1. 引言
设是一个简单图,其中分别是图的点集与边集,且。图中任意两点间的距离定义为连通的最短路的长度,Wiener指数定义为,Wiener指数是图的一个拓扑参数,它常用于分析分子的分枝数,同时也用于分析交通网络与社交网络。相关的结果参考文献 [1] - [16] 。
点集的Steiner距离定义为图中包含点集的最小子树的边数,Steiner距离是经典的组合优化问题,最早可以追溯到17世纪初。1634年,数学家Fermat提出这样一个问题:在欧氏平面上有三个点,寻找一个点使得由该点连接三个点的距离之和最小。后经多位数学家扩展补充,最后以瑞士数学家Steiner的名字命名为Steiner问题。由于Steiner距离在现代生产生活中应用十分广泛,因此多年来是研究的热点,本文讨论图的Steiner距离问题。
若是连通图,则等于生成树的边数,即。李学良,毛亚平,Gutman在文献 [17] 中提出了k-Steiner Wiener指数的概念,其中
,
且。Dankelmann,Oellermann,Swart [18] 提出了k-Steiner平均距离的概念,其中
。
Dankelmann,Oellermann,Swart在文献 [19] 中得到给定点数的树中的上下界,李学良等人在文献 [19] 中给出了树的指数计算公式,M. Kovse进一步得到树的的点和边的表达公式。与Steiner距离的拓扑指数相关的结果可参考文献 [10] [20] - [26] 。由于图的计算是NP完全问题 [27] ,讨论特殊图类的上下界与极图问题显得十分重要,本文将重点讨论二种图类。
图的染色数是使得中任何相邻两点均染不同色的最小颜色数,而图的匹配是边的集合,任意两条边没有公共点。图的最大匹配是所有匹配中所含匹配边数最多的匹配,图的匹配数定义为图中最大匹配所含的边的数目。本文讨论了给定染色数或匹配数的图类中Steiner Wiener指数的下界,并刻画了极图。
2. 预备知识
边集定义为图中点集间的相连的边的集合,点集的导出子图定义为以为点集,两端点均在中的边的全体为边集的子图。定义为图与图的并集,而是对中的任一点与的任一点进行连边得到的图。为个点的完全图,为多部图, -图兰图是多部图,且对任意的,有。点-染色临界图定义为染色数为,且任删一点使得染色数的图。若在图中,任意删掉条边得到的子图仍连通,删掉条边不连通的图,称为-边连通图。
令为所有点数为,点染色数为的图的集合,为所有点数为,匹配数为的图的集合。若是实数,定义为的整数部分。
若图中的一个连通块的点数为奇(偶)数,则称该连通块为奇(偶)连通块。令为图中奇连通块的个数,则由Tutte-Berge公式 [13] [28] 可知,
为了进一步讨论Steiner Wiener指数,根据Steiner距离的定义,得到以下引理:
引理 2.1. 若是连通图中的任两点,且,则,其中是在中增加边得到的新图。
引理 2.2. 若,是连通的,则。
3. 给定染色数的图类
图的染色数在危险品存储、物流分配等方面有广泛的应用,而在物流运输中的路径设计显得尤为重要,本节讨论给定染色数的图类中的下界与相关的极图。
引理 3.1. [29] 若是-点染色临界图,则是-边连通图。
定理 3.1. 若是-点染色临界图,其中的顶点数是,。若或,则有
证明:若是-点染色临界图,则由引理3.1,的边连通度是。令,,其中或,从而。
若不连通,则存在至少二个连通块,设是的一个连通块,从而有图是不连通的。令,从而有,,综上,
经计算可得,与假设矛盾,故连通。
已知连通,由引理2.2,,且,证毕。
定理 3.2. 若,其中。
当是-图兰图时,等号成立。
证明:令为中Steiner Wiener指数值最小的图之一。由染色数的定义可知,可划分成个点独立集,其中,。由引理2.1可知,在中,若二个非邻接点在不同点独立集中,则二点间连边不会增加值,从而有。以下假设。
令,。点集可分成二类:连通或不连通。
(1) 若连通,则,即存在,使得,由引理2.2,,且
(2) 若不连通,则存在,使得。由的结构可知,任选,有是连通图,由引理2.2,,且
综上(1)、(2)可知,
若不是图兰图,则存在正整数,使得。令,则
等号成立当且仅当。故图兰图是中Steiner Wiener指数极小图之一,从而有
证毕。
4. 给定匹配数的图类
图的匹配在交通网络、社交网络等方面有广泛的应用,本节讨论给定匹配数的图类中的下界,并刻画了极图。
定理 4.1. 若,其中,。则
(1) 若,则,当时,等号成立;
(2) 若,则,当时,等号成立。
证明:令为中Steiner Wiener指数值最小的图之一,则由Tutte-Berge公式可知,存在点集,使得。
令,,则。
假设,则,。若,则。若,则。
根据引理2.1,增边不会增加值,从而有。
假设,则有。令为中所有奇连通块。若含有偶连通块,则在偶连通块与某个奇连通块间连边,得到新图,其中满足性质
,。
由引理2.1可知,。从而可知不含偶连通块。同理,由引理2.1可知,和的点导出子图是完全图,且中每一顶点与中的每一顶点有边相连,因此。
以下计算。令,,,,其中。令,。易知点集可分成二类:连通或不连通。
(1) 若连通,则或,其中。由引理2.2可知,,从而有
(2) 若不连通,则有,,其中。任选,有连通,从而,且
综合(1)、(2)可知,
假设,其中,。不失一般性,假设,令,从而有
这与的最小性相矛盾,从而,证毕。
基金项目
本文受广东省自然科学基金(No. 2016A030313122, 2015A030310410)、国家社会科学基金(No. 15BTJ024)、惠州市科技创新基金(No. 2014B020004027)和惠州学院优秀青年培育项目(No. 20160224082617206)资助。
参考文献