Wronsky行列式与具有最大亏量和的亚纯函数

Wronsky Determinant and Meromorphic Functions with Maximal Deficiency Sum

摘要:

设f是复平面上满足 的超级有穷的超越亚纯函数， k为正整数， 是f的k+1 个线性独立的小函数，且满足 为常数， ，则有

Let f be a transcendental meromorphic function satisfying , and k is a positive integer; let be linearly independent small functions of f  , and is a constant; let . Then

1. 引言及主要结果

本文采用Nevanlinna理论中的记号 [1] [2] ，如，，，及等。

定义1 设是复平面上的一个非常数亚纯函数，为一个有穷复数(或)，

若，则称是的一个Nevanlinna亏值，简称亏值，称为Nevanlinna亏量，简称亏量。若，则称是的一个Valiron亏值，称为Valiron亏量。在值分布论中，的所有亏值至多为一个可数集，且

定义2 设是复平面上的一个亚纯函数，如果，则称为的一个小函数。

定义3 设亚纯函数是的个线性独立的小函数，记所构成的Wronsky行列式表示为，即

1990年，杨乐 [3] 研究了的亏量和亏值与的亏量和亏值之间的关系，证明了下面的定理。

定理A [3] 设是复平面上的有穷级超越亚纯函数，是一个正整数，则有

杨乐提出了该上界是否精确的问题。2013年，仇惠玲等人 [4] 回答了这个问题，证明了如下定理。

定理B [4] 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数，则对于任意正整数，有

本文将换成，推广了定理B，证明了如下结果。

定理1 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数，是的个线性独立的小函数，，则有

(1.1)

(1.2)

若存在的一个小函数使得为非零常数，则有

(1.3)

例1 设是超越亚纯函数，，则

，

显然，是的小函数，且线性独立。通过行列式的计算可知，，其中为非零常数。令，则为的小函数，显然线性独立，且为非零常数。

由此可知，定理1推广了定理B。

注 显然，若是满足的超级有穷的超越亚纯函数，则有

因此有下面的结论。

推论1 设超级有穷的超越亚纯函数满足，是的个线性独立的小函数，，且满足为常数，则有

1973年，Singh-Kulkarni [5] 证明了下面的定理。

定理C [5] 设是复平面上满足的有穷级超越亚纯函数，则有

其中

2000年，Fang [6] 改进了定理C，证明了如下定理。

定理D [6] 设是复平面上满足的有穷级超越亚纯函数，则对于任意正整数，有

其中

2013年，仇惠玲等 [4] 将定理D中的“有穷级”改成“超级有穷”，结论仍成立。

定理E [4] 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数，则对于任意正整数，有

其中

本文将定理E中的换成，推广了上述结果。由定理1即得下面的推论。

推论2 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数，是的个线性独立的小函数，，则有

其中

由亏量关系和定理1即得如下结果。

定理2 设是复平面上的超级有穷的超越亚纯函数，为一个正整数，是的个线性独立的小函数，，且满足为常数，则

(1.4)

成立的充分必要条件是

， (1.5)

成立。

2. 一些引理

引理1 [4] 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数，则有

引理2 [7] 设是一个超越亚纯函数，是的个线性独立的小函数，，则对任意的，有

引理3 [8] 设是超越亚纯函数，是的个线性独立的小函数，，是判别的有穷复数，则

引理4 设是超越亚纯函数，是的个线性独立的小函数，，则有

证明 由Nevanlinna基本理论得

引理5 设是复平面上满足的超级有穷的超越亚纯函数，是的个线性独立的小函数，，则

证明 不妨设有无穷多个有穷亏值，则由引理3，

由引理1，

令，及，得

(2.1)

由引理3，可得

再由引理2，得

应用引理1及(2.1)得

令，得

(2.2)

另一方面，由引理4

再应用引理1及(2.1)得

(2.3)

于是，由(2.2)和(2.3)得

证毕。

引理6 [7] 设为线性独立的函数，则有

3. 定理的证明

定理1的证明不妨设有无穷多个有穷亏值，则由引理3，

应用引理1得

令得

(3.1)

另一方面，由引理2和引理4得

令，并应用引理1及(2.1)得

(3.2)

因此，由(3.1)和(3.2)，我们有

(3.3)

由引理5和(3.3)得

(3.4)

于是(1.1)得证。下面证明(1.2)。

由引理1，引理5及(2.1)得

(3.5)

于是(1.2)得证。下面证明(1.3)。

记，且存在的一个小函数使得为非零常数，记。则由引理6可知，

，

其中，。

因为，则

。(3.6)

任取有穷复数，由条件可知，存在使得为非零常数，即，则

(3.7)

因此，由(3.6)，(3.7)和引理3得

则由引理1，引理5和(3.3)，(3.4)得

即定理1证毕。

定理2的证明若(1.4)成立，则有

，。

于是，由及定理1得

即得，。

反过来，若(1.5)成立，则由定理1即得

于是(1.4)成立。定理2证毕。

致谢

作者衷心感谢方明亮教授的指导和帮助！

基金项目

本文由国家自然科学基金资助(基金号：11371149)。