1. 引言
矩阵在诸如概率统计，微分方程，最优化，控制论与系统理论，计算数学等数学分支都有着重要应用。1999年Fallat和Johonson引入方阵的k-子直和的概念 [1] 。由于矩阵的子直和在很多领域具有重要应用 [1] [2] [3] [4] ，之后对矩阵的子直和的研究相继取得许多重要结果。2005年Pedroche和Szyld等给出两个非奇异M矩阵的子直和是非奇异M矩阵的一些充分条件 [2] ，2006年他们再次给出S严格对角占优矩阵的k-子直和是S严格对角占优阵的充分条件 [5] 。2007年朱燕，黄廷祝研究了双对角占优矩阵的子直和 [6] ，2010年Bru，Cvetkovic，Kostic，Pedroche对S-严格对角占优矩阵的子直和进行了研究 [7] ，2015年李朝迁，李耀堂等对Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [8] 。2016年赵晶，李耀堂等对严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [9] 。
本文我们继续研究Nekrasov矩阵的子直和，期望找到Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵的条件。下面先给出本文中要用到的基本知识。
定义1.1 [1] ：设A为阶方阵，B为阶方阵，为正整数且，A和B有如下分块形式：
(1)
其中和是阶方阵。令
，
称C为A和B的()阶k-子直和，记为。
注1 [5] ：设，，，则由定义1.1易得：
其中
。(2)
。
故C有可表示如下：
定义1.2 [10] [11] [12] ：设矩阵是阶矩阵，若对任意一个，成立，其中，则称A为严格对角占优矩阵。
定义 1.3 [13] [14] ：设矩阵是阶矩阵，令
若对任意一个，成立，则A称是Nekrasov矩阵。
注2 [13] ：由严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的定义得严格对角占优矩阵是Nekrasov矩阵的一个子类。
2. Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和
首先我们用一个例子说明Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。
例2.1：设
，。
容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵。由定义得A与B的3-子直和为
直接计算得，，，，。显然，，因此不是Nekrasov矩阵。
注3：例2.1表明任意给出的Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。下面我们来寻找Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的条件。为此先给出下面引理。
引理2.1：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，且，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和有：对任意的，。
证明：该引理的结论可由注1直接得到。
引理2.2 [9] ：设是阶严格对角占优矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，分布如(2)所示，其中，，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和和有：
1)；
2) 当时：
；
3)。
引理2.3 [9] ：设是阶严格对角占优矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，和的主对角线元素全正(或全负)，且
则在A与B的k-子直和中，对任意的，成立。
首先说明文献 [9] 中引理2.2，即本文引理2.2 [9] 不完整。在此，我们先将结论进行更正。其证明方法同本文引理2.4。
引理2.2 [9] 更正：设是阶严格对角占优矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，分布如(2)所示，其中，，，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和，分三种情形讨论：
1) 当时：。
2) 当时：分下面2种情形讨论：
3) 当时：分下面3种情形讨论：
当时：
引理2.4：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，分布如(2)所示，其中，，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和，分三种情形讨论：
证明：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵。下面分三种情形讨论：
情形一：当时：
情形二：当时：
情形三：当时：分下面3种情形讨论：
情形1：当时：
情形2：当时：
现假设，其中()，
成立。
则
情形3：当时：
类似引理2.3 [9] 证明下证引理2.5。
引理2.5：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，和的主对角线元素全正(或全负)，且
证明：我们用数学归纳法证明。设A是阶Nekrasov矩阵，B是阶的Nekrasov矩阵。任取，当时：
。 (3)
由
。 (4)
和条件
得
。 (5)
。 (6)
。 (7)
及(5)得
。 (8)
现假设任取，成立，下证成立，其中。
。 (9)
。 (10)
及假设条件当时得
由此得中任取，成立。
下面我们给出Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的一个充分条件。
定理2.6：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，如(2)所示，其中，，的主对角线元素全正(或全负)，且
则A与B的k-子直和是Nekrasov矩阵。
证明：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，下面分三种情形讨论。
情形2：当时：分2种情形讨论：
(1) 当时，：
(2) 当时，时：
现假设时，成立，则当时：
由条件
。 (11)
。 (12)
于是由条件
及(11)、(12)得
因此对任意的成立。
。 (13)
。 (14)
及(13)、(14)得
现设对任意，成立，则当时：
由引理2.5知对任意的，。由此得
因此对任意成立，从而是Nekrasov矩阵。
例2.2：设
容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵，于是
通过计算可得：
，，，
，，。
于是由定理2.6知是Nekrasov矩阵。事实上，直接计算得：
，，，，。
显然，当时成立，因此是Nekrasov矩阵。
在定理2.6中，当k分别取1和2时得如下两个推论。
推论2.7：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，，，，其中，且，的主对角线元素全正(或全负)，，则是Nekrasov矩阵。
推论2.8：设是阶Nekrasov矩阵，是阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若，，，，其中，且，的主对角线元素全正(或全负)，
则是Nekrasov矩阵。
3. 结论
本文给出的定理能够判定在满足定理的条件下Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵，且只用到矩阵自身元素，便于计算。
参考文献