1. 引言
考虑无约束优化问题
，共轭梯度法是解决此类问题的一种非常有效方法。共轭梯
度法是一种迭代算法，因为简便、存储需求小的优势而往往被用来求解大规模的优化问题，它的迭代公式通常如下：
(1)
其中
是搜索步长，
是搜索方向，通常定义如下：
(2)
这里的
，表示目标函数
在点
处的梯度，其中
在
上连续可微。
则是一个参数。通过改变这个参数的不同选取，可以获得不同的带参数共轭梯度算法，人们经常讨论的参数公式有以下这些 [1] ：
，
，
，
，
研究者普遍认为PRP方法是目前数值表现最好的共轭梯度法之一，但收敛性质比较一般。文献 [2] 举例指出：即使按照Curry原则进行选取步长，PRP共轭梯度法对一般的非凸函数也未必收敛；因此，很多研究者都对PRP共轭梯度法进行了修正改进，文献 [3] [4] [5] [6] [7] 均是对
进行非负修正，其中文献 [5] 提出的参数公式
受到了广泛关注。建立在这一参数公式基础上的共轭梯度算法不仅收敛效果好，而且数值结果也比较理想 [4] [5] 。在此基础上文献 [6] 提出了一种修正的WYL共轭梯度法
，
该方法能够自动保证参数公式的非负性，而且不依赖任何线搜索，可以自动保证充分下降性，因而收敛效果也比较好。我们在文献 [7] 中提出的修正的PRP共轭梯度法
(3)
借鉴了文献 [6] 的思路。若对参数公式(3)的分母加一个非负的量
，选择参数为
，
(4)
则可以得到一个新的共轭梯度法。
下面将建立并讨论新算法和算法的收敛性。新算法采用弱Wolfe-Powell(WWP)线搜索，步长
满足：
(5)
和
(6)
其中
和
是满足
的常数。
2. 算法与假设
算法1
步1：给出
，
。令
，
。若
，则停止。
步2：计算步长因子
，使
满足WWP线搜索(5)、(6)。
步3：令
，
。若
，则停止。
步4：按(4)式计算公式
，其中
，利用(3)式计算
。
步5：令
，转步2。
假设：
假设(i) 水平集
有界。
假设(ii) 函数
在
的某邻域
内连续可微，并且它的梯度函数
Lipschitz连续。即存在一个正的常数
，对任意
，
。(7)
3. 全局收敛性
引理1. 若
，其中
，则
。
证明：因为
，所以
。
由Cauchy-Schwarz不等式可得
。
引理2 (性质*)。考虑算法1，假设(i)、(ii)成立，若
(8)
则存在常数
和
，使对所有
，有
，
以及
。
证明：取
，
，则
。
而若
，则由Lipschitz连续性知
。
引理3 [8] 。考虑共轭梯度方法(1)和(2)，步长因子
满足线搜索WWP (5)、(6)，若：
1)
；
2) 充分下降条件成立；
3) 性质(*)成立；
4) 假设(ⅰ)(ⅱ)成立；
则算法全局收敛。
在共轭梯度法的讨论中，充分下降条件
，
，(9)
是一个很重要的性质。
根据以上3个引理，在假设充分下降条件可以满足的前提下，容易得出本文所给的共轭梯度法在WWP线搜索下全局收敛的结论。
定理1. 若假设(i) (ii)成立，且(9)式成立，序列
由算法1生成，则
。
4. 数值试验
为了考查新算法的数值表现，本文选取26个函数进行数值实验，部分测试函数来自CUTE函数库。数值试验程序我们利用Fortran语言编写。表1列出的计算结果是在参数
，线搜索参数
，
Table 1. The results of numerical experiment
表1. 数值实验结果
，
；终止条件是迭代次数
，或者
的时候分别对3000维和6000维进行测试时取得的。表1中的
是算法终止时的函数值，
表示算法终止时梯度范数值，
表示迭代次数，
表示计算次数。
上表中的测试结果表明新算法是有效的，特别是对于高维问题，新算法表现出了较好的处理能力，所以对于大规模优化问题的求解，新算法有能力解决此类问题。
基金项目
国家自然科学基金项目(No.11661001, No.11661009)；广西自然科学基金(No.2014GXNSFAA118030)；广西教育厅科研项目(No.YB2014389)。