1. 引言
张量是矩阵的高阶推广，在信号图像处理 [1] ，非线性优化 [2] ，高阶统计学 [3] ，数据挖掘与处理 [1] 和弹性分析 [4] 等方面有重要的应用。
设，若，其中，则称为m阶n维的复(实)张量，记作。显然，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。此外，若存在复(实)和非零向量满足多元齐次方程：
，
则称为的特征值，为的相应于的特征向量，其中和为n维向量，其第个元素分别为：
和。
若和是实的，则是实的，这时称为张量的H-特征值。
设张量，若它的每一个元素，则称为非负(正)张量，记作。若对任意都有：
则称为对称张量 [5] ，其中是指标为的置换群。令为Kronecher符号，即若，则，否则。用表示m阶n维单位张量，其元素如下：
设，若的所有特征值都不为零，则称是非奇异的。称为Z-张量，如果它的所有非对角元非正，即可表示为，其中， ( [6] ，定义3)。此外，若，则称为M-张量；若，则称为非奇异的M-张量( [6] ，定义4)。
定义1.1 ( [6] ，定义8) 设，用表示的比较张量，其中：
定义1.2 ( [6] ，定义9) 若张量的比较张量是M-张量，则称为H-张量。若张量的比较张量是非奇异的M-张量，则称为强H-张量。
设，定义次齐次元多项式如下：
，。
设张量为偶数阶的实对称张量，若对任意的非零向量， ()，则是正(半)定的。
定理1.1 ( [5] ，定理5)设是偶数阶实对称张量，则是正(半)定的当且仅当的所有H-特征值是正(非负)的。
张量的所有特征值构成的集合称为的谱，记作。张量的特征值在张量理论和应用中具有特别重要的意义，然而当张量的阶数和维数较高时，张量特征值的精确计算却是相当困难的。因此，张量特征值的定位和估计成为当今学者们研究的一个热门问题 [5] [7] - [9] 。祁在 [5] 中把关于矩阵的著名的Gerschgorin特征值包含定理推广到实对称张量，这个结果很容易推广到一般的张量中，即有：
定理1.2 ( [5] ，定理6) 设，则
其中，。
2015年，Li等在文 [9] 中又给出张量特征值的如下包含区域。
定理1.3 ( [9] ，定理2.1) 设，，则
其中：
；
。
定理1.4 ( [9] ，定理2.3) 设是m阶n维复张量，，则：。
本文继续张量特征值的定位问题的研究。在第二节，给出两个新的张量特征值包含区域，并对得到的包含区域进行比较。在第三节给出几个数值例子。在第四节，应用所获张量特征值包含区域给出张量正定(半正定)的几个充分性条件。
2. 新的张量特征值包含区域
最近，Wang等在文 [10] 给出了张量的一个如下非奇异性条件。
引理2.1 ( [10] ，定理3.1) 设，若
则是非奇异的H-张量。
可得下面的张量的特征值包含区域。
定理2.1 设，，则
其中。
证明：设，则是奇异的。若，则，即
再由引理2.1知是非奇异的，产生矛盾，故。
注2.1：当，即退化为矩阵时：
这时定理2.1就是矩阵的Brauer特征值包含定理。
下面我们给出另一个张量特征值包含区域。
定理2.2 设，，则：
证明：对于任意的，设是相应的特征向量，则
。 (1)
设，则。由(1)式得：
因，故
又因，对上述不等式两边同时除以得：
于是有
(2)
同样由(1)式可得
对上述不等式两边取绝对值得
移项得
。(3)
现分两种情况讨论，若，由(2)式得，显然；若，由不等式(2)乘不等式(3)得：
因为，对上述不等式两边同时除以得
上述式子表明。因此。
注2.2 当，即退化为矩阵时，
这时定理2.2就是矩阵的D-Z矩阵特征值包含定理。
下面我们对上述特征值包含区域进行比较。
定理2.3 设，，则
证明：首先证明。设。则存在使得，即：
。 (4)
当时，由(4)式可得或。则。当时，由(4)式可得：
即：
或。
由上式得或。于是或，因而，故。
下证：。设，则存在使得，即
。 (5)
当时，由(5)式得或，于是有
或，即或或，因而。当时，由(5)式得
于是
即
上式表明或，因而。由此知。
由于理论上无法比较、和三者的大小，下节我们用三个数值例子对其比较。
3. 数值例子
本节我们用三个数值例子对本文的结果进行解释。
例3.1. 考虑二阶张量
分别应用定理2.1和定理2.2得到：
图1表明对于此张量有和。
例3.2. 设，其中，其他的元素都为零。分别应用定理1.2、定理2.1和定理2.2得到：
图2表明对于此张量有。
例3.3. 设，其中，其他的元素都为零。分别应用定理1.2、定理1.3和定理2.1得到：
图3表明对于此张量有。
上面三个例子表明在某些情况下和比小，在某些情况下和比大。
4. 偶数阶实对称张量正定性的判定
应用第二节得结果，本节给出偶数阶实对称张量正(半正)定性的两个充分条件。
定理4.1 设是偶数阶实对称张量，且，若对于任意的，都有：
(6)
则是正定的。
证：设是的H-特征值。由定理2.1知，，则存在使得，即：
。 (7)
假若，则因和(7)式成立，故：
这与(8)式矛盾，因此。再由定理1.1知是正定的。
类似地可证如下结论。
定理4.2 设是偶数阶实对称张量，且，若对于任意的，都有：
则是正半定的。
Figure 1. The comparison of ,
图1.和关系图
注：蓝色为，红色为。
Figure 2.The comparison of
图2.和关系图
注：图中蓝色为，红色区域为，绿色为。
Figure 3.The comparison of
图3.和关系图
注：图中蓝色为，红色区域为，绿色为
例3. 设是4阶2维的实对称张量，其中
其它。通过计算知张量满足定理4.1的条件，则是正定的。事实上，通过 [2] 中推论2可得到的H-特征值为。由定义4.1知确实是正定的。
基金项目
本文受国家自然科学基金资助项目(11361074)资助。
*通讯作者。
参考文献