1. 引言
Glaisher-Kinkelin常数
被定义为：
，(1.1)
其中，
为超阶乘函数。最近，根据Euler-Maclaurin公式，Chen [1] 给出了下列关于超阶乘函数和Glaisher-Kinkelin常数
的渐近展开：
， (1.2)
其中，
为Bernoulli数。
在式(1.2)的基础上，Wang and Liu [2] 对超阶乘函数和Glaisher-Kinkelin常数推导出以下一般渐近展开：
.(1.3)
最近，我们发现，Chen [1] 还建立了以下关于
和常数
的渐近展开：
(1.4)
其中，
为Glaisher-Kinkelin常数
的类似常数。
以上知识给了我们一个启发，我们希望通过Bernoulli数和指数型完全贝尔多项式去推导出关于Glaisher-Kinkelin常数
的类似常数
和
的渐近展开：
.(1.5)
为了得到这个渐近展开式，我们需要下列指数型完全Bell多项式的相关知识。指数型完全Bell多项式
被定义为(见 [3] , Section 3.3)：
. (1.6)
它的具体表达式为：
. (1.7)
另外，根据 [4] , p.36, Equation (44)和 [5] , Theorem 1可以知道多项式
满足递归式：
. (1.8)
2. 定理及证明
2.1. 定理
令
为实数，
，并定义
，则我们有下列关于
和常数
的渐近展开：
，
其中，当
时，
；当
时，
， (2.1)
在式(2.1.1)中，当
时，
；当
时，
.
2.2. 证明
令
，由(1.6)以及
的定义，我们可以将式(1.4)改写为：
另外，将
展开为关于
的幂级数：
.
要证：
，即要使下列等式成立：
.
当我们定义
时，上式可以写成：
.
通过以上等式，我们得到一个唯一解
，而且
有如下递推关系：
其中，
满足(1.8)，定理得证。
通过指数型完全Bell多项式
的定义(1.6)我们可以容易地计算出
。下面我们列出
的前几项：
.
将
和
取特殊值，我们可以得到一系列有关Glaisher-Kinkelin常数
的类似常数
和
的渐近展开。下面我们举出几个例子。
3. 例子
令
，
分别取1，2，3，当
时，我们有：
，
，
.
基金项目
国家自然科学基金/Natural Science Foundation of China (11501081)，省级大学生创新创业训练计划项目(项目编号：S201612026050)，中央高校基本科研基金(DC201502050405)。
*通讯作者。