Hermite-Based Apostol-Euler多项式的定义,从而得到它们相应的指数型Riordan阵,并进一步证明了广义Hermite-Based Apostol-Bernoulli多项式、广义Hermite-Based Apostol-Euler多项式与广义l-array type多项式之间的一些恒等式。
Riordan阵理论在组合学中具有广泛的应用,是研究组合和式与特殊组合序列的工具。应用Riordan理论不仅可以研究组合序列,发现和证明恒等式,而且在序列、矩阵与发生函数之间建立起了很好的桥梁。下面将给出指数型Riordan阵理论的一些基本知识。
一个正常的指数型Riordan阵是一个形式幂级数对,其中,且满足,即是一个delta级数。Riordan阵按如下规则定义了一个无穷下三角矩阵:
(1)
其中函数称为该指数型Riordan阵的一般元。
最常见的指数型Riordan阵为Pascal阵。
在所有指数型Riordan阵组成的集合中,定义两个Riordan阵的乘法如下:
若,,则与的乘积定义为
.
引理1 [3] 令为关于的指数型Riordan阵,令为序列的数型发生函数,则我们有
, (2)
上述和式可以改写为矩阵相乘形式:
引理2 [3] 所有满足为可逆级数的指数型Riordan阵关于矩阵乘法构成一个群。特别地,矩阵为群的单位元,而矩阵的逆元为,其中为的复合逆。
下面我们将给出本文用到的一些基本记号:,,且表示整数集合,表示实数集合及表示复数集合。我们假设表示多值函数的主分支且其虚部被限制为。进一步,
及
其中且 [1] [2] 。
此外,我们引入线性函数的线性表示,它在单项式上的作用定义为:
其中是Kronecker记号。由定义,如果,那么我们有
同样地,如果,那么。从而易知。换言之,就是中的系数。因此,可以表示“取系数”算子。
最后,介绍符号“”,我们用表示换为,如表示换为等等。
2. 广义l-Array Type多项式与指数型Riordan阵
在这一节,我们将构造一类关于包含非负实参数的广义l-array type多项式的发生函数,并应用指数型Riordan阵理论得到了广义l-array type多项式的一些性质,进而证明了特殊组合序列,如经典array type多项式与第二类Stirling数,的一些恒等式。现在,我们将给出广义l-array type多项式的自然推广形式:
定义2.1 令,,且,则一类广义l-array多项式可定义为
(3)
运用式(3),可计算出多项式的特殊值如下:
,
注2.1 在式(3)中代入及,我们可得广义l-array多项式
( [3] ,定义3.1)。进一步,令,我们有广义第二类l-Stirling数
它是由下列发生函数所定义:
( [3] ,定理2.2)。
在式(3)中令,及,则有array多项式
这恰好是Chang与Ha [4] 的结果,也可参考Simsek [5] 。显然
其中表示第二类Stirling数 [3] 。
为方便起见,假设多项式的发生函数为
(4)
定理2.1 假设,,及,那么有指数型发生函数
(5)
证:在式(4)的右端代入式(3)可得
因此
上面方程的右端恰为的Taylor级数展开式。
故,
对上式应用二项式定理,~即可得到所证结果。
在式(5)中令可得
对上式两边取系数,也可以得到
注2.2 在(5)式中令及,定理2.1产生相应的结果( [3] ,定理3.3)。在(5)式中取时,它被简化为
在特殊情况,及时,由式(5)所定义的一类广义l-array多项式立即得到经典array多项式,它由下述发生函数所定义
这正是由Chang及Ha [4] 所研究的array多项式的发生函数。
根据指数型Riordan阵的定义(1)式,我们得到对应于广义l-array type多项式的发生函数(5)式的正常的指数型Riordan阵:
,
所以,矩阵的一般元由下式给出
定理2.2 对于,,及,下述恒等式成立:
(6)
证:令,则应用式(2)可得
推论2.1 当,与时恒等式(6)成为
进一步,当时,
这是参考文献( [5] ,定理2)中的结论。
定理2.3 令,,及,那么
(7)
证 考虑,由式(2)可得
从而,立即可得所证恒等式。
在定理2.3中,令,,与,则我们有下述推论。
推论2.2 令,,那么下式成立:
(8)
进一步,取,可得
3. 广义l-Array Type多项式与其他广义多项式
在本节,我们首先回顾广义Hermite-based Apostol-Bernoulli多项式与广义Hermite-based Apostol-Euler多项式的定义,从而得到它们相应的指数型Riordan阵,并进一步证明了广义Hermite-based Apostol-Bernoulli多项式、广义Hermite-based Apostol-Euler多项式与广义l-array type多项式之间的一些恒等式。
对于任意的,,与为任一复数,广义Hermite-Based Apostol Bernoulli多项式 [6] 及广义Hermite-Based Apostol Euler多项式 [6] 分别由下式所定义
(10)
以及
(11)
我们知道与,它们分别表示广义Bernoulli多项式和广义Euler多项式 [1] [7] 。
现在,我们考虑由式(10)与式(11)所给出的广义Hermite-based Bernoulli多项式与广义Hermite-based Euler多项式的发生函数。由式(1)定义的指数型Riordan阵,我们可获得下述关于式(10)对应的正常的指数型Riordan阵:
因此,的一般元为
由上式可知
(12)
的一般元为。
在上式中取,及,则得到指数型Riordan阵
其中为高阶Bernoulli数(参考 [1] )。但是利用位势多项式的定义( [1] ,133页),可以得到
(13)
其中为指数型部分Bell多项式 [1] 。这样,我们可以导出广义Bernoulli多项式的确切表达式:
这是参考文献 [8] 中的结论。
此外,在式(13)中取可得
. (14)
类似地,我们可以得到关于广义Hermite-based Euler多项式序列的正常的Riordan阵:
它的一般元为
该Riordan阵的逆阵为
(15)
特别地,在上式(15)中取,,可得
则利用Bell多项式的表达式 [1] 以及公式 [1] 可得
从而可得如下广义Euler多项式的表达式:
定理3.1 令,,,,那么有
(16)
证 令,应用式(2)可得
在定理3.1中代入,,与,则可得下述推论:
推论3.1 下列恒等式成立:
(17)
特别地,当时,
证 应用式(14)与式(16),我们很容易地得到所证结论。
定理3.2 令,,及,那么
(18)
证 由式(12)可得
再应用替换,及,故由上式可得所证结论。
在定理3.2中取,与,可得下述组合恒等式:
推论3.2 下述公式成立:
(19)
当时, (参考 [9] ,99页)。
定理 3.3 令,,及,那么
(20)
证 令,由式(2)立即可得所证结论。
在定理3.3中取,与,可得下述结果。
推论 3.3 令,,那么
(21)
定理3.4 下列关系式成立:
(22)
证 由式(15)可以观察到
这样,在上式中应用替换,及就可得所证结论。
在定理3.4中取,及,可得下述推论。
推论3.4 对于,,满足下列恒等式
(23)
取,则可得
(24)
推论3.5 对于,我们有
(25)
证:应用式(23)与反演关系
可得
这样,我们可得到所证结论。
4. 总结
本文主要研究了广义l-array type多项式,它是经典array多项式的推广。首先,我们对广义l-array type多项式进行了推广,定义了新一类广义l-array type多项式,并利用Riordan阵方法讨论了广义l-array type多项式的一些性质,得到了一系列相关的组合恒等式。
致谢
本文由国家自然科学基金项目(11461050)支持。
参考文献