1. 引言
记，及分别表示自然数集，整数集和实数集。任取满足，记。表示向量的转置。
考虑具有超前和滞后的二阶非线性差分方程
(1.1)
在混合边值条件
(1.2)
下解的存在性。其中为向前的差分算子，定义为。是一个实序列，满足A和B是常数。
方程(1.1)可看作如下具有超前和滞后的泛函微分方程的离散类似。
(1.3)
在参考文献 [1] 中，Smets和Willem得到了类似方程(1.3)格动力系统孤立波解的存在性，而且方程(1.3)包含下列方程
(1.4)
该方程在核物理、气体动力学、渗透介质理论和等离子体物理等领域中有广泛的应用前景，许多作者研究过这类方程，参见 [2] 。
2003年开始，临界点理论被用来研究了二阶超线性差分方程的周期解和次调和解的存在性，后来临界点理论也被应用于研究差分方程的边值问题，许多学者对方程(1.1)的一些特殊情形进行了深刻的讨论，得出了一系列有意义的结果，参见 [3] - [8] 。然而据我们所知，到目前为止，用临界点方法讨论方程(1.1)边值问题的文献很少(见 [9] [10] [11] [12] [13] )，因为方程(1.1)中依赖于及，而在文 [3] - [8] 中建立泛函的方法面对我们的情况则无能为力。
下面我们介绍近几年通过临界点理论来研究方程(1.1)的特殊情形的解的存在性的相关结论。
2009年开始，石海平利用临界点理论给出了下列二阶非线性泛函差分方程
(1.5)
在边值条件(1)或(2)或(3)或(4)下解的存在性和多重性的充分条件，其中是Jacobi算子，参见 [11] 。
在参考文献 [14] 中，作者讨论了以下二阶差分方程
(1.6)
在边值条件
(1.7)
下解的存在性。
在参考文献 [12] 中，作者讨论了以下二阶差分方程
(1.8)
(1.9)
下解的存在性，其中是Laplacian算子。
在参考文献 [13] 中，作者讨论了以下二阶差分方程
(1.10)
周期解与次调和解的存在性，其中表示正奇数的比。
然而，我们了解到很多文献都是研究方程(1.1)特殊情形的二阶或高阶差分方程周期解的存在性，对差分方程边值问题的研究相对来说较少。出于以上考虑，本文的目的就是利用临界点方法研究二阶非线性差分方程边值问题(1.1)~(1.2)解的存在性，所采用的方法主要是利用山路引理结合变分技巧。
2. 变分框架及基本引理
为了运用临界点理论，我们将建立(1.1)~(1.2)的变分框架并给出一些必要的引理。
定义上的内积如下：
(2.1)
由上的内积可以诱导空间上的范数：
(2.2)
对任意的，我们可以定义上的另一种范数：
(2.3)
则存在常数，使得，且
(2.4)
其中。
下面我们建立边值问题(1.1)~(1.2)的变分框架。设存在泛函且，满足
考虑定义在的泛函
(2.5)
，其中。
根据边值条件(1.2)，我们能计算的Fréchet导数为：
因此，是在的临界点，即当且仅当满足的
是边值问题(1.1)~(1.2)的解。因此，边值问题(1.1)~(1.2)解的存在性等价于定义在上泛函的临界点的存在性。
设矩阵为
直接验证可知，是正定矩阵，记它的特征值为。不妨设
(2.6)
定义2.1设是实的Banach空间，，即是定义在上的连续Fréchet可微的泛函，称泛函满足Palais-Smale条件(简称P.S.条件)，如果对任意的序列，若有界且，则在中存在收敛子列。
记为在上中心在原点半径为的开球，为的边界。
引理2.1 (山路引理) [15] 设是实Banach空间，且在上满足P.S.条件，，且有
存在常数，使得；
存在使得，
则存在一个临界值，且
(2.7)
其中
(2.8)
3. 主要结论及其证明
设
先给出一些条件：
存在常数和使得
(3.1)
存在常数和，使得
(3.2)
对任意的，存在泛函且，满足
存在泛函，且存在常数满足，使得
对任意的，存在常数以及，使得
(3.3)
对任意的，有；
。
注3.1 (3.1)蕴涵存在常数使得
注3.2 (3.2)蕴涵存在常数使得
注3.3 (3.3)蕴涵存在常数使得
主要结论及其证明如下：
定理3.1若条件，及成立，且
对任意的，存在常数，使得
(3.4)
则边值问题(1.1)~(1.2)至少存在一个解。
注3.4 (3.4)蕴涵存在常数，使得
证 对任意的，
由的连续性，上式表明泛函有下界，故在某点达到最小值。显然，是泛函的临界点。证毕。
注3.5 当时，其中表示正奇数的比，是实序列，若条件，，成立，且对任意的，有，则边值问题(1.1)~(1.2)至少存在一个解。
定理3. 若条件，，及成立，且对任意的，有，则边值问题(1.1)~(1.2)至少存在一个解。
证 对任意的，由，有
由的连续性，上式表明泛函有上界，故在某点达到最大值。显然，是泛函的临界点。证毕。
定理3.3 若条件，，及~成立，则边值问题(1.1)~(1.2)至少存在两个解。
为了方便定理3.3的证明，我们先证明两个引理：
引理3.1 若条件，，及~成立，则在上有上界。
证 对任意的，有
(3.5)
由知，存在，使得对任意的。证毕。
引理3.2 若条件，，及~成立，则在上满足P.S.条件。
证 设且有界，则存在常数使得对于任意的，有
由引理3.1的证明，对任意的，有
即
由知，存在，使得对任意的，有
因此，在上有界，从而存在中的收敛子列，即P.S.条件成立。证毕。
定理3.3 的证明我们将利用山路引理来证明定理3.3。由定理3.2，我们已经验证在上满足P.S.条件。
下面验证山路引理的条件，。由有，对，存在，使得当时，
对任意的和，有。
当时，
令
则
即山路引理的条件成立。
显然，由P.S.条件的验证过程知
由知，当充分大时，存在，使得。因此，由山路引理知，至少存在一个临界值。
设是临界值对应的临界点，即。类似于P.S.条件的验证过程知，对于任意的，存在使得。显然，若，证毕。 若，且，由山路引理，
其中。因此，对于任意的，由关于的连续性，和意味着存在某个使得。若选择使得交集是空集，则存在使得。因此，可得中的两个不同的临界点。从而，我们得到的临界值对应的两个不同的临界点。
对，边值问题(1.1)~(1.2)有下列形式
在此情况下，很容易完成定理3.3的证明。证毕。
4. 例题
考虑二阶非线性差分方程的边值问题：
对任给的，假设
(4.1)
(4.2)
其中和是两个实序列，表示正奇数的比，。
我们有
且
易证，定理3.3的所以条件成立，故边值问题(4.1)~(4.2)至少存在两个解。
基金项目
本文得到国家自然科学基金(11571084)资助，在此表示感谢！
参考文献