1. 引言
多元函数插值一直是计算数学中的一个重要的研究课题。近些年来，人们在解决某些科学计算问题时，常常要涉及多元函数插值问题，在许多实际问题中，常常涉及到代数(多元函数的计算，散乱数据插值及拟合，曲面外形设计和有限元格式建立等)。这使得有关多元函数插值理论与方法的研究越来越受到相关领域专家和学者的关注。对多元分次插值问题研究最早的是梁学章教授 [1] [2] ，在1965年，他给出了二元分次多项式插值适定结点组的构造方法，构造出了竖线型(横线型)，十字型等各种适定结点组，后来又给出了迭加插值法，朱平与傅凯新 [3] 在此基础上在文献中向高维情况做了推广，姜志敏 [4] 也将构造沿平面代数曲线的插值适定结点组的方法进一步推广，有了新的发现。利用无重复分量代数曲面上的分次插值适定结点组的构造方法，我们又得到了构造三维空间中分次插值适定结点组的递归构造方法。
2. 基本概念及引理
设是非负整数，且，而来表示所有关于次数不超过，关于的次数不超过，关于的次数不超过三元实系数多项式空间。即
定义1 [5] 设是中的个相异点，对于一个任意给定的实数组，寻找一个多项式使之满足如下插值条件：
， (1)
如果对于每一个任意给定的实数组，方程组(1)总存在唯一的一组解，则称该插值问题是关于多项式空间适定插值问题(或称该插值问题是适定的)，并称相应的插值结点组为的一个插值适定结点组。
本文中，我们规定，与坐标轴轴垂直的平面称为竖平面，与轴垂直的平面称为纵平面，与轴垂直的平面称为横平面。
引理1 [6] 中的个相异点能够做成中的适定结点组的充要条件是：不落在中任何一条代数曲面上。(我们称为中的代数曲面，如果且不恒等于0 [1] 。
引理2 [7] 设，其中，是次无重复分量代数超曲面上的次分次插值适定结点组的充要条件：
对所有满足的，均有成立，其中，当时。
证明：只需证明必要性。
设，，若是代数超曲面上的次分次差值适定结点组，且，那么，在超曲面上有，即，由命题有。注意到无重复分量的代数多项式，所以有，另一方面，从而，由理想的定义有使得。证毕。
引理3 [5] (递归构造定理)设是的适定结点组，，做一个次无重复分量的代数超曲面，使其不通过中任何点，任取超曲面上的次分次插值适定结点组，则必是的插值适定结点组。
证明：所含点数为，恰为的维数，下面证明其适定性，用反证法。
假设点组不是的插值适定结点组，则必有不恒为零的，使得通过中的点。特别的，通过中的点，注意到是代数超曲面上的次分次插值适定结点组，故有使得，又通过超曲面以外的点组，则通过中的点，而这与是的适定结点组矛盾。证毕。
3. 主要结果及证明
由引理2具体到三元分次空间，我们可以得到：
定理1 设，是次无重复分量的曲面上的次分次插值适定结点组的充要条件是：
对所有满足的均有如下分解：
其中，当时。
定理2：设是的适定结点组，，不通过中任何点作一个平面 (均不为零)，任取该平面上的次分次插值适定结点组，则必是的插值适定结点组。
证明：分次插值空间的维数是，所含的点数为，这恰好是的维数。下用反证法证明其适定性。
假设不是的适定结点组，则必有不恒为零的使得通过中的点，特别地，会通过中的点，注意到是平面上的次分次插值适定结点组，故有，使得，又通过平面以外的点组，则通过中的点，而这与是的适定结点组矛盾。证毕。
4. 具体构造方法及实验示例
三元欧式空间中，分次插值适定结点组的构造方法如下：
在空间中，任取一点都可以作成空间中的0次分次插值适定结点组，下面给出在三维空间中构造分次插值适定结点组的两种方法。
1) 添加平面法
第0步，在空间中任取一点，它一定是的适定结点组；
第1步，不过点作一个平面，在平面上任取7个互不相同的点与一起构成的适定结点组；
……
第步，不过上面所有点，做一个平面，在这个平面上任取个互不相同的点。
到第步结束后，得到的所有的点的组合便构成的分次适定结点组。
2) 添加二次代数曲面法
第1步，不过点，作一个二次代数曲面，在其上任取26个互不相同的点，与一起构成的适定结点组；
第步，不过上面所有点，做一个二次代数平面，在曲面上任取个互不相同的点。
到第步结束后，得到的所有的点的组合便构成的适定结点组。
例题：设为上任意一点，，在平面上任取7个点，，，，，，，，且不在平面上，则这八个点构成空间的插值适定结点组。
设，将相应的点代入并令其为零，便得到一个8阶的齐次线性方程组，系数行列式如下：
Figure 1. The effect diagram of ternary graded interpolation
图1. 三元分次插值效果图
由于，因此解唯一存在。
设一个被插曲面，将这八个点代入和
解得：，，，，，，，，
所以确定唯一的插值曲面：
。
由MATLAB做出被插值函数与所求多项式的图像如图1所示。
致谢
在本篇论文完成的同时，我首先要感谢我的导师崔利宏老师。在崔老师的悉心指导下，我的论文才能如此顺利的完成。在本篇论文的完成过程中，崔老师对我提出了很多建设性的指导意见，细心地和我讲解论文中出现的问题，给予专业上的指导，信心上的鼓励。同时我也要感谢学校和学校的领导给我们创造的良好的学习环境，让我们能够在良好的氛围中完成论文。感谢同学和家人在这期间的大力支持。
基金项目
辽宁大学生实践基地建设项目基金资助。
参考文献