二元分次插值适定性问题研究

Research on Posedness of Binary Graded Interpolation

摘要: 本文从研究二元多项式插值的适定性问题着手，在构造二元分次插值适定结点组的“添加横直线法”和“添加竖直线法”的基础上，对二元分次插值适定性问题进一步研究和探讨，给出了二元分次插值适定结点组的几何结构和基本特征，构造了二元分次插值适定结点组的“添加抛物线”方法，推广了已有的研究结果，最后给出算例对所得研究结果进行了验证。

Abstract: The paper studies from the posedness of bivariate polynomial interpolation. Based on the methods of “adding a horizontal line” and “adding vertical line” in constructing well-posed node group of binary interpolation, this paper further researches and discusses the posedness of binary graded interpolation, and gives geometrical structure and basic characteristics of well-posed node group of binary graded interpolation, then constructs the method that adds parabola for the well-posed node group of binary graded interpolation and generalizes the existing research results. Finally, the numerical examples are given to verify the research results.

1. 前言

多元多项式插值是计算数学的一个重要研究课题，也是继一元多项式插值之后的核心研究领域，二元分次插值在数学基本理论研究以及相关学科领域中有重要的地位和作用。而进行多元分次插值时必须解决的问题就是插值的适定性问题或者说是插值多项式函数的唯一存在性问题。梁学章在文献 [1] 中给出了构造二元分次插值适定结点组的“添加横直线法”及“添加竖直线法”，本文在以往学者对二元分次插值研究的基础上 [2] [3] [4] [5] ，进一步研究了二元分次插值适定结点组的基本结构和几何特征，得到了构造二元分次插值适定结点组的“添加抛物线法”，并通过具体例子加以拟合，运用MATLAB软件编程，画出图像，以便观察插值的效果。

2. 基本概念和定理

设为非负整数，并且，代表所有全次数不超过的二元实系数多项式空间，即 [1] 。

定义1.1 [1] 设是中的个相异点，对于一个给定的实数组，找一个多项式，满足如下插值条件

(2.1)

如果对于每一个任意给定的实数组，方程组(1.1)总存在并且唯一存在一组解，则称该插值问题是适定插值问题，并称这个插值结点组为关于多项式空间的一个适定结点组。

设为非负整数并且，表示所有关于次数不超过，关于次数不超过的二元多项式构成的空间。

定义1.2 设是上关于插值空间的个互异点，对于一个任意给定的实数组，找一个多项式，满足如下插值条件

(2.2)

则这个插值问题称为二元分次插值问题。满足条件(1.2)的称为该插值问题的插值多项式。

如果对于每一个任意给定的实数组，方程组(1.2)总存在的而且是唯一存在的一组解，则称该插值问题是适定插值问题，并称这组插值结点组为关于多元分次插值空间的一个插值适定结点组。

定理1.1 [2] ：设是上关于插值空间的适定结点组。若它的每个点都不在竖直线上，则在竖直线上任取的个互不相同的点与一起必定构成的适定结点组。同样地，若的每个点都不在横直线上，则在横直线上任取的个互不相同的点与一起必定构成的适定结点组。

引理1.1 [2] (Bezout)若次代数曲线和次代数曲线的交点超过个，则必有次数既不超过也不超过的非零多项式存在，使得

其中分别为次数小于和的二元实系数多项式。

基本引理1.2 [2] ：是的适定结点组的充要条件是不落在中的任何一条代数曲线上。

3. 主要定理及证明

定理2.1：是上关于插值空间的插值适定结点组，若它的每一个点都不在曲线上，则在该曲线上任取的个互不相同的点与一起必定构成空间的插值适定结点组。

定理2.1证明：用表示上所取的个点做成的集合，，则所含点数为，这恰好等于空间的维数。下面用反证法证明是的插值适定结点组.假设不是的插值适定结点组，则由基本引理，必有非零多项式，，。特别，。由于是上所取的个不同的点。故有个互不相同的根，由于的次数总小于，故.这说明次数曲线与2次曲线有无穷多个交点，由Bezout定理，必有次数小于的多项式，使得。由于，故。又由于在点组上取零值，故有，，从而，。这与矛盾，因此是的插值适定结点组。

4. 具体构造方法及实验示例

下面我们给出构造中适定结点组的迭加构造方法的流程。

由于在上任取一点都可以做成的适定结点组，从它出发，反复应用定理，便可构造出的适定结点组。在这里我们给出的适定结点组的构造方法。

a. 若。

第0步，在上任取点作为结点，。

第1步，在上任做一条抛物线不通过点，在其上任选5个互不相同的点作为新增加的结点。

……

第步，在上任做一条抛物线不通过前面已选好的点，在其上任选个互不相同的点作为新增加的结点。

在前步取好的个点构成的适定结点组。

b. 若，则先用(a)方法，再用梁学章老师提到的定理1.1方法构造。

例：设为上一点，则，不经过在斜直线上任取5个点，，，，，则由上述流程知这六个点构成空间的插值适定结点组。

设被插值函数为，所确定的唯一的一条插值曲线为

由MATLAB做出被插值函数和插值函数的图像见图1。

本文研究的“添加抛物线法”比构造二元分次插值适定结点组的“添加横直线法”和“添加竖直线法”复杂，但若空间维数较大，则本文找适定结点组的方法比梁老师的方法要快些。

Figure 1. The effect picture of binary graded interpolation

图1. 二元一次分次插值效果图

致谢

在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师崔利宏老师的热情关怀和悉心指导。在我撰写论文的过程中，崔老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了崔老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，在此表示真诚地感谢和深深的谢意。在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，同时还到许多在工作过程中许多同事的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。感谢辽宁省科研基金项目的资助，感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！

基金项目

辽宁省大学生实践基地建设项目基金资助。