多资产期权确定最佳实施边界问题的研究

Research on the Implementation of the Optimal Implementation of the Multi-Asset Option

摘要:

本文研究多资产期权确定最佳实施边界的问题，建立了多维Black-Scholes方程在多维区域

Ω≅{(s,t)|s∈R₊ ^m，t∈(0，T)} 具有奇异内边界函数向量s=s(t)=(s₁(t)，...，s_m(t))，

0∠t∠T 的数学模型，期权价格函数为未知函数。应用矩阵理论和广义特征函数法获得了期权价格函

数的精确解 u(s，t)。并获得了奇异内边界的指数函数向量表达式

(s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t)) 。证眀了：当任意t∈(0，T) ，数学模型

的解u(s，t)在奇异内边界取区域R₊ ^m：0∠S_j∠∞，j=1，...，m 中的最大值，即

u(s(t)，t)= t∈(0，T) ；同时获得了 Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由

边界问题B的精确解和其自由边界的指数函数向量表达式

(s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t)) ，问题A和问题B的自由边界与奇异内边界

重合。从而指数函数向量表达式

s(t)=(s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t)) 为最佳实施边界。指数函数向量

(s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t)) 满足条件 ，

k=1，...，m；且有ω_k 的计算公

式 ；公式表明ω_{k，k=1，...，m} 由多维

Black-Scholes方程中出现的所有参数a_kj ，q_j ，r 唯一确定。

Abstract:

In this paper, we study the problem of determining the optimal implementation boundary 

of multi- asset option, and establish a mathematical model of multidimensional Black-Scholes

equation with singular inner boundary function vector

s=s(t)=(s₁(t)，...，s_m(t))，0∠t∠T , In multi-dimension region Ω≅{(s,t)|s∈R₊ ^m，t∈(0，T)}

the option price function is an unknown function. The exact solution u(s，t) of the mathem-

atical model is obtained by using the matrix theory and the generalized characteristic function

method. And the exponential function vector expression of the singular inner boundary is ob-

tained (s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t))  . It is demonstrated that: when any

t∈(0，T) ,the maximum value of the solution u(s，t) of the region

R₊ ^m：0∠S_j∠∞，j=1，...，m is obtained on the singular boundary, namely u(s(t)，t)= .

The free boundary problem A and free boundary problem B of Black-Scholes equation are solved.

The free boundary of problem A and B is expressed by the function vector

R₊ ^m：0∠S_j∠∞, j=(s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t))1，...，m . 

The free boundary of the problem A and problem B coincides with the singular inner boundary. So

the vector expression of the exponential function is the best implementation of the boundary. The

exponential function vector (s₁(t),...,s_m(t))=(θ₁eω1^(T-t),...,θ_me^ωm(T-t)) satisfies

the condition ，k=1，...，m; and ω_k is calculated

by; the formula shows that ω_k is only determined by all

the parameters appearing in the multidimensional Black-Scholes equation.

1. 引言

期权是风险管理的核心工具，姜礼尚 [1] 对期权定价理论作了系统深入的阐述，利用偏微分方程理论和方法对期权理论作深入的定性和定量分析，特别对美式期权展开了深入的讨论。美式期权合约中具有提前实施的条款，因此最佳实施边界的确定对于美式期权具有特殊意义。在美式期权定价研究中，姜礼尚 [1] 建立了Black-Scholes方程的自由边界问题，对最佳实施边界作了很多深入的研究，得到很多重要的结论。其中包括的位置，的单调性，的上下界以及的凸性等，并给出了在附近的渐近表达式。这些结果增加了对最佳实施边界的认识，对美式期权定价的数值计祘产生了重要的影响。期权定价问题历来是金融经济学中的重要研究课题之一 [1] - [8] ，多年来，众多经济学者与研究人员对这一问题进行不断深入的研究，但是这些研究大多是围绕具有单个资产的期权进行的。多资产期权在现代金融交易市场中占有重要的地位，研究多资产(或单个资产)期权定价模型大多是围绕数值解法进行的 [9] - [21] ，姜礼尚 [1] 建立了关于期权价格函数的多维Black-Scholes方程

(01)

其中矩阵为实对称非负矩阵。研究关于方程(01)的多资产期权的数学模型。

由于

(02)

故方程(01)可改记为

(03)

本文研究多资产期权确定最佳实施边界的问题，建立了多维Black-Scholes方程在多维区域具有奇异内边界函数向量的数学模型，期权价格函数为未知函数。应用矩阵理论和广义特征函数法获得了数学模型的精确解。并获得了奇异内边界的指数函数向量表达式。证眀了：当任意，数学模型的解在奇异内边界取中的最大值，即；同时获得了Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由边界问题B的精确解和其自由边界的指数函数向量表达式，问题A和问题B的自由边界与奇异内边界重合。从而指数函数向量表达式为最佳实施边界。指数函数向量，满足条件；且有的计算公式；公式表明由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数，，唯一确定。

2. 主要结果

2.1. 多资产期权的数学模型I的研究

引入记号

数学模型I (多维Black-Scholes方程具有奇异内边界的终值问题)：

数学模型I是关于多资产期权的数学模型，它是多维Black-Scholes方程在区域具有奇异内边界，的终值问题，未知函数为期权价格函数。

其中：方程的自由项为

(4)

为狄拉克-函数；为维狄拉克-函数；,为实对称非负矩阵。

数学模型I.1 (多维Black-Scholes方程的终值问题)：

(5)

数学模型I.2 (多维Black-Scholes方程具有奇异内边界和齐次终值条件的终值问题)：

(6)

2.1.1. Black-Scholes方程数学模型I的求解

记偏微分算子

(7)

先考虑m维Euler方程在半无界区域的特征值问题I

为求解特征值问题I我们建立了引理1.1~引理1.6。

引理1.1：设为正定矩阵，则存在正线下三角矩阵满足且分解是唯一的；且有

1) 正线下三角矩阵的行列式，；；

2) 由唯一确定；由唯一确定；

3) 记，则为正线上三角矩阵，

；由唯一确定；

4) 记，；则当时，有。从而当，，有；，有。

证明：由矩阵理论 [22] 即知存在正线下三角矩阵满足且分解是唯一的。由有。

正线下三角矩阵，正线下三角矩阵的行列式，且；的转置矩阵为正线上三角矩阵。的逆矩阵为正线上三角矩阵。。

下证4)由于为正线上三角矩阵，即有和；从而有

为列向量，应用分块矩阵的乘法运算即有

从而有

(10)

由于即有

(11)

为正定矩阵，则为正定矩阵，为正定二次齐式，从而有

(12)

(13)

由的任意性，分别令，

其中。

由(13)式即有

即

从而

(14)

再记；有和

(15)

由(14)，(15)两式即有：当，，有；显然也有：当，，有。引理证毕。

记，作到的线性变换

(16)

记 (17)

引理1.2：若，则有

(18)

其中为向量变系数偏微分算子。

证明(16)式即

(19)

由(17)式即有

(20)

由复合函数的求导法则

(21)

从而

即(18)式成立。引理证毕。

m维Euler方程在半无界区域的特征值问题II

其中， (24)

引理1.3：若，则特征值问题I中方程(8)与特征值问题II中方程(22)等价。

证明：由，有

(25)

(26)

记，由引理1.1矩阵为正线上三角矩阵。

由(18)式有

(27)

由矩阵乘法

(28)

从而

(29)

(30)

由于为正线上三角矩阵有

记

(31)

即有

(32)

由(26)，(32)两式即知方程(8)与方程(22)等价。引理证毕。

引理1.4：特征值问题II的特征值

(33)

所对应的特征函数为

(34)

且有

(35)

证明：容易求解特征值问题II：由分离变量法令

(36)

(37)

再令

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

若(42)式成立则(41)式成立；特征函数

不恒为零，由(42)推出

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

由(48)式即有(23)式成立。引理证毕。

由(16)和(17)式换回原变量即得特征值问题I的特征函数

(49)

且

(50)

(51)

由(51)式即有(9)式成立。于是得到

引理1.5：特征值问题I的特征值

(52)

所对应的特征函数为

(53)

引理1.6：特征值问题I的特征函数系是半无界区域带权函数的完备正交系；正交关系即

(54)

证明：由于

(55)

引入变量代换

(56)

由于行列式

即有变量替换的雅可比行列式

(57)

由多重积分变量替换公式，即有

(58)

(58)式即(54)式。引理证毕。

由引理1.5与引理1.6的结论可以引入广义特征函数法 [23] [24] 求解 数学模型I。

不妨设解，将其表为特征函数的积分形式

(59)

将上式两边乘以再关于变量在积分，利用正交关系(54)则有

(60)

得到

(61)

将方程中的自由项也表为特征函数的积分形式

(62)

由(61)即有

(63)

应用-函数的积分性质即得

(64)

含参变量积分与算子的运算交换次序即有

(65)

(66)

由(2)即有

(67)

(68)

将(62)，(65)，(66)代入方程(1)即有

(69)

由特征函数系的完备正交性即有，再由(68)式即得

非齐次常微分方程的终值问题

(70)

用常数变易法得到非齐次常微分方程的终值问题的解为

(71)

将上式代入(59)式即得

(72)

将的表达式(52)，(53)代入(72)，并记

(73)

(74)

(75)

其中由(68)，由(64)确定。

由(74)式即有

于是有

(76)

将的表达式代入(64)式，化简即得

(77)

将(77)代入(75)式，并化简

即得

(78)

定理1 (数学模型I解的存在定理)：若

1)为正定对称矩阵，；

2)为充分光滑的单调函数；

3)。

则数学模型I有精确解：

(79)

(80)

(81)

且数学模型I.1的解由(80)式给出，数学模型I.2的解由(81)式给出。

2.1.2. 多维Black-Scholes方程奇异内边界的确定

数学模型II (多维Black-Scholes方程确定奇异内边界的终值问题)：

求，使其满足

定理2 (数学模型II解的存在定理)：若

1)为正定对称矩阵；

2)为充分光滑的单调函数；

3)。

则数学模型II有连续有界的精确解

数学模型II有解的相容性条件是

(89)

其中

(90)

(91)

(92)

(93)

证明：由定理1(数学模型I解的存在定理)的结论，(81)式给出的已满足条件(82) (83) (85)三式，让满足条件(84)式去确定奇异内边界。

将(81)式记为

(94)

由(94)式对关于自变量求偏导，由复合函数的求导法则有

(95)

若令

(96)

则

即有

(97)

将(97)式代入(95)式即有

(98)

下面建立引理2.1~引理2.4来完成定理2的证明。

引理2.1：条件(96)成立，则有

(99)

和

(100)

证明：若条件(96)成立，则有(98)成立。由(98)式易知(100)式成立。

由(98)即得到対任意有

1) 当有

由引理1.1的结论4)即有即有：当，有成立，从而

(101)

2) 当有

由引理1.1中结论4)即有：当，有成立，从而

(102)

从而(99)式成立。引理证毕。

引理2.2：条件

(103)

成立的充要条件为

(104)

证明：1) 必要性，若(103)成立，由即有

(105)

记

(106)

由(105)式有

(107)

让即有

(108)

干是有(104)式成立。

2) 充分性，若(104)式成立，即有

即(103)成立。引理证毕。

引理2.3：当条件

成立时，则条件(96)成立，从而有。

证明：由(109)式则有

(111)

再由(110)式即有

(112)

即条件(96)成立，由引理2.1即有成立。引理证毕。

引理2.4：未知数的线性方程组(110)的解为

(113)

证明：线性方程组(110)写成矩阵形式即为

(114)

由矩阵的定义即有，从而

(115)

(116)

由矩阵乘法即得线性方程组(110)的解由(113)式给出。引理证毕。

记

(117)

由引理2.1~引理2.4即知：当(117)成立时，有解其中由(94)给出，。由(117)式即有(96)成立，由引理2.1即有和成立。

由(117)式即有(97)式成立，将(97)代入(94)即有：

(118)

再将(117)式代入(118)式，即有

(119)

引入记号：，再由(119)即得到由(87)给出。由(87)式给出的解满足条件(84)式和(85)式。从而满足数学模型II，即(87)，(88)两式给出了数学模型II的解。由(87)式即知数学模型II有解的相容性条件是(89)式。定理证毕。

引入记号

多维开区间，多维闭区间。

函数的支集,支集的闭包，记函数集合。

记

(120)

(121)

定理3(数学模型I.1解的性质定理)：若为正定矩阵，；则

1) 当；数学模型I.1的解

(122)

满足

(123)

和

(124)

其中

(125)

2) 当，则数学模型I.1的解

(126)

且解满足

(127)

3) 当，数学模型I.1的解

(128)

且解满足

(129)

证1): 数学模型I.1的解由定理1的(74)式给出，由有

(130)

应用多维狄拉克-函数的积分性质即得

(131)

引入记号即有

(132)

由于线性方程组(110)的解，由(110)即有

(133)

由(112)式即有

即有

(134)

由(132)和(134)两式即有

(135)

由于

(136)

从而

(137)

故。由(132)对关于求偏导得到

(138)

(139)

由(134)，(139)即得(124)。

证2)：数学模型I.1的解由定理1的(74)式给出。任意即有。,故,。于是(74)式中积分的积分区域由变为。则数学模型I.1的解

(140)

由(140)关于求偏导

(141)

当有；积分变量，有；

(142)

又

(143)

记

；由(142)，有，引理1.1的结论4)即有；

从而由(143)有

(144)

再由(141)即有当，

(145)

当，，从而有成立。

证3)：当，由数学模型I.1的解(74)式即有(128)成立。由(128) 式对关于求偏导即有

(146)

当，有,

引理1.1的结论4)即有

由(146)即有：当，。当，，从而有成立。定理证毕。

2.2. 关于多维Black-Scholes方程的自由边界问题的研究

由

即有

即

即

下面分别讨论关于多维Black-Scholes方程在的自由边界问题A和在的自由边界问题B。

自由边界问题A (关于多维Black-Scholes方程在的自由边界问题)：求，使其满足

定理4 (自由边界问题A多解性定理)：若

1)为正定矩阵；

2)；

则自由边界问题A的有解，自由边界为

(152)

具有多解性，第一解：

(153)

有解的相容性条件

第二解：

(156)

有解的相容性条件

(159)

证明：当由定理2的(87)式给出的解滿足齐次方程(147)，故由(153)式和(156)式给出的解滿足齐次方程(147)。再由定理2，定理3的结论即知定理4成立。由(112)，(152)两式即有

(160)

推证相容性条件(158)，由(141)，(160)两式即得。定理证毕。

附注1：定理4中的笫二解对在函数集合任意给定的都有由(156)式给出的解与之对应，即得到了一个解族。

自由边界问题B (关于多维Black-Scholes方程在的自由边界问题)：求，使其满足

定理5 (自由边界问题B多解性定理)：若

1)为正定矩阵；

2)；

则自由边界问题B有解，自由边界为

(166)

具有多解性，第一解：

(167)

有解的相容性条件

第二解：

(170)

有解的相容性条件

(171)

(172)

其中

(173)

证明：当由定

理2的(87)式给出的解滿足齐次方程(161)，故由(167)式和(170)式给出的解滿足齐次方程(161)。再由定理2，定理3的结论即知定理5成立。推证相容性条件(172)由(146) (160)两式即得。定理证毕。

附注2：定理5中的笫二解对在函数集合任意给定的都有由(170)式给出的解与之对应，即得到了一个解族。

2.3. 数学模型III与自由边界问题A和问题B的关系

数学模型III (多维Black-Scholes方程确定奇异内边界的终值问题)：

求，使其满足

定理6 (奇异内边界与问题A和B的自由边界三线合一定理一)：若

1)为正定矩阵；

2)；

3)；

4)；

5)。

则数学模型III与问题A和问题B有相同表达式的解

有解的相容性条件

(181)

其中

(182)

数学模型III的奇异内边界与问题A和问题B的自由边界三曲线重合成同一指数函数向量；数学模型III的解函数是问题A和B的解函数的共同连续开拓，即

(183)

定义2：若，由(183)定义，称为数学模型III与问题A和问题B的一致相容解。

定理7 (奇异内边界与问题A和B的自由边界三线合一定理二)：若

1)为正定矩阵；

2)；

3)；

4)；

5)。

则数学模型III与问题A和问题B的一致相容解

有解的相容性条件

(186)

(187)

定理8 (奇异内边界与问题A和问题B的自由边界三线合一定理三)：若

1)为正定矩阵；

2)；

3)；

4)；

5)。

则数学模型III与问题A和问题B的一致相容解

有解的相容性条件

(190)

其中

(191)

由定理6，定理7，定理8给出的一致相容解满足条件

(192)

即一致相容解在任意时刻在取中的最大值，从而称为最佳实施边界。

定理9 (多资产期权最佳实施边界定理)：为正定矩阵，则期权价格函数在任意时刻在取中的最大值，多资产期权最佳实施边界为指数函数向量

(193)

满足

(194)

且有的计算公式

(195)

公式(195)表明由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数，，唯一确定。

证明：由定理6，定理7，定理8即知期权价格函数在任意时刻在取中的最大值，从而多资产期权最佳实施边界为指数函数向量(193)。关于的计算公式(93)式代入的计算公式(92)式即得的计算公式(195)，由引理1.1即知皆由唯一确定，从而由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数，，唯一确定。定理证毕。

3. 结论

指数函数向量为多资产期权的最佳实施边界，满足条件；且由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数，，唯一确定。