1. 引言
目前，有限维单模李超代数的分类问题还没有解决，所以文献 [1] 构造了新的有限维单模李超代数，并确定了它的单性，文献 [2] 确定了的导子超代数。
为了将与已有的有限维单模李超代数进行比较，文本讨论了的结合型和限制性。
2.回顾
下面将文献 [1] 构造的有限维单模李超代数作简要回顾。用表示正整数集，是特征数为的域，设，为域上具有个未定元的外代数。
定义：，。
令。
对，令，且约定，则构成的一组-基底。
令，为满足，的截头多项式代数。表示整数模的剩余类环，，设，定义：，于是，为的-基底。
设，为模2的剩余类环，令：
于是是由的-阶化诱导出的结合超代数。
若，将简记为，于是是的一个-基底。令，则是-阶化的超代数，且。
对，令为对的偏导子，则可以扩充为的导子，使得对，。
设，若，则令，使得；
设，若，约定，那么对任意的，有，于是，若，则，而若，则。
设，定义，那么：
令，那么为的导子超代数的子代数，为一组-基底。下面简记为。
令，其中：
,
那么是-阶化李超代数。
3. 结合型
引理3.1 [3] ：设是有限维单-阶化李超代数，置。假设是一个超对称双线性型，并且满足下列条件：
(a)是-不变的，即；
(b)，对；
(c)是-不变的，即。
那么是上的结合型。
本文定义，使得，其中，，显然是线性的。
定理3.2 [4] ：具有非退化的结合型。
证明：因为，其中,
所以：，
定义函数，显然是双线性和超对称的。又因为，所以。下面验证满足引理3.1中的三个条件：
先验证(a)，任取中的基向量、，中的基向量，其中且。
若，，或，有：
其中，，，且。
若，有：
因此当时
若，有
若，因为，由定义，上式中除了第四项和第六项其余项均等于0。对于这两项，我们只需讨论，且的情况，其余情况这两项均等于0。若，由于，所以第四项和第六项相加等于0；若，由于，所以第四项和第六项相加也等于0。
若，因为，由定义，上式中第二项和第七项等于0。对于其余项，我们只需讨论如下几种情况：
①若且，则上式等于由于，则该式等于0。
②且，则上式等于
由于，则该式等于0。
③若，由①②可知上式等于0成立。
所以，是-不变的。
再验证(c)，任取中的基向量，中的基向量，，中的基向量，其中且，，有
若，则由定义，上式等于0。
若，则上式等于
由定义，该式等于0。
另一方面，
综上所述，是-不变的。
最后验证(b)，任取中的基向量，中的基向量，其中，有，所以对任意的，成立。
综上，由引理3.1可知，是上一个结合型显然，。由的单性，知是非退化的。
4. 限制性
引理4.1 [5] ：设是域上的李超代数，是的一组-齐次基底。如果存在，使得对任意的，有，其中，若；，若，则是一个限制李超代数。
定理4.2：有限维模李超代数是限制李超代数。
证明：设与分别为和的一组基，下面证明为内导子。下面分两种情况讨论：
(1)，则。
对任意的，因是偶导子，由Leibniz公式，有：
又，而是特征为的域上的李超代数，所以有：
所以，。
(2)，则。
对任意的，因为：
所以。
由是偶导子及是特征为的域上的李超代数，仿照(1)，有
所以，
由于，所以都为内导子，因此有限维模李超代数是限制李超代数。
参考文献