有限生成无挠幂零群的4阶自同构

Finitely Generated Torsion-Free Nilpotent Groups Admitting an Automorphism of Order Four

摘要: 设G是有限生成无挠幂零群，α是G的4阶自同构且 是满射，则G的二阶导群G'' 包含在G的中心Z(G) 里且C_G(α²) 是Abel群。

Abstract: Let G be a finitely generated torsion-free nilpotent group and α an automorphism of order four of G. If the map G→G defined by is surjective, then the second derived subgroup G'' is included in the centre of G and C_G(α²) is abelian.

1. 引言和主要结果

本文采用的符号和术语都是标准的，按照 [1] 。

在群论里，如果群的自同构没有非平凡的不动点，则称是正则自同构。

对于2阶正则自同构，Burnside [2] 证明了一个经典结果。即

命题1.1 设是有限群，是的2阶正则自同构当且仅当是奇阶Abel群。

对于3阶正则自同构，Gorenstein [3] 证明了具有3阶正则自同构的有限群是幂零群。Neumann [4] 把有限群推广到任意群，得到了下面的结果。

命题1.2 设是一个群，是的3阶正则自同构且是满射，则是幂零类不超过2的幂零群。

对于素数阶正则自同构，Thompson [5] 证明了有限群论里的一个著名结果：如果有限群有一个素数阶的正则自同构，那么是幂零群。在无限群中，Higman [6] 用Lie环的方法证明了：如果局部幂零群具有素数阶的正则自同构，那么是幂零类不超过的幂零群，其中是只与有关的函数。在 [7] 中，我们推广了Higman的结果，用纯群论的方法证明了下面的结论。

命题1.3 设是剩余有限的可解群或是剩余有限的可解群的有限扩张，是的素数阶正则自同构且是满射，则是幂零类不超过的幂零群，其中是只与有关的函数。

受命题1.2和命题1.3的启发，我们舍去自同构正则性的假设，只考虑在满射的条件下，自同构的阶数对群结构的影响。在 [8] 中，我们研究了有限生成无挠幂零群的素数阶自同构，证明了下面的结果。

命题1.4 设是有限生成无挠幂零群，是的阶自同构且是满射，则是幂零类不超过的幂零群，其中是只与有关的函数。

在本文中，我们考虑有限生成无挠幂零群的4阶自同构。得到了下面的结果。

定理1.1 设是有限生成无挠幂零群，是的4阶自同构且是满射，则以下结论成立

(i)；

(ii)是Abel群。

2. 定理的证明

引理2.1 设是一群，是的阶自同构且是满射，则对于任意的，有。

证明 因为是满射，所以对于任意的，存在某个，使得。因此

。

引理2.2 设是有限生成无挠幂零群，是的阶自同构且是满射，对于任意的不整除的素数，以下结论成立

(i)；

(ii) 对于任意的正整数，诱导了的正则自同构。

证明 (i) 由 [1] 的定理 5.2.21 可知是剩余有限-群。因此对于任意的正整数，是有限-群且。

(ii) 任取，使得。在中，我们应用引理2.1可得

。

因为不整除，所以。因此是正则自同构。

引理2.3 [9] 设是局部有限群，是的4阶正则自同构，则包含在中。

定理1.1的证明 (i) 取，根据引理2.2的(ii)我们可以知道对于任意的正整数，诱导了的正则自同构。易知的阶数整除4。由命题1.1和引理2.3知道包含在的中心里。因此。即。从而

。

进而

。

因为，所以。

(ii) 记，只需证是Abel群即可。取，考虑。如果，则是的2阶正则自同构。由命题1.1知道是Abel群。因此对于任意的，有。即。因为，所以。这表明是Abel群。显然也是Abel群。如果，则是-不变，因此是的1阶或2阶自同构。注意到

，

于是是的正则自同构。因为，所以是的2阶正则自同构。由命题1.1知道是Abel群。注意到

，

我们有是Abel群。所以对于任意的，有。即。因为，所以。这表明是Abel群。

基金项目

河北省教育厅青年基金(QN2016184)，河北工程大学博士基金和河北工程大学研究生教育教学改革研究项目(161290140004)资助。

^*通讯作者。