1. 引言
考虑如下问题：
(1.1)
其中
是一个连续函数，上述问题是一个非线性方程组，一个求解该问题的一个方法时将它化为如下的最优化问题模型：
(1.2)
其中定义
是欧式范数，不难看出(1.1)和(1.2)的解是等价的。从中可见(1.1)就转化为
了一个最小值的优化问题(1.2)，本文将针对(1.2)提出其求解方法。下面的数值迭代方法经常被使用，公式为：
(1.3)
其中
代表搜索方向，
是步长，
是当前迭代点或第
次迭代点，根据
和
就产生下一个迭代点
，依次下去便会产生一个点列
，分析此点列收敛到某一聚点
或得到
。
共轭梯度算法是一类非常有效的数值优化方法，它的方向定义如下：
根据
的选取不同，便称为相应的共轭梯度法，目前已有很多公式 [1] [2] [3] [4] 等。目前已有很多学者将共轭梯度法应用于非线性方程组问题(见文献 [5] [6] 等)，我们给出一个修正的LS共轭梯度算法，该方法具有显著的优点。下一部分，我们给出修正的LS方法和具体算法步骤，第三部分证明算法的全局收敛性，最后给出数值检验结果。
2. 公式和算法
下面给出修正的LS公式，表达式为：
(2.1)
其中
，
是常数。此公式设计的部分思想是基于文章 [6] 。在此公式的基础上，我们给出一个修正的LS共轭梯度算法，步骤如下：
算法1 (修正的LS算法)
步0：给定初始点
，常数
。令
。
步1：若
，则停止；否则进行步2。
步2：通过式(2.1)计算搜索方向
。
步3：选出满足下面的线搜索条件的步长
：
(2.2)
步4：令迭代公式为
。
步5：若
，停止并令
；否则令
(2.3)
步：令
，转步1。
注：线搜索(2.2)是由文献 [5] 给出，(2.3)的思想来源于文献 [7] 。
3. 下降性、信赖域性质和收敛性分析
首先分析算法1的充分下降性和信赖域的性质，通过下面的引理实现。
引理3.1. 若搜索方向
由式(2.1)产生，有
(3.1)
和
(3.2)
成立，其中
是常数。
证明：根据(2.1)式，当
时，(3.1)和(3.2)显然成立。当
时，由(2.1)得到
(3.1)式成立。下证(3.2)式。根据(3.1)式，可推出
从上式可得(3.1)式的左边，其中取
。对于(3.2)的右边，通过(2.1)式获得下式
其中最后一个不等式根据
得到，取
便得到(3.2)的右边。综上，(3.1)和(3.2)均成立。证毕！
上述引理中的(3.1)是充分下降性，(3.2)是信赖域性质，这两个性质对算法的全局收敛性起着非常重要的作用。从中也可看出，所建议的搜索方向不需要任何附加条件，自动满足这两个性质。为获得算法1的全局收敛性，我们需要下面的假设条件。
假设1：(A) 所研究的问题(1.1)有解；
(B)
在
上满足下面的Lipschitz性质，即
，
其中
是个常数。
在假设1和引理3.1结论的基础上，我们可以建立算法的全局收敛性。因为全局收敛性的证明与文献 [6] 的证明过程基本相同，此处不再详述，只给出定理。
定理3.1. 假如序列
由算法1产生，同时假设1成立，则有
成立。
此定理被称为算法1的全局收敛性定理。
4. 数值结果
为了验证算法的有效性，我们将对下面的问题进行检验(表1)，这些问题同文献 [5] 一样。
利用Matlab R2009a编写程序，在Windows 7系统，6.00GB内存，64位操作系统，CPU为Intel (R) Xeon (R), E5507 2.27 GHz上运行。参数选取是：
。表二中参数含义：NI表示迭代次数，NF表示函数值次数，Dim表示问题的维数，Time表示运行的CPU时间，Fval表示程序终止时的范数值。
表1. 方程组问题
从上面表格中的数值结果可以看出，算法1对上述问题的求解非常有效，最终的范数值很接近零，表明对非线性方程组的精确解逼近程度很高，个别问题可以求到精确解(如问题7和问题9)；随着问题维数的增加，CPU时间和迭代次数以及函数值次数改变不是很大，说明算法1的有效性；个别问题的CUP时间是零，说明其求解几乎没有占用系统的CPU时间，就得出了结果。